Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  csbrn Unicode version

Theorem csbrn 26462
Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
csbrn.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
csbrn.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
csbrn  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem csbrn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 9816 . . . . 5  |-  2  e.  CC
2 csbrn.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 csbrn.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 csbrn.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
53, 4remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  RR )
62, 5fsumrecl 12207 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  RR )
76recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  CC )
8 sqmul 11167 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  e.  CC )  -> 
( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) ) )
91, 7, 8sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) ) )
10 sq2 11199 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
1110oveq1i 5868 . . . 4  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )
129, 11syl6eq 2331 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) ) )
133resqcld 11271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
142, 13fsumrecl 12207 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  e.  RR )
15 2re 9815 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
16 remulcl 8822 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
1715, 6, 16sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
184resqcld 11271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
192, 18fsumrecl 12207 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 )  e.  RR )
202adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  e. 
Fin )
2113adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
22 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  x  e.  RR )
2322resqcld 11271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
2421, 23remulcld 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
25 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( B  x.  C
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  e.  RR )
2615, 5, 25sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  RR )
2726adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  RR )
2827, 22remulcld 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x )  e.  RR )
2924, 28readdcld 8862 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  e.  RR )
3018adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
3129, 30readdcld 8862 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
323adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3332, 22remulcld 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  x )  e.  RR )
344adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
3533, 34readdcld 8862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  x.  x
)  +  C )  e.  RR )
3635sqge0d 11272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( ( ( B  x.  x )  +  C ) ^ 2 ) )
3733recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  x )  e.  CC )
3834recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
39 binom2 11218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  x.  x
)  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( ( B  x.  x )  +  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  x ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
4037, 38, 39syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B  x.  x )  +  C
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  x
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
4132recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4222recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  x  e.  CC )
4341, 42sqmuld 11257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  x.  x
) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) ) )
4441, 42, 38mul32d 9022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  C )  =  ( ( B  x.  C )  x.  x ) )
4544oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) )  =  ( 2  x.  ( ( B  x.  C )  x.  x
) ) )
461a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  2  e.  CC )
475adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  RR )
4847recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
4946, 48, 42mulassd 8858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x )  =  ( 2  x.  ( ( B  x.  C )  x.  x
) ) )
5045, 49eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) )  =  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )
5143, 50oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B  x.  x ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  x.  x
) ) )
5251oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( ( B  x.  x ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5340, 52eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B  x.  x )  +  C
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5436, 53breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5520, 31, 54fsumge0 12253 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5624recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
5728recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x )  e.  CC )
5856, 57addcld 8854 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  e.  CC )
5930recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
6020, 58, 59fsumadd 12211 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^
2 ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
6120, 56, 57fsumadd 12211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  sum_ k  e.  A  ( (
2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) ) )
62 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
6362recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
6463sqcld 11243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x ^ 2 )  e.  CC )
6521recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
6620, 64, 65fsummulc1 12247 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  =  sum_ k  e.  A  (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) ) )
671a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  2  e.  CC )
6820, 67, 48fsummulc2 12246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  =  sum_ k  e.  A  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) )
6968oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) )  x.  x )  =  (
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )
7026recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
7170adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
7220, 63, 71fsummulc1 12247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sum_ k  e.  A  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x )  = 
sum_ k  e.  A  ( ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )
7369, 72eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) )  x.  x )  =  sum_ k  e.  A  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )
7466, 73oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( (
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )  =  (
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  sum_ k  e.  A  ( (
2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) ) )
7561, 74eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  x.  x ) ) )
7675oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sum_ k  e.  A  (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7760, 76eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^
2 ) )  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7855, 77breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7914, 17, 19, 78discr 11238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 )
8017resqcld 11271 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  e.  RR )
81 4re 9819 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
8214, 19remulcld 8863 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
83 remulcl 8822 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
8481, 82, 83sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
8580, 84suble0d 9363 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ) ^
2 )  -  (
4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0  <->  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
8679, 85mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
8712, 86eqbrtrrd 4045 . 2  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
886resqcld 11271 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  e.  RR )
8981a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
90 4pos 9832 . . . 4  |-  0  <  4
9190a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  4 )
92 lemul2 9609 . . 3  |-  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 )  <_ 
( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  <->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
9388, 82, 89, 91, 92syl112anc 1186 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  <->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
9487, 93mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   2c2 9795   4c4 9797   ^cexp 11104   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  trirn  26463
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator