Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  csbrn Structured version   Unicode version

Theorem csbrn 26447
Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
csbrn.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
csbrn.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
csbrn  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem csbrn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 10062 . . . . 5  |-  2  e.  CC
2 csbrn.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 csbrn.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 csbrn.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
53, 4remulcld 9108 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  RR )
62, 5fsumrecl 12520 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  RR )
76recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  CC )
8 sqmul 11437 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  e.  CC )  -> 
( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) ) )
91, 7, 8sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) ) )
10 sq2 11469 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
1110oveq1i 6083 . . . 4  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )
129, 11syl6eq 2483 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) ) )
133resqcld 11541 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
142, 13fsumrecl 12520 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  e.  RR )
15 2re 10061 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
16 remulcl 9067 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
1715, 6, 16sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
184resqcld 11541 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
192, 18fsumrecl 12520 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 )  e.  RR )
202adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  e. 
Fin )
2113adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
22 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  x  e.  RR )
2322resqcld 11541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
2421, 23remulcld 9108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
25 remulcl 9067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( B  x.  C
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  e.  RR )
2615, 5, 25sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  RR )
2726adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  RR )
2827, 22remulcld 9108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x )  e.  RR )
2924, 28readdcld 9107 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  e.  RR )
3018adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
3129, 30readdcld 9107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
323adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3332, 22remulcld 9108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  x )  e.  RR )
344adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
3533, 34readdcld 9107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  x.  x
)  +  C )  e.  RR )
3635sqge0d 11542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( ( ( B  x.  x )  +  C ) ^ 2 ) )
3733recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  x )  e.  CC )
3834recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
39 binom2 11488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  x.  x
)  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( ( B  x.  x )  +  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  x ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
4037, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B  x.  x )  +  C
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  x
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
4132recnd 9106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4222recnd 9106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  x  e.  CC )
4341, 42sqmuld 11527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  x.  x
) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) ) )
4441, 42, 38mul32d 9268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  C )  =  ( ( B  x.  C )  x.  x ) )
4544oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) )  =  ( 2  x.  ( ( B  x.  C )  x.  x
) ) )
461a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  2  e.  CC )
475adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  RR )
4847recnd 9106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
4946, 48, 42mulassd 9103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x )  =  ( 2  x.  ( ( B  x.  C )  x.  x
) ) )
5045, 49eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) )  =  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )
5143, 50oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B  x.  x ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  x.  x
) ) )
5251oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( ( B  x.  x ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5340, 52eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B  x.  x )  +  C
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5436, 53breqtrd 4228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5520, 31, 54fsumge0 12566 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5624recnd 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
5728recnd 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x )  e.  CC )
5856, 57addcld 9099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  e.  CC )
5930recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
6020, 58, 59fsumadd 12524 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^
2 ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
6120, 56, 57fsumadd 12524 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  sum_ k  e.  A  ( (
2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) ) )
62 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
6362recnd 9106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
6463sqcld 11513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x ^ 2 )  e.  CC )
6521recnd 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
6620, 64, 65fsummulc1 12560 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  =  sum_ k  e.  A  (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) ) )
671a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  2  e.  CC )
6820, 67, 48fsummulc2 12559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  =  sum_ k  e.  A  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) )
6968oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) )  x.  x )  =  (
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )
7026recnd 9106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
7170adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
7220, 63, 71fsummulc1 12560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sum_ k  e.  A  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x )  = 
sum_ k  e.  A  ( ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )
7369, 72eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) )  x.  x )  =  sum_ k  e.  A  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )
7466, 73oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( (
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )  =  (
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  sum_ k  e.  A  ( (
2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) ) )
7561, 74eqtr4d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  x.  x ) ) )
7675oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sum_ k  e.  A  (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7760, 76eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^
2 ) )  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7855, 77breqtrd 4228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7914, 17, 19, 78discr 11508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 )
8017resqcld 11541 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  e.  RR )
81 4re 10065 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
8214, 19remulcld 9108 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
83 remulcl 9067 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
8481, 82, 83sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
8580, 84suble0d 9609 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ) ^
2 )  -  (
4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0  <->  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
8679, 85mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
8712, 86eqbrtrrd 4226 . 2  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
886resqcld 11541 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  e.  RR )
8981a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
90 4pos 10078 . . . 4  |-  0  <  4
9190a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  4 )
92 lemul2 9855 . . 3  |-  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 )  <_ 
( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  <->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
9388, 82, 89, 91, 92syl112anc 1188 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  <->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
9487, 93mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   2c2 10041   4c4 10043   ^cexp 11374   sum_csu 12471
This theorem is referenced by:  trirn  26448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472
  Copyright terms: Public domain W3C validator