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Theorem csbrn 26147
Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
csbrn.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
csbrn.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
csbrn  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem csbrn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 10002 . . . . 5  |-  2  e.  CC
2 csbrn.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 csbrn.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 csbrn.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
53, 4remulcld 9049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  RR )
62, 5fsumrecl 12455 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  RR )
76recnd 9047 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  CC )
8 sqmul 11372 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  e.  CC )  -> 
( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) ) )
91, 7, 8sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) ) )
10 sq2 11404 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
1110oveq1i 6030 . . . 4  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )
129, 11syl6eq 2435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) ) )
133resqcld 11476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
142, 13fsumrecl 12455 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  e.  RR )
15 2re 10001 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
16 remulcl 9008 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
1715, 6, 16sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
184resqcld 11476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
192, 18fsumrecl 12455 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 )  e.  RR )
202adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  e. 
Fin )
2113adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
22 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  x  e.  RR )
2322resqcld 11476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
2421, 23remulcld 9049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
25 remulcl 9008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( B  x.  C
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  e.  RR )
2615, 5, 25sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  RR )
2726adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  RR )
2827, 22remulcld 9049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x )  e.  RR )
2924, 28readdcld 9048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  e.  RR )
3018adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
3129, 30readdcld 9048 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
323adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3332, 22remulcld 9049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  x )  e.  RR )
344adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
3533, 34readdcld 9048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  x.  x
)  +  C )  e.  RR )
3635sqge0d 11477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( ( ( B  x.  x )  +  C ) ^ 2 ) )
3733recnd 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  x )  e.  CC )
3834recnd 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
39 binom2 11423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  x.  x
)  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( ( B  x.  x )  +  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  x ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
4037, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B  x.  x )  +  C
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  x
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
4132recnd 9047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4222recnd 9047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  x  e.  CC )
4341, 42sqmuld 11462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  x.  x
) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) ) )
4441, 42, 38mul32d 9208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  C )  =  ( ( B  x.  C )  x.  x ) )
4544oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) )  =  ( 2  x.  ( ( B  x.  C )  x.  x
) ) )
461a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  2  e.  CC )
475adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  RR )
4847recnd 9047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
4946, 48, 42mulassd 9044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x )  =  ( 2  x.  ( ( B  x.  C )  x.  x
) ) )
5045, 49eqtr4d 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) )  =  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )
5143, 50oveq12d 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B  x.  x ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  x.  x
) ) )
5251oveq1d 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( ( B  x.  x ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( B  x.  x )  x.  C ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5340, 52eqtrd 2419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B  x.  x )  +  C
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5436, 53breqtrd 4177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5520, 31, 54fsumge0 12501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
5624recnd 9047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
5728recnd 9047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x )  e.  CC )
5856, 57addcld 9040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  e.  CC )
5930recnd 9047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
6020, 58, 59fsumadd 12459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^
2 ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
6120, 56, 57fsumadd 12459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  sum_ k  e.  A  ( (
2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) ) )
62 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
6362recnd 9047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
6463sqcld 11448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x ^ 2 )  e.  CC )
6521recnd 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
6620, 64, 65fsummulc1 12495 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  =  sum_ k  e.  A  (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) ) )
671a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  2  e.  CC )
6820, 67, 48fsummulc2 12494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  =  sum_ k  e.  A  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) )
6968oveq1d 6035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) )  x.  x )  =  (
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )
7026recnd 9047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
7170adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
7220, 63, 71fsummulc1 12495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sum_ k  e.  A  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x )  = 
sum_ k  e.  A  ( ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )
7369, 72eqtrd 2419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) )  x.  x )  =  sum_ k  e.  A  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )
7466, 73oveq12d 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( (
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )  =  (
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  sum_ k  e.  A  ( (
2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) ) )
7561, 74eqtr4d 2422 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  x.  x ) ) )
7675oveq1d 6035 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sum_ k  e.  A  (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  x.  x
) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7760, 76eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sum_ k  e.  A  ( (
( ( B ^
2 )  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  x.  x ) )  +  ( C ^
2 ) )  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7855, 77breqtrd 4177 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  x.  x ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7914, 17, 19, 78discr 11443 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 )
8017resqcld 11476 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  e.  RR )
81 4re 10005 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
8214, 19remulcld 9049 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
83 remulcl 9008 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
8481, 82, 83sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
8580, 84suble0d 9549 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ) ^
2 )  -  (
4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0  <->  ( ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
8679, 85mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x. 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
8712, 86eqbrtrrd 4175 . 2  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
886resqcld 11476 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  e.  RR )
8981a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
90 4pos 10018 . . . 4  |-  0  <  4
9190a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  4 )
92 lemul2 9795 . . 3  |-  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 )  <_ 
( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  <->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
9388, 82, 89, 91, 92syl112anc 1188 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  <->  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 ) )  <_  ( 4  x.  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
9487, 93mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223   2c2 9981   4c4 9983   ^cexp 11309   sum_csu 12406
This theorem is referenced by:  trirn  26148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-ico 10854  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407
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