Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  csbrngVD Unicode version

Theorem csbrngVD 28349
Description: Virtual deduction proof of csbrng 5054. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. csbrng 5054 is csbrngVD 28349 without virtual deductions and was automatically derived from csbrngVD 28349.
1::  |-  (. A  e.  V  ->.  A  e.  V ).
2:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. <. w ,. y >.  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
3:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ <. w ,. y >.  =  <. w ,  y >. ).
4:3:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [_ A  /  x ]_ <. w ,. y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
5:2,4:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. <. w ,. y >.  e.  B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
6:5:  |-  (. A  e.  V  ->.  A. w ( [. A  /  x ]. <. w ,.  y >.  e.  B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
7:6:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,.  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
8:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,.  y >.  e.  B  <->  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B ) ).
9:7,8:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. w <. w  ,. y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
10:9:  |-  (. A  e.  V  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. E. w  <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
11:10:  |-  (. A  e.  V  ->.  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <.  w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
12:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w  <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B } ).
13:11,12:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w  <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
14::  |-  ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,. y >.  e.  B }
15:14:  |-  A. x ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,. y >.  e.  B }
16:1,15:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B } ).
17:13,16:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
18::  |-  ran  [_ A  /  x ]_ B  =  { y  |  E. w <. w  ,. y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }
19:17,18:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_  A  /  x ]_ B ).
qed:19:  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B )
(Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
csbrngVD  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B )

Proof of Theorem csbrngVD
Dummy variables  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 28006 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A  e.  V  ->.  A  e.  V ).
2 sbcel12g 3209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
31, 2e1_ 28069 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
4 csbconstg 3208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  =  <. w ,  y >. )
51, 4e1_ 28069 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y
>.  =  <. w ,  y >. ).
6 eleq1 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  =  <. w ,  y >.  ->  ( [_ A  /  x ]_ <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
75, 6e1_ 28069 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
8 bibi1 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  -> 
( ( [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  <->  ( [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) )
98biimprd 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  -> 
( ( [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  ->  ( [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) )
103, 7, 9e11 28130 . . . . . . . . . 10  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
1110gen11 28058 . . . . . . . . 9  |-  (. A  e.  V  ->.  A. w ( [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
12 exbi 1588 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w ( [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  ->  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
1311, 12e1_ 28069 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
14 sbcexg 3154 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B ) )
1514bicomd 193 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B
) )
161, 15e1_ 28069 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B
) ).
17 bitr3 27936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B )  -> 
( ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  ->  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) )
1817com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  -> 
( ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B
)  ->  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) )
1913, 16, 18e11 28130 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B
) ).
2019gen11 28058 . . . . . 6  |-  (. A  e.  V  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
21 abbi 2497 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B
)  <->  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B } )
2221biimpi 187 . . . . . 6  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B
)  ->  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } )
2320, 22e1_ 28069 . . . . 5  |-  (. A  e.  V  ->.  { y  | 
[. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
24 csbabg 3253 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B } )
251, 24e1_ 28069 . . . . 5  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B } ).
26 eqeq2 2396 . . . . . 6  |-  ( { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  <->  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ) )
2726biimpd 199 . . . . 5  |-  ( { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  ->  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ) )
2823, 25, 27e11 28130 . . . 4  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
29 dfrn3 5000 . . . . . 6  |-  ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }
3029ax-gen 1552 . . . . 5  |-  A. x ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }
31 csbeq2g 27979 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B } ) )
321, 30, 31e10 28136 . . . 4  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B } ).
33 eqeq2 2396 . . . . 5  |-  ( [_ A  /  x ]_ {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  <->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ) )
3433biimpd 199 . . . 4  |-  ( [_ A  /  x ]_ {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ) )
3528, 32, 34e11 28130 . . 3  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
36 dfrn3 5000 . . 3  |-  ran  [_ A  /  x ]_ B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B }
37 eqeq2 2396 . . . 4  |-  ( ran  [_ A  /  x ]_ B  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B 
<-> 
[_ A  /  x ]_ ran  B  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ) )
3837biimprcd 217 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( ran  [_ A  /  x ]_ B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B ) )
3935, 36, 38e10 28136 . 2  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B ).
4039in1 28003 1  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2373   [.wsbc 3104   [_csb 3194   <.cop 3760   ran crn 4819
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-br 4154  df-opab 4208  df-cnv 4826  df-dm 4828  df-rn 4829  df-vd1 28002
  Copyright terms: Public domain W3C validator