Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  csbrngVD Unicode version

Theorem csbrngVD 28988
Description: Virtual deduction proof of csbrng 4939. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. csbrng 4939 is csbrngVD 28988 without virtual deductions and was automatically derived from csbrngVD 28988.
1::  |-  (. A  e.  V  ->.  A  e.  V ).
2:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. <. w ,. y >.  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
3:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ <. w ,. y >.  =  <. w ,  y >. ).
4:3:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [_ A  /  x ]_ <. w ,. y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
5:2,4:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. <. w ,. y >.  e.  B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
6:5:  |-  (. A  e.  V  ->.  A. w ( [. A  /  x ]. <. w ,.  y >.  e.  B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
7:6:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,.  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
8:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,.  y >.  e.  B  <->  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B ) ).
9:7,8:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. w <. w  ,. y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
10:9:  |-  (. A  e.  V  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. E. w  <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
11:10:  |-  (. A  e.  V  ->.  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <.  w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
12:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w  <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B } ).
13:11,12:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w  <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
14::  |-  ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,. y >.  e.  B }
15:14:  |-  A. x ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,. y >.  e.  B }
16:1,15:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B } ).
17:13,16:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
18::  |-  ran  [_ A  /  x ]_ B  =  { y  |  E. w <. w  ,. y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }
19:17,18:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_  A  /  x ]_ B ).
qed:19:  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B )
(Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
csbrngVD  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B )

Proof of Theorem csbrngVD
Dummy variables  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 28641 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A  e.  V  ->.  A  e.  V ).
2 sbcel12g 3109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
31, 2e1_ 28704 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
4 csbconstg 3108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  =  <. w ,  y >. )
51, 4e1_ 28704 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y
>.  =  <. w ,  y >. ).
6 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  =  <. w ,  y >.  ->  ( [_ A  /  x ]_ <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
75, 6e1_ 28704 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
8 bibi1 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  -> 
( ( [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  <->  ( [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) )
98biimprd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  -> 
( ( [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  ->  ( [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) )
103, 7, 9e11 28765 . . . . . . . . . 10  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
1110gen11 28693 . . . . . . . . 9  |-  (. A  e.  V  ->.  A. w ( [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
12 exbi 1571 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w ( [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  ->  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
1311, 12e1_ 28704 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
14 sbcexg 3054 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B ) )
1514bicomd 192 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B
) )
161, 15e1_ 28704 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B
) ).
17 bitr3 28571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B )  -> 
( ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  ->  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) )
1817com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  -> 
( ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B
)  ->  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) )
1913, 16, 18e11 28765 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B
) ).
2019gen11 28693 . . . . . 6  |-  (. A  e.  V  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
21 abbi 2406 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B
)  <->  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B } )
2221biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B
)  ->  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } )
2320, 22e1_ 28704 . . . . 5  |-  (. A  e.  V  ->.  { y  | 
[. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
24 csbabg 3155 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B } )
251, 24e1_ 28704 . . . . 5  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B } ).
26 eqeq2 2305 . . . . . 6  |-  ( { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  <->  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ) )
2726biimpd 198 . . . . 5  |-  ( { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  ->  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ) )
2823, 25, 27e11 28765 . . . 4  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
29 dfrn3 4885 . . . . . 6  |-  ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }
3029ax-gen 1536 . . . . 5  |-  A. x ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }
31 csbeq2g 28614 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B } ) )
321, 30, 31e10 28772 . . . 4  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B } ).
33 eqeq2 2305 . . . . 5  |-  ( [_ A  /  x ]_ {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  <->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ) )
3433biimpd 198 . . . 4  |-  ( [_ A  /  x ]_ {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ) )
3528, 32, 34e11 28765 . . 3  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
36 dfrn3 4885 . . 3  |-  ran  [_ A  /  x ]_ B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B }
37 eqeq2 2305 . . . 4  |-  ( ran  [_ A  /  x ]_ B  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B 
<-> 
[_ A  /  x ]_ ran  B  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ) )
3837biimprcd 216 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( ran  [_ A  /  x ]_ B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B ) )
3935, 36, 38e10 28772 . 2  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B ).
4039in1 28638 1  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   [.wsbc 3004   [_csb 3094   <.cop 3656   ran crn 4706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-vd1 28637
  Copyright terms: Public domain W3C validator