Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  csbrngVD Unicode version

Theorem csbrngVD 28672
Description: Virtual deduction proof of csbrng 4923. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. csbrng 4923 is csbrngVD 28672 without virtual deductions and was automatically derived from csbrngVD 28672.
1::  |-  (. A  e.  V  ->.  A  e.  V ).
2:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. <. w ,. y >.  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
3:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ <. w ,. y >.  =  <. w ,  y >. ).
4:3:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [_ A  /  x ]_ <. w ,. y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
5:2,4:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. <. w ,. y >.  e.  B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
6:5:  |-  (. A  e.  V  ->.  A. w ( [. A  /  x ]. <. w ,.  y >.  e.  B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
7:6:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,.  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
8:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,.  y >.  e.  B  <->  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B ) ).
9:7,8:  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. w <. w  ,. y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
10:9:  |-  (. A  e.  V  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. E. w  <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
11:10:  |-  (. A  e.  V  ->.  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <.  w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
12:1:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w  <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B } ).
13:11,12:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w  <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
14::  |-  ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,. y >.  e.  B }
15:14:  |-  A. x ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,. y >.  e.  B }
16:1,15:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B } ).
17:13,16:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
18::  |-  ran  [_ A  /  x ]_ B  =  { y  |  E. w <. w  ,. y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }
19:17,18:  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_  A  /  x ]_ B ).
qed:19:  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B )
(Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
csbrngVD  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B )

Proof of Theorem csbrngVD
Dummy variables  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 28342 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A  e.  V  ->.  A  e.  V ).
2 sbcel12g 3096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
31, 2e1_ 28399 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
4 csbconstg 3095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  =  <. w ,  y >. )
51, 4e1_ 28399 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y
>.  =  <. w ,  y >. ).
6 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  =  <. w ,  y >.  ->  ( [_ A  /  x ]_ <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
75, 6e1_ 28399 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
8 bibi1 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  -> 
( ( [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  <->  ( [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) )
98biimprd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [_ A  /  x ]_ <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  -> 
( ( [_ A  /  x ]_ <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  ->  ( [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) )
103, 7, 9e11 28460 . . . . . . . . . 10  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
1110gen11 28388 . . . . . . . . 9  |-  (. A  e.  V  ->.  A. w ( [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
12 exbi 1568 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w ( [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  <.
w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  ->  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
1311, 12e1_ 28399 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
14 sbcexg 3041 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B ) )
1514bicomd 192 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B
) )
161, 15e1_ 28399 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  V  ->.  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B
) ).
17 bitr3 28272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B )  -> 
( ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  ->  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) )
1817com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B )  -> 
( ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B
)  ->  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ) )
1913, 16, 18e11 28460 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  V  ->.  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B
) ).
2019gen11 28388 . . . . . 6  |-  (. A  e.  V  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) ).
21 abbi 2393 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B
)  <->  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B } )
2221biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B
)  ->  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } )
2320, 22e1_ 28399 . . . . 5  |-  (. A  e.  V  ->.  { y  | 
[. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
24 csbabg 3142 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B } )
251, 24e1_ 28399 . . . . 5  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B } ).
26 eqeq2 2292 . . . . . 6  |-  ( { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  <->  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ) )
2726biimpd 198 . . . . 5  |-  ( { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  ->  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ) )
2823, 25, 27e11 28460 . . . 4  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
29 dfrn3 4869 . . . . . 6  |-  ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }
3029ax-gen 1533 . . . . 5  |-  A. x ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }
31 csbeq2g 28315 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B } ) )
321, 30, 31e10 28467 . . . 4  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B } ).
33 eqeq2 2292 . . . . 5  |-  ( [_ A  /  x ]_ {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  <->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ) )
3433biimpd 198 . . . 4  |-  ( [_ A  /  x ]_ {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ) )
3528, 32, 34e11 28460 . . 3  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ).
36 dfrn3 4869 . . 3  |-  ran  [_ A  /  x ]_ B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B }
37 eqeq2 2292 . . . 4  |-  ( ran  [_ A  /  x ]_ B  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B 
<-> 
[_ A  /  x ]_ ran  B  =  {
y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } ) )
3837biimprcd 216 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  ( ran  [_ A  /  x ]_ B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B }  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B ) )
3935, 36, 38e10 28467 . 2  |-  (. A  e.  V  ->.  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B ).
4039in1 28339 1  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   [.wsbc 2991   [_csb 3081   <.cop 3643   ran crn 4690
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-vd1 28338
  Copyright terms: Public domain W3C validator