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Theorem csbunig 3851
Description: Distribute proper substitution through the union of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
csbunig  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ U. B  =  U. [_ A  /  x ]_ B )

Proof of Theorem csbunig
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbabg 3155 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) } )
2 sbcexg 3054 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
3 sbcang 3047 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B
)  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B ) ) )
4 sbcg 3069 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) )
5 sbcel2g 3115 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  B  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
64, 5anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( [. A  /  x ]. z  e.  y  /\  [. A  /  x ]. y  e.  B
)  <->  ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) ) )
73, 6bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B
)  <->  ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) ) )
87exbidv 1616 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( E. y [. A  /  x ]. ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) ) )
92, 8bitrd 244 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B )  <->  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B
) ) )
109abbidv 2410 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { z  |  [. A  /  x ]. E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) } )
111, 10eqtrd 2328 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ B ) } )
12 df-uni 3844 . . 3  |-  U. B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }
1312csbeq2i 3120 . 2  |-  [_ A  /  x ]_ U. B  =  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  B ) }
14 df-uni 3844 . 2  |-  U. [_ A  /  x ]_ B  =  { z  |  E. y ( z  e.  y  /\  y  e. 
[_ A  /  x ]_ B ) }
1511, 13, 143eqtr4g 2353 1  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ U. B  =  U. [_ A  /  x ]_ B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   [.wsbc 3004   [_csb 3094   U.cuni 3843
This theorem is referenced by:  csbfv12gALT  5552  csbfv12gALTVD  28991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-uni 3844
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