MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csscld Unicode version

Theorem csscld 18692
Description: A "closed subspace" in a complex pre-Hilbert space is actually closed in the topology induced by the norm, thus justifying the terminology "closed subspace". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
csscld.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
csscld.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
Assertion
Ref Expression
csscld  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem csscld
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
2 csscld.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2cssi 16600 . . . 4  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  S )
) )
43adantl 452 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  S )
) )
5 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
65, 1ocvss 16586 . . . . 5  |-  ( ( ocv `  W ) `
 S )  C_  ( Base `  W )
7 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
8 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
9 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
105, 7, 8, 9, 1ocvval 16583 . . . . 5  |-  ( ( ( ocv `  W
) `  S )  C_  ( Base `  W
)  ->  ( ( ocv `  W ) `  ( ( ocv `  W
) `  S )
)  =  { x  e.  ( Base `  W
)  |  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
116, 10mp1i 11 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  S ) )  =  { x  e.  (
Base `  W )  |  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
12 riinrab 3993 . . . 4  |-  ( (
Base `  W )  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  =  { x  e.  (
Base `  W )  |  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }
1311, 12syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  S ) )  =  ( ( Base `  W
)  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) )
14 cphnlm 18624 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
1514adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  W  e. NrmMod )
16 nlmngp 18204 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
17 ngptps 18140 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  TopSp )
1815, 16, 173syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  W  e.  TopSp )
19 csscld.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
205, 19istps 16690 . . . . . 6  |-  ( W  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
2118, 20sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) ) )
22 toponuni 16681 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  ->  ( Base `  W
)  =  U. J
)
2321, 22syl 15 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  ( Base `  W )  = 
U. J )
2423ineq1d 3382 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  (
( Base `  W )  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  =  ( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W ) `
 S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
254, 13, 243eqtrd 2332 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  =  ( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) )
26 topontop 16680 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  ->  J  e.  Top )
2721, 26syl 15 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  J  e.  Top )
286sseli 3189 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ( ocv `  W ) `  S
)  ->  y  e.  ( Base `  W )
)
29 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  e.  _V
30 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( x ( .i `  W ) y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )
3130mptiniseg 5183 . . . . . . 7  |-  ( ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e. 
_V  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  =  { x  e.  (
Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
3229, 31ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) ) " {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  { x  e.  ( Base `  W
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }
33 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
34 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  W  e.  CPreHil )
3521adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W
) ) )
3635cnmptid 17371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  x )  e.  ( J  Cn  J
) )
37 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  y  e.  (
Base `  W )
)
3835, 35, 37cnmptc 17372 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  y )  e.  ( J  Cn  J
) )
3919, 33, 7, 34, 35, 36, 38cnmpt1ip 18690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( x ( .i `  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4033cnfldhaus 18310 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
41 cphclm 18641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
428clm0 18586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
4443ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
45 0cn 8847 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
4644, 45syl6eqelr 2385 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )
4733cnfldtopon 18308 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
4847toponunii 16686 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
4948sncld 17115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )  ->  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
5040, 46, 49sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
51 cnclima 17013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
Base `  W )  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
)  /\  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )  -> 
( `' ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( x ( .i `  W ) y ) ) " { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
5239, 50, 51syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
5332, 52syl5eqelr 2381 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  ( Base `  W ) )  ->  { x  e.  ( Base `  W
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
5428, 53sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  /\  y  e.  (
( ocv `  W
) `  S )
)  ->  { x  e.  ( Base `  W
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
5554ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }  e.  (
Clsd `  J )
)
56 eqid 2296 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
5756riincld 16797 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  ( ( ocv `  W ) `
 S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W ) `
 S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
5827, 55, 57syl2anc 642 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  ( U. J  i^i  |^|_ y  e.  ( ( ocv `  W
) `  S ) { x  e.  ( Base `  W )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
5925, 58eqeltrd 2370 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  e.  C )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   U.cuni 3843   |^|_ciin 3922    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .icip 13229   TopOpenctopn 13342   0gc0g 13416  ℂfldccnfld 16393   ocvcocv 16576   CSubSpccss 16577   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   TopSpctps 16650   Clsdccld 16769    Cn ccn 16970   Hauscha 17052  NrmGrpcngp 18116  NrmModcnlm 18119  CModcclm 18576   CPreHilccph 18618
This theorem is referenced by:  cldcss  18821
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-rnghom 15512  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-staf 15626  df-srng 15627  df-lmod 15645  df-lmhm 15795  df-lvec 15872  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-phl 16546  df-ipf 16547  df-ocv 16579  df-css 16580  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-t1 17058  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-tng 18123  df-nlm 18125  df-clm 18577  df-cph 18620  df-tch 18621
  Copyright terms: Public domain W3C validator