MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssi Unicode version

Theorem cssi 16834
Description: Property of a closed subspace (of a pre-Hilbert space). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssval.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
cssval.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
cssi  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )

Proof of Theorem cssi
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5697 . . . 4  |-  ( S  e.  ( CSubSp `  W
)  ->  W  e.  dom  CSubSp )
2 cssval.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2eleq2s 2479 . . 3  |-  ( S  e.  C  ->  W  e.  dom  CSubSp )
4 cssval.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
54, 2iscss 16833 . . 3  |-  ( W  e.  dom  CSubSp  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( S  e.  C  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
76ibi 233 1  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   dom cdm 4818   ` cfv 5394   ocvcocv 16810   CSubSpccss 16811
This theorem is referenced by:  cssss  16835  cssincl  16838  csslss  16841  cssmre  16843  mrccss  16844  ocvpj  16867  csscld  19074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-fv 5402  df-ov 6023  df-ocv 16813  df-css 16814
  Copyright terms: Public domain W3C validator