MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssi Unicode version

Theorem cssi 16600
Description: Property of a closed subspace (of a pre-Hilbert space). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssval.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
cssval.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
cssi  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )

Proof of Theorem cssi
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5570 . . . 4  |-  ( S  e.  ( CSubSp `  W
)  ->  W  e.  dom  CSubSp )
2 cssval.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2eleq2s 2388 . . 3  |-  ( S  e.  C  ->  W  e.  dom  CSubSp )
4 cssval.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
54, 2iscss 16599 . . 3  |-  ( W  e.  dom  CSubSp  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
63, 5syl 15 . 2  |-  ( S  e.  C  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
76ibi 232 1  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   dom cdm 4705   ` cfv 5271   ocvcocv 16576   CSubSpccss 16577
This theorem is referenced by:  cssss  16601  cssincl  16604  csslss  16607  cssmre  16609  mrccss  16610  ocvpj  16633  csscld  18692
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-ocv 16579  df-css 16580
  Copyright terms: Public domain W3C validator