MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssi Structured version   Unicode version

Theorem cssi 16903
Description: Property of a closed subspace (of a pre-Hilbert space). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssval.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
cssval.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
cssi  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )

Proof of Theorem cssi
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5749 . . . 4  |-  ( S  e.  ( CSubSp `  W
)  ->  W  e.  dom  CSubSp )
2 cssval.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2eleq2s 2527 . . 3  |-  ( S  e.  C  ->  W  e.  dom  CSubSp )
4 cssval.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
54, 2iscss 16902 . . 3  |-  ( W  e.  dom  CSubSp  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( S  e.  C  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
76ibi 233 1  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   dom cdm 4870   ` cfv 5446   ocvcocv 16879   CSubSpccss 16880
This theorem is referenced by:  cssss  16904  cssincl  16907  csslss  16910  cssmre  16912  mrccss  16913  ocvpj  16936  csscld  19195
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-ocv 16882  df-css 16883
  Copyright terms: Public domain W3C validator