MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssincl Unicode version

Theorem cssincl 16644
Description: The zero subspace is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
css0.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
cssincl  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  ( A  i^i  B )  e.  C )

Proof of Theorem cssincl
StepHypRef Expression
1 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
31, 2ocvss 16626 . . . . 5  |-  ( ( ocv `  W ) `
 A )  C_  ( Base `  W )
41, 2ocvss 16626 . . . . 5  |-  ( ( ocv `  W ) `
 B )  C_  ( Base `  W )
53, 4unssi 3384 . . . 4  |-  ( ( ( ocv `  W
) `  A )  u.  ( ( ocv `  W
) `  B )
)  C_  ( Base `  W )
6 css0.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
71, 6, 2ocvcss 16643 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( ( ocv `  W
) `  A )  u.  ( ( ocv `  W
) `  B )
)  C_  ( Base `  W ) )  -> 
( ( ocv `  W
) `  ( (
( ocv `  W
) `  A )  u.  ( ( ocv `  W
) `  B )
) )  e.  C
)
85, 7mpan2 652 . . 3  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( ( ocv `  W ) `  (
( ( ocv `  W
) `  A )  u.  ( ( ocv `  W
) `  B )
) )  e.  C
)
92, 6cssi 16640 . . . . . 6  |-  ( A  e.  C  ->  A  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  A )
) )
102, 6cssi 16640 . . . . . 6  |-  ( B  e.  C  ->  B  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  B )
) )
119, 10ineqan12d 3406 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  ( A  i^i  B
)  =  ( ( ( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  A ) )  i^i  ( ( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  B ) ) ) )
122unocv 16636 . . . . 5  |-  ( ( ocv `  W ) `
 ( ( ( ocv `  W ) `
 A )  u.  ( ( ocv `  W
) `  B )
) )  =  ( ( ( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  A ) )  i^i  ( ( ocv `  W
) `  ( ( ocv `  W ) `  B ) ) )
1311, 12syl6eqr 2366 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  ( A  i^i  B
)  =  ( ( ocv `  W ) `
 ( ( ( ocv `  W ) `
 A )  u.  ( ( ocv `  W
) `  B )
) ) )
1413eleq1d 2382 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  ( ( A  i^i  B )  e.  C  <->  ( ( ocv `  W ) `  ( ( ( ocv `  W ) `  A
)  u.  ( ( ocv `  W ) `
 B ) ) )  e.  C ) )
158, 14syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  ( A  i^i  B )  e.  C ) )
16153impib 1149 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  ( A  i^i  B )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701    u. cun 3184    i^i cin 3185    C_ wss 3186   ` cfv 5292   Basecbs 13195   PreHilcphl 16584   ocvcocv 16616   CSubSpccss 16617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-tpos 6276  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-grp 14538  df-ghm 14730  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-rnghom 15545  df-staf 15659  df-srng 15660  df-lmod 15678  df-lmhm 15828  df-lvec 15905  df-sra 15974  df-rgmod 15975  df-phl 16586  df-ocv 16619  df-css 16620
  Copyright terms: Public domain W3C validator