Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssmre Structured version   Unicode version

Theorem cssmre 16912
 Description: The closed subspaces of a pre-Hilbert space are a Moore system. Unlike many of our other examples of closure systems, this one is not usually an algebraic closure system df-acs 13806: consider the Hilbert space of sequences with convergent sum; the subspace of all sequences with finite support is the classic example of a non-closed subspace, but for every finite set of sequences of finite support, there is a finite-dimensional (and hence closed) subspace containing all of the sequences, so if closed subspaces were an algebraic closure system this would violate acsfiel 13871. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssmre.v
cssmre.c
Assertion
Ref Expression
cssmre Moore

Proof of Theorem cssmre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cssmre.v . . . . . 6
2 cssmre.c . . . . . 6
31, 2cssss 16904 . . . . 5
4 vex 2951 . . . . . 6
54elpw 3797 . . . . 5
63, 5sylibr 204 . . . 4
76a1i 11 . . 3
87ssrdv 3346 . 2
91, 2css1 16909 . 2
10 intss1 4057 . . . . . . . . . . . 12
11 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13
1211ocv2ss 16892 . . . . . . . . . . . 12
1311ocv2ss 16892 . . . . . . . . . . . 12
1410, 12, 133syl 19 . . . . . . . . . . 11
1514ad2antll 710 . . . . . . . . . 10
16 simprl 733 . . . . . . . . . 10
1715, 16sseldd 3341 . . . . . . . . 9
18 simpl2 961 . . . . . . . . . . 11
19 simprr 734 . . . . . . . . . . 11
2018, 19sseldd 3341 . . . . . . . . . 10
2111, 2cssi 16903 . . . . . . . . . 10
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9
2317, 22eleqtrrd 2512 . . . . . . . 8
2423expr 599 . . . . . . 7
2524alrimiv 1641 . . . . . 6
26 vex 2951 . . . . . . 7
2726elint 4048 . . . . . 6
2825, 27sylibr 204 . . . . 5
2928ex 424 . . . 4
3029ssrdv 3346 . . 3
31 simp1 957 . . . 4
32 intssuni 4064 . . . . . 6
33323ad2ant3 980 . . . . 5
34 simp2 958 . . . . . . 7
3583ad2ant1 978 . . . . . . 7
3634, 35sstrd 3350 . . . . . 6
37 sspwuni 4168 . . . . . 6
3836, 37sylib 189 . . . . 5
3933, 38sstrd 3350 . . . 4
401, 2, 11iscss2 16905 . . . 4
4131, 39, 40syl2anc 643 . . 3
4230, 41mpbird 224 . 2
438, 9, 42ismred 13819 1 Moore
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  cuni 4007  cint 4042  cfv 5446  cbs 13461  Moorecmre 13799  cphl 16847  cocv 16879  ccss 16880 This theorem is referenced by:  mrccss  16913 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-ghm 14996  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-rnghom 15811  df-staf 15925  df-srng 15926  df-lmod 15944  df-lmhm 16090  df-lvec 16167  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-phl 16849  df-ocv 16882  df-css 16883
 Copyright terms: Public domain W3C validator