MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssss Unicode version

Theorem cssss 16585
Description: A closed subspace is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cssss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
cssss  |-  ( S  e.  C  ->  S  C_  V )

Proof of Theorem cssss
StepHypRef Expression
1 cssss.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
31, 2ocvss 16570 . 2  |-  ( ( ocv `  W ) `
 ( ( ocv `  W ) `  S
) )  C_  V
4 cssss.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
52, 4cssi 16584 . . 3  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  S )
) )
65sseq1d 3205 . 2  |-  ( S  e.  C  ->  ( S  C_  V  <->  ( ( ocv `  W ) `  ( ( ocv `  W
) `  S )
)  C_  V )
)
73, 6mpbiri 224 1  |-  ( S  e.  C  ->  S  C_  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255   Basecbs 13148   ocvcocv 16560   CSubSpccss 16561
This theorem is referenced by:  cssmre  16593  ocvpj  16617  hlhillcs  31524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-ocv 16563  df-css 16564
  Copyright terms: Public domain W3C validator