MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssss Unicode version

Theorem cssss 16836
Description: A closed subspace is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cssss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
cssss  |-  ( S  e.  C  ->  S  C_  V )

Proof of Theorem cssss
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . . 3  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
2 cssss.c . . 3  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2cssi 16835 . 2  |-  ( S  e.  C  ->  S  =  ( ( ocv `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  S )
) )
4 cssss.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
54, 1ocvss 16821 . 2  |-  ( ( ocv `  W ) `
 ( ( ocv `  W ) `  S
) )  C_  V
63, 5syl6eqss 3342 1  |-  ( S  e.  C  ->  S  C_  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3264   ` cfv 5395   Basecbs 13397   ocvcocv 16811   CSubSpccss 16812
This theorem is referenced by:  cssmre  16844  ocvpj  16868  hlhillcs  32077
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fv 5403  df-ov 6024  df-ocv 16814  df-css 16815
  Copyright terms: Public domain W3C validator