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Theorem cstucnd 18306
Description: A constant function is uniformly continuous. Deduction form. Example 1 of [BourbakiTop1] p. II.6. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cstucnd.1  |-  ( ph  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
cstucnd.2  |-  ( ph  ->  V  e.  (UnifOn `  Y ) )
cstucnd.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
cstucnd  |-  ( ph  ->  ( X  X.  { A } )  e.  ( U Cnu V ) )

Proof of Theorem cstucnd
Dummy variables  s 
r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cstucnd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Y )
2 fconst6g 5624 . . 3  |-  ( A  e.  Y  ->  ( X  X.  { A }
) : X --> Y )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  X.  { A } ) : X --> Y )
4 cstucnd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
54adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  V )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
6 ustne0 18235 . . . . 5  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  U  =/=  (/) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  V )  ->  U  =/=  (/) )
8 cstucnd.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  V  e.  (UnifOn `  Y ) )
98ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  V )  /\  r  e.  U
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  V  e.  (UnifOn `  Y
) )
10 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  V )  /\  r  e.  U
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
s  e.  V )
111ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  V )  /\  r  e.  U
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  A  e.  Y )
12 ustref 18240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  (UnifOn `  Y )  /\  s  e.  V  /\  A  e.  Y )  ->  A
s A )
139, 10, 11, 12syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  V )  /\  r  e.  U
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  A s A )
14 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  V )  /\  r  e.  U
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
15 fvconst2g 5937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Y  /\  x  e.  X )  ->  ( ( X  X.  { A } ) `  x )  =  A )
1611, 14, 15syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  V )  /\  r  e.  U
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( X  X.  { A } ) `  x )  =  A )
17 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  V )  /\  r  e.  U
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
18 fvconst2g 5937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Y  /\  y  e.  X )  ->  ( ( X  X.  { A } ) `  y )  =  A )
1911, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  V )  /\  r  e.  U
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( X  X.  { A } ) `  y )  =  A )
2013, 16, 193brtr4d 4234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  V )  /\  r  e.  U
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( X  X.  { A } ) `  x ) s ( ( X  X.  { A } ) `  y
) )
2120a1d 23 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  V )  /\  r  e.  U
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x r y  ->  ( ( X  X.  { A }
) `  x )
s ( ( X  X.  { A }
) `  y )
) )
2221ralrimivva 2790 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  V )  /\  r  e.  U )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  (
( X  X.  { A } ) `  x
) s ( ( X  X.  { A } ) `  y
) ) )
2322reximdva0 3631 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  V )  /\  U  =/=  (/) )  ->  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  (
( X  X.  { A } ) `  x
) s ( ( X  X.  { A } ) `  y
) ) )
247, 23mpdan 650 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  V )  ->  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  (
( X  X.  { A } ) `  x
) s ( ( X  X.  { A } ) `  y
) ) )
2524ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ph  ->  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( ( X  X.  { A }
) `  x )
s ( ( X  X.  { A }
) `  y )
) )
26 isucn 18300 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( ( X  X.  { A }
)  e.  ( U Cnu V )  <->  ( ( X  X.  { A }
) : X --> Y  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( ( X  X.  { A } ) `  x ) s ( ( X  X.  { A } ) `  y
) ) ) ) )
274, 8, 26syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  X.  { A } )  e.  ( U Cnu V )  <->  ( ( X  X.  { A }
) : X --> Y  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( ( X  X.  { A } ) `  x ) s ( ( X  X.  { A } ) `  y
) ) ) ) )
283, 25, 27mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( X  X.  { A } )  e.  ( U Cnu V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073  UnifOncust 18221   Cnucucn 18297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-ust 18222  df-ucn 18298
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