Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ctbnfien Unicode version

Theorem ctbnfien 26901
Description: An infinite subset of a countable set is countable, without using choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ctbnfien  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  A  ~~  Y )

Proof of Theorem ctbnfien
StepHypRef Expression
1 isfinite 7353 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
21notbii 287 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  <->  -.  A  ~<  om )
3 relen 6868 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~~
43brrelexi 4729 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
~~  om  ->  X  e. 
_V )
5 ssdomg 6907 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  _V  ->  ( A  C_  X  ->  A  ~<_  X ) )
64, 5syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
~~  om  ->  ( A 
C_  X  ->  A  ~<_  X ) )
7 domen2 7004 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
~~  om  ->  ( A  ~<_  X  <->  A  ~<_  om )
)
86, 7sylibd 205 . . . . . . . 8  |-  ( X 
~~  om  ->  ( A 
C_  X  ->  A  ~<_  om ) )
98imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( X  ~~  om  /\  A  C_  X )  ->  A  ~<_  om )
10 brdom2 6891 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  om  <->  ( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
119, 10sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( X  ~~  om  /\  A  C_  X )  -> 
( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
1211adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  A  C_  X )  ->  ( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
1312ord 366 . . . 4  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  A  ~<  om  ->  A  ~~  om ) )
142, 13syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  A  ~~  om ) )
1514impr 602 . 2  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  A  ~~  om )
16 enen2 7002 . . 3  |-  ( Y 
~~  om  ->  ( A 
~~  Y  <->  A  ~~  om ) )
1716ad2antlr 707 . 2  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  ( A  ~~  Y  <->  A  ~~  om ) )
1815, 17mpbird 223 1  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  A  ~~  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   omcom 4656    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  fiphp3d  26902  irrapx1  26913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator