Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ctbnfien Unicode version

Theorem ctbnfien 26049
Description: An infinite subset of a countable set is countable, without using choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ctbnfien  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  A  ~~  Y )

Proof of Theorem ctbnfien
StepHypRef Expression
1 isfinite 7398 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
21notbii 287 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  <->  -.  A  ~<  om )
3 relen 6911 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~~
43brrelexi 4766 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
~~  om  ->  X  e. 
_V )
5 ssdomg 6950 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  _V  ->  ( A  C_  X  ->  A  ~<_  X ) )
64, 5syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
~~  om  ->  ( A 
C_  X  ->  A  ~<_  X ) )
7 domen2 7047 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
~~  om  ->  ( A  ~<_  X  <->  A  ~<_  om )
)
86, 7sylibd 205 . . . . . . . 8  |-  ( X 
~~  om  ->  ( A 
C_  X  ->  A  ~<_  om ) )
98imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( X  ~~  om  /\  A  C_  X )  ->  A  ~<_  om )
10 brdom2 6934 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  om  <->  ( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
119, 10sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( X  ~~  om  /\  A  C_  X )  -> 
( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
1211adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  A  C_  X )  ->  ( A  ~<  om  \/  A  ~~  om ) )
1312ord 366 . . . 4  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  A  ~<  om  ->  A  ~~  om ) )
142, 13syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  A  ~~  om ) )
1514impr 602 . 2  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  A  ~~  om )
16 enen2 7045 . . 3  |-  ( Y 
~~  om  ->  ( A 
~~  Y  <->  A  ~~  om ) )
1716ad2antlr 707 . 2  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  ( A  ~~  Y  <->  A  ~~  om ) )
1815, 17mpbird 223 1  |-  ( ( ( X  ~~  om  /\  Y  ~~  om )  /\  ( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin ) )  ->  A  ~~  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    e. wcel 1701   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   class class class wbr 4060   omcom 4693    ~~ cen 6903    ~<_ cdom 6904    ~< csdm 6905   Fincfn 6906
This theorem is referenced by:  fiphp3d  26050  irrapx1  26061
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910
  Copyright terms: Public domain W3C validator