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Theorem curfcl 14006
Description: The curry functor of a functor  F : C  X.  D --> E is a functor curryF  ( F ) : C --> ( D --> E ). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
curfcl.g  |-  G  =  ( <. C ,  D >. curryF  F
)
curfcl.q  |-  Q  =  ( D FuncCat  E )
curfcl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
curfcl.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
curfcl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
) )
Assertion
Ref Expression
curfcl  |-  ( ph  ->  G  e.  ( C 
Func  Q ) )

Proof of Theorem curfcl
Dummy variables  w  g  x  y  z 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 curfcl.g . . . 4  |-  G  =  ( <. C ,  D >. curryF  F
)
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
3 curfcl.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 curfcl.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
5 curfcl.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
) )
6 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
7 eqid 2283 . . . 4  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
8 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
9 eqid 2283 . . . 4  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
10 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10curfval 13997 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  <. (
x  e.  ( Base `  C )  |->  <. (
y  e.  ( Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F
) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >. )
12 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( Base `  C )  e.  _V
1312mptex 5746 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. )  e.  _V
1412, 12mpt2ex 6198 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  e.  _V
1513, 14op1std 6130 . . . . 5  |-  ( G  =  <. ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >.  ->  ( 1st `  G )  =  ( x  e.  (
Base `  C )  |-> 
<. ( y  e.  (
Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >. ) )
1611, 15syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st `  G
)  =  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. ) )
1713, 14op2ndd 6131 . . . . 5  |-  ( G  =  <. ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >.  ->  ( 2nd `  G )  =  ( x  e.  (
Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C )  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  |->  ( z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g ( <. x ,  z
>. ( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) )
1811, 17syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  G
)  =  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) )
1916, 18opeq12d 3804 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( 1st `  G
) ,  ( 2nd `  G ) >.  =  <. ( x  e.  ( Base `  C )  |->  <. (
y  e.  ( Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F
) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >. )
2011, 19eqtr4d 2318 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  <. ( 1st `  G ) ,  ( 2nd `  G
) >. )
21 curfcl.q . . . . 5  |-  Q  =  ( D FuncCat  E )
2221fucbas 13834 . . . 4  |-  ( D 
Func  E )  =  (
Base `  Q )
23 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( D Nat 
E )  =  ( D Nat  E )
2421, 23fuchom 13835 . . . 4  |-  ( D Nat 
E )  =  (  Hom  `  Q )
25 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Id
`  Q )  =  ( Id `  Q
)
26 eqid 2283 . . . 4  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
27 eqid 2283 . . . 4  |-  (comp `  Q )  =  (comp `  Q )
28 funcrcl 13737 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
)  ->  ( ( C  X.c  D )  e.  Cat  /\  E  e.  Cat )
)
295, 28syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  X.c  D
)  e.  Cat  /\  E  e.  Cat )
)
3029simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
3121, 4, 30fuccat 13844 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  Cat )
32 opex 4237 . . . . . 6  |-  <. (
y  e.  ( Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F
) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >.  e.  _V
3332a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >.  e.  _V )
343adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  C  e.  Cat )
354adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  D  e.  Cat )
365adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
37 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
38 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( ( 1st `  G ) `
 x )  =  ( ( 1st `  G
) `  x )
391, 2, 34, 35, 36, 6, 37, 38curf1cl 14002 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( 1st `  G ) `  x )  e.  ( D  Func  E )
)
4033, 16, 39fmpt2d 5688 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st `  G
) : ( Base `  C ) --> ( D 
Func  E ) )
41 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
42 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( x (  Hom  `  C
) y )  e. 
_V
4342mptex 5746 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C )
y )  |->  ( z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g (
<. x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) )  e.  _V
4441, 43fnmpt2i 6193 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  Fn  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )
4518fneq1d 5335 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd `  G
)  Fn  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  <->  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  Fn  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) ) )
4644, 45mpbiri 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  G
)  Fn  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )
47 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( Base `  D )  e.  _V
4847mptex 5746 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g (
<. x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) )  e.  _V
4948a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) )  e.  _V )
5018oveqd 5875 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x ( 2nd `  G ) y )  =  ( x ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) y ) )
5141ovmpt4g 5970 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) )  e.  _V )  ->  ( x ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) y )  =  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
5243, 51mp3an3 1266 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
x ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) y )  =  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
5350, 52sylan9eq 2335 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  (
x ( 2nd `  G
) y )  =  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  |->  ( z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g ( <. x ,  z
>. ( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
543ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  C  e.  Cat )
554ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  D  e.  Cat )
565ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
) )
57 simplrl 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  x  e.  ( Base `  C ) )
58 simplrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
y  e.  ( Base `  C ) )
59 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) )
60 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  g )  =  ( ( x ( 2nd `  G ) y ) `
 g )
611, 2, 54, 55, 56, 6, 9, 10, 57, 58, 59, 60, 23curf2cl 14005 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
( ( x ( 2nd `  G ) y ) `  g
)  e.  ( ( ( 1st `  G
) `  x )
( D Nat  E ) ( ( 1st `  G
) `  y )
) )
6249, 53, 61fmpt2d 5688 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  (
x ( 2nd `  G
) y ) : ( x (  Hom  `  C ) y ) --> ( ( ( 1st `  G ) `  x
) ( D Nat  E
) ( ( 1st `  G ) `  y
) ) )
63 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  X.c  D )  =  ( C  X.c  D )
6463, 2, 6xpcbas 13952 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  D
) )  =  (
Base `  ( C  X.c  D ) )
65 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Id
`  ( C  X.c  D
) )  =  ( Id `  ( C  X.c  D ) )
66 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Id
`  E )  =  ( Id `  E
)
67 relfunc 13736 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  (
( C  X.c  D ) 
Func  E )
68 1st2ndbr 6169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  ( ( C  X.c  D )  Func  E
)  /\  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)  ->  ( 1st `  F ) ( ( C  X.c  D )  Func  E
) ( 2nd `  F
) )
6967, 5, 68sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1st `  F
) ( ( C  X.c  D )  Func  E
) ( 2nd `  F
) )
7069ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( 1st `  F ) ( ( C  X.c  D ) 
Func  E ) ( 2nd `  F ) )
71 opelxpi 4721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  D ) ) )
7271adantll 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  D ) ) )
7364, 65, 66, 70, 72funcid 13744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  ( ( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( Id `  E
) `  ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  y >.
) ) )
7434adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  C  e.  Cat )
7535adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  D  e.  Cat )
7637adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
77 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  y  e.  ( Base `  D
) )
7863, 74, 75, 2, 6, 8, 10, 65, 76, 77xpcid 13963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  <. (
( Id `  C
) `  x ) ,  ( ( Id
`  D ) `  y ) >. )
7978fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  ( ( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  <. (
( Id `  C
) `  x ) ,  ( ( Id
`  D ) `  y ) >. )
)
80 df-ov 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Id `  C
) `  x )
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) )  =  ( ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  y >.
) `  <. ( ( Id `  C ) `
 x ) ,  ( ( Id `  D ) `  y
) >. )
8179, 80syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  ( ( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  y >.
) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) )
825ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
831, 2, 74, 75, 82, 6, 76, 38, 77curf11 14000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )  =  ( x ( 1st `  F ) y ) )
84 df-ov 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( 1st `  F
) y )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. x ,  y >. )
8583, 84syl6req 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  F
) `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
)
8685fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( Id `  E
) `  ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( Id `  E
) `  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G ) `  x
) ) `  y
) ) )
8773, 81, 863eqtr3d 2323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  y >.
) ( ( Id
`  D ) `  y ) )  =  ( ( Id `  E ) `  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) )
8887mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( ( Id `  C ) `
 x ) (
<. x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( Id
`  E ) `  ( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) ) )
8930adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  E  e.  Cat )
90 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  E )  =  (
Base `  E )
9190, 66cidfn 13581 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  Cat  ->  ( Id `  E )  Fn  ( Base `  E
) )
9289, 91syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( Id `  E )  Fn  ( Base `  E ) )
93 dffn2 5390 . . . . . . . 8  |-  ( ( Id `  E )  Fn  ( Base `  E
)  <->  ( Id `  E ) : (
Base `  E ) --> _V )
9492, 93sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( Id `  E ) : (
Base `  E ) --> _V )
95 relfunc 13736 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ( D  Func  E )
96 1st2ndbr 6169 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Rel  ( D  Func  E )  /\  ( ( 1st `  G ) `
 x )  e.  ( D  Func  E
) )  ->  ( 1st `  ( ( 1st `  G ) `  x
) ) ( D 
Func  E ) ( 2nd `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) )
9795, 39, 96sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) ( D  Func  E ) ( 2nd `  (
( 1st `  G
) `  x )
) )
986, 90, 97funcf1 13740 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) : ( Base `  D ) --> ( Base `  E ) )
99 fcompt 5694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Id `  E
) : ( Base `  E ) --> _V  /\  ( 1st `  ( ( 1st `  G ) `
 x ) ) : ( Base `  D
) --> ( Base `  E
) )  ->  (
( Id `  E
)  o.  ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) )  =  ( y  e.  ( Base `  D )  |->  ( ( Id `  E ) `
 ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) ) )
10094, 98, 99syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( Id `  E )  o.  ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) )  =  ( y  e.  ( Base `  D )  |->  ( ( Id `  E ) `
 ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) ) )
10188, 100eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( ( Id `  C ) `
 x ) (
<. x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) )  =  ( ( Id
`  E )  o.  ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) ) )
1022, 9, 8, 34, 37catidcl 13584 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( Id `  C ) `  x )  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )
103 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( x ( 2nd `  G ) x ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )
1041, 2, 34, 35, 36, 6, 9, 10, 37, 37, 102, 103curf2 14003 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( y  e.  ( Base `  D )  |->  ( ( ( Id `  C
) `  x )
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) ) )
10521, 25, 66, 39fucid 13845 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( Id `  Q ) `  ( ( 1st `  G
) `  x )
)  =  ( ( Id `  E )  o.  ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) ) )
106101, 104, 1053eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  Q
) `  ( ( 1st `  G ) `  x ) ) )
10733ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  C  e.  Cat )
108107adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  C  e.  Cat )
10943ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  D  e.  Cat )
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  D  e.  Cat )
11153ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
112111adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
113 simp21 988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
114113adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
115 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  w  e.  ( Base `  D
) )
1161, 2, 108, 110, 112, 6, 114, 38, 115curf11 14000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w )  =  ( x ( 1st `  F ) w ) )
117 df-ov 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x ( 1st `  F
) w )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. x ,  w >. )
118116, 117syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w )  =  ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. )
)
119 simp22 989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
120119adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
121 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1st `  G ) `
 y )  =  ( ( 1st `  G
) `  y )
1221, 2, 108, 110, 112, 6, 120, 121, 115curf11 14000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  y )
) `  w )  =  ( y ( 1st `  F ) w ) )
123 df-ov 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y ( 1st `  F
) w )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. y ,  w >. )
124122, 123syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  y )
) `  w )  =  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. )
)
125118, 124opeq12d 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >.  =  <. ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. ) >. )
126 simp23 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  C )
)
127126adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  z  e.  ( Base `  C
) )
128 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  G ) `
 z )  =  ( ( 1st `  G
) `  z )
1291, 2, 108, 110, 112, 6, 127, 128, 115curf11 14000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )  =  ( z ( 1st `  F ) w ) )
130 df-ov 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( z ( 1st `  F
) w )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. z ,  w >. )
131129, 130syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )  =  ( ( 1st `  F ) `  <. z ,  w >. )
)
132125, 131oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. ( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
)  =  ( <.
( ( 1st `  F
) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F
) `  <. y ,  w >. ) >. (comp `  E ) ( ( 1st `  F ) `
 <. z ,  w >. ) ) )
133 simp3r 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  g  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) )
134133adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  g  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) )
135 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g )  =  ( ( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g )
1361, 2, 108, 110, 112, 6, 9, 10, 120, 127, 134, 135, 115curf2val 14004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( y ( 2nd `  G ) z ) `  g
) `  w )  =  ( g (
<. y ,  w >. ( 2nd `  F )
<. z ,  w >. ) ( ( Id `  D ) `  w
) ) )
137 df-ov 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( g ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) )  =  ( ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
138136, 137syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( y ( 2nd `  G ) z ) `  g
) `  w )  =  ( ( <.
y ,  w >. ( 2nd `  F )
<. z ,  w >. ) `
 <. g ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. ) )
139 simp3l 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )
140139adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )
141 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f )  =  ( ( x ( 2nd `  G ) y ) `
 f )
1421, 2, 108, 110, 112, 6, 9, 10, 114, 120, 140, 141, 115curf2val 14004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( x ( 2nd `  G ) y ) `  f
) `  w )  =  ( f (
<. x ,  w >. ( 2nd `  F )
<. y ,  w >. ) ( ( Id `  D ) `  w
) ) )
143 df-ov 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( f ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) )  =  ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) `  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
144142, 143syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( x ( 2nd `  G ) y ) `  f
) `  w )  =  ( ( <.
x ,  w >. ( 2nd `  F )
<. y ,  w >. ) `
 <. f ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. ) )
145132, 138, 144oveq123d 5879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g ) `  w
) ( <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) )  =  ( ( ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
( <. ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  F
) `  <. z ,  w >. ) ) ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) `  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
) )
146 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  (  Hom  `  ( C  X.c  D ) )  =  (  Hom  `  ( C  X.c  D ) )
147 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  (comp `  ( C  X.c  D )
)  =  (comp `  ( C  X.c  D )
)
148 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  (comp `  E )  =  (comp `  E )
14967, 112, 68sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( 1st `  F ) ( ( C  X.c  D ) 
Func  E ) ( 2nd `  F ) )
150 opelxpi 4721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
151114, 115, 150syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
152 opelxpi 4721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( Base `  C )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. y ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
153120, 115, 152syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. y ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
154 opelxpi 4721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( Base `  C )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. z ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
155127, 115, 154syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. z ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
1566, 7, 10, 110, 115catidcl 13584 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( Id `  D
) `  w )  e.  ( w (  Hom  `  D ) w ) )
157 opelxpi 4721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  ( ( Id `  D ) `  w
)  e.  ( w (  Hom  `  D
) w ) )  ->  <. f ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >.  e.  ( ( x (  Hom  `  C
) y )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
158140, 156, 157syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  ( ( x (  Hom  `  C ) y )  X.  ( w (  Hom  `  D )
w ) ) )
15963, 2, 6, 9, 7, 114, 115, 120, 115, 146xpchom2 13960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. x ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
y ,  w >. )  =  ( ( x (  Hom  `  C
) y )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
160158, 159eleqtrrd 2360 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  (
<. x ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
y ,  w >. ) )
161 opelxpi 4721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z )  /\  ( ( Id `  D ) `  w
)  e.  ( w (  Hom  `  D
) w ) )  ->  <. g ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >.  e.  ( ( y (  Hom  `  C
) z )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
162134, 156, 161syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  ( ( y (  Hom  `  C ) z )  X.  ( w (  Hom  `  D )
w ) ) )
16363, 2, 6, 9, 7, 120, 115, 127, 115, 146xpchom2 13960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. y ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )  =  ( ( y (  Hom  `  C
) z )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
164162, 163eleqtrrd 2360 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  (
<. y ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. ) )
16564, 146, 147, 148, 149, 151, 153, 155, 160, 164funcco 13745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  ( <.
g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
) )  =  ( ( ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
( <. ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  F
) `  <. z ,  w >. ) ) ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) `  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
) )
166 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
16763, 2, 6, 9, 7, 114, 115, 120, 115, 26, 166, 147, 127, 115, 140, 156, 134, 156xpcco2 13961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
)  =  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( ( Id `  D ) `  w
) ( <. w ,  w >. (comp `  D
) w ) ( ( Id `  D
) `  w )
) >. )
1686, 7, 10, 110, 115, 166, 115, 156catlid 13585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( Id `  D ) `  w
) ( <. w ,  w >. (comp `  D
) w ) ( ( Id `  D
) `  w )
)  =  ( ( Id `  D ) `
 w ) )
169168opeq2d 3803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( ( Id `  D ) `  w
) ( <. w ,  w >. (comp `  D
) w ) ( ( Id `  D
) `  w )
) >.  =  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. )
170167, 169eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
)  =  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. )
171170fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  ( <.
g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
) )  =  ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. ) )
172 df-ov 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ( <.
x ,  w >. ( 2nd `  F )
<. z ,  w >. ) ( ( Id `  D ) `  w
) )  =  ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. )
173171, 172syl6eqr 2333 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  ( <.
g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
) )  =  ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) ) )
174145, 165, 1733eqtr2rd 2322 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) )  =  ( ( ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g ) `  w
) ( <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) ) )
175174mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( w  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( ( ( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g ) `  w ) ( <.
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) ) ) )
1762, 9, 26, 107, 113, 119, 126, 139, 133catcocl 13587 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z ) )
177 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )
1781, 2, 107, 109, 111, 6, 9, 10, 113, 126, 176, 177curf2 14003 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( w  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) ) ) )
1791, 2, 107, 109, 111, 6, 9, 10, 113, 119, 139, 141, 23curf2cl 14005 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) y ) `  f )  e.  ( ( ( 1st `  G
) `  x )
( D Nat  E ) ( ( 1st `  G
) `  y )
) )
1801, 2, 107, 109, 111, 6, 9, 10, 119, 126, 133, 135, 23curf2cl 14005 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
y ( 2nd `  G
) z ) `  g )  e.  ( ( ( 1st `  G
) `  y )
( D Nat  E ) ( ( 1st `  G
) `  z )
) )
18121, 23, 6, 148, 27, 179, 180fucco 13836 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g ) (
<. ( ( 1st `  G
) `  x ) ,  ( ( 1st `  G ) `  y
) >. (comp `  Q
) ( ( 1st `  G ) `  z
) ) ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) )  =  ( w  e.  (
Base `  D )  |->  ( ( ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g ) `  w
) ( <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) ) ) )
182175, 178, 1813eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g ) (
<. ( ( 1st `  G
) `  x ) ,  ( ( 1st `  G ) `  y
) >. (comp `  Q
) ( ( 1st `  G ) `  z
) ) ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) ) )
1832, 22, 9, 24, 8, 25, 26, 27, 3, 31, 40, 46, 62, 106, 182isfuncd 13739 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1st `  G
) ( C  Func  Q ) ( 2nd `  G
) )
184 df-br 4024 . . 3  |-  ( ( 1st `  G ) ( C  Func  Q
) ( 2nd `  G
)  <->  <. ( 1st `  G
) ,  ( 2nd `  G ) >.  e.  ( C  Func  Q )
)
185183, 184sylib 188 . 2  |-  ( ph  -> 
<. ( 1st `  G
) ,  ( 2nd `  G ) >.  e.  ( C  Func  Q )
)
18620, 185eqeltrd 2357 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( C 
Func  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   <.cop 3643   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    o. ccom 4693   Rel wrel 4694    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   Basecbs 13148    Hom chom 13219  compcco 13220   Catccat 13566   Idccid 13567    Func cfunc 13728   Nat cnat 13815   FuncCat cfuc 13816    X.c cxpc 13942   curryF ccurf 13984
This theorem is referenced by:  uncfcurf  14013  diagcl  14015  curf2ndf  14021  yoncl  14036
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-hom 13232  df-cco 13233  df-cat 13570  df-cid 13571  df-func 13732  df-nat 13817  df-fuc 13818  df-xpc 13946  df-curf 13988
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