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Theorem curfcl 14329
Description: The curry functor of a functor  F : C  X.  D --> E is a functor curryF  ( F ) : C --> ( D --> E ). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
curfcl.g  |-  G  =  ( <. C ,  D >. curryF  F
)
curfcl.q  |-  Q  =  ( D FuncCat  E )
curfcl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
curfcl.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
curfcl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
) )
Assertion
Ref Expression
curfcl  |-  ( ph  ->  G  e.  ( C 
Func  Q ) )

Proof of Theorem curfcl
Dummy variables  w  g  x  y  z 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 curfcl.g . . . 4  |-  G  =  ( <. C ,  D >. curryF  F
)
2 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
3 curfcl.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 curfcl.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
5 curfcl.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
) )
6 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
7 eqid 2436 . . . 4  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
8 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
9 eqid 2436 . . . 4  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
10 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10curfval 14320 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  <. (
x  e.  ( Base `  C )  |->  <. (
y  e.  ( Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F
) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >. )
12 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( Base `  C )  e.  _V
1312mptex 5966 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. )  e.  _V
1412, 12mpt2ex 6425 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  e.  _V
1513, 14op1std 6357 . . . . 5  |-  ( G  =  <. ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >.  ->  ( 1st `  G )  =  ( x  e.  (
Base `  C )  |-> 
<. ( y  e.  (
Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >. ) )
1611, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st `  G
)  =  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. ) )
1713, 14op2ndd 6358 . . . . 5  |-  ( G  =  <. ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >.  ->  ( 2nd `  G )  =  ( x  e.  (
Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C )  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  |->  ( z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g ( <. x ,  z
>. ( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) )
1811, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  G
)  =  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) )
1916, 18opeq12d 3992 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( 1st `  G
) ,  ( 2nd `  G ) >.  =  <. ( x  e.  ( Base `  C )  |->  <. (
y  e.  ( Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F
) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >. )
2011, 19eqtr4d 2471 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  <. ( 1st `  G ) ,  ( 2nd `  G
) >. )
21 curfcl.q . . . . 5  |-  Q  =  ( D FuncCat  E )
2221fucbas 14157 . . . 4  |-  ( D 
Func  E )  =  (
Base `  Q )
23 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( D Nat 
E )  =  ( D Nat  E )
2421, 23fuchom 14158 . . . 4  |-  ( D Nat 
E )  =  (  Hom  `  Q )
25 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Id
`  Q )  =  ( Id `  Q
)
26 eqid 2436 . . . 4  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
27 eqid 2436 . . . 4  |-  (comp `  Q )  =  (comp `  Q )
28 funcrcl 14060 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
)  ->  ( ( C  X.c  D )  e.  Cat  /\  E  e.  Cat )
)
295, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  X.c  D
)  e.  Cat  /\  E  e.  Cat )
)
3029simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
3121, 4, 30fuccat 14167 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  Cat )
32 opex 4427 . . . . . 6  |-  <. (
y  e.  ( Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F
) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >.  e.  _V
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >.  e.  _V )
343adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  C  e.  Cat )
354adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  D  e.  Cat )
365adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
37 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
38 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( ( 1st `  G ) `
 x )  =  ( ( 1st `  G
) `  x )
391, 2, 34, 35, 36, 6, 37, 38curf1cl 14325 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( 1st `  G ) `  x )  e.  ( D  Func  E )
)
4033, 16, 39fmpt2d 5898 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st `  G
) : ( Base `  C ) --> ( D 
Func  E ) )
41 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
42 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( x (  Hom  `  C
) y )  e. 
_V
4342mptex 5966 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C )
y )  |->  ( z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g (
<. x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) )  e.  _V
4441, 43fnmpt2i 6420 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  Fn  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )
4518fneq1d 5536 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd `  G
)  Fn  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  <->  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  Fn  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) ) )
4644, 45mpbiri 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  G
)  Fn  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )
47 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( Base `  D )  e.  _V
4847mptex 5966 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g (
<. x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) )  e.  _V
4948a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) )  e.  _V )
5018oveqd 6098 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x ( 2nd `  G ) y )  =  ( x ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) y ) )
5141ovmpt4g 6196 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) )  e.  _V )  ->  ( x ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) y )  =  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
5243, 51mp3an3 1268 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
x ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) y )  =  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
5350, 52sylan9eq 2488 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  (
x ( 2nd `  G
) y )  =  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  |->  ( z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g ( <. x ,  z
>. ( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
543ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  C  e.  Cat )
554ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  D  e.  Cat )
565ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
) )
57 simplrl 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  x  e.  ( Base `  C ) )
58 simplrr 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
y  e.  ( Base `  C ) )
59 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) )
60 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  g )  =  ( ( x ( 2nd `  G ) y ) `
 g )
611, 2, 54, 55, 56, 6, 9, 10, 57, 58, 59, 60, 23curf2cl 14328 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
( ( x ( 2nd `  G ) y ) `  g
)  e.  ( ( ( 1st `  G
) `  x )
( D Nat  E ) ( ( 1st `  G
) `  y )
) )
6249, 53, 61fmpt2d 5898 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  (
x ( 2nd `  G
) y ) : ( x (  Hom  `  C ) y ) --> ( ( ( 1st `  G ) `  x
) ( D Nat  E
) ( ( 1st `  G ) `  y
) ) )
63 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  X.c  D )  =  ( C  X.c  D )
6463, 2, 6xpcbas 14275 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  D
) )  =  (
Base `  ( C  X.c  D ) )
65 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( Id
`  ( C  X.c  D
) )  =  ( Id `  ( C  X.c  D ) )
66 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( Id
`  E )  =  ( Id `  E
)
67 relfunc 14059 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  (
( C  X.c  D ) 
Func  E )
68 1st2ndbr 6396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  ( ( C  X.c  D )  Func  E
)  /\  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)  ->  ( 1st `  F ) ( ( C  X.c  D )  Func  E
) ( 2nd `  F
) )
6967, 5, 68sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1st `  F
) ( ( C  X.c  D )  Func  E
) ( 2nd `  F
) )
7069ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( 1st `  F ) ( ( C  X.c  D ) 
Func  E ) ( 2nd `  F ) )
71 opelxpi 4910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  D ) ) )
7271adantll 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  D ) ) )
7364, 65, 66, 70, 72funcid 14067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  ( ( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( Id `  E
) `  ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  y >.
) ) )
743ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  C  e.  Cat )
754ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  D  e.  Cat )
7637adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
77 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  y  e.  ( Base `  D
) )
7863, 74, 75, 2, 6, 8, 10, 65, 76, 77xpcid 14286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  <. (
( Id `  C
) `  x ) ,  ( ( Id
`  D ) `  y ) >. )
7978fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  ( ( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  <. (
( Id `  C
) `  x ) ,  ( ( Id
`  D ) `  y ) >. )
)
80 df-ov 6084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Id `  C
) `  x )
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) )  =  ( ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  y >.
) `  <. ( ( Id `  C ) `
 x ) ,  ( ( Id `  D ) `  y
) >. )
8179, 80syl6eqr 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  ( ( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  y >.
) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) )
825ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
831, 2, 74, 75, 82, 6, 76, 38, 77curf11 14323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )  =  ( x ( 1st `  F ) y ) )
84 df-ov 6084 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( 1st `  F
) y )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. x ,  y >. )
8583, 84syl6req 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  F
) `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
)
8685fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( Id `  E
) `  ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( Id `  E
) `  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G ) `  x
) ) `  y
) ) )
8773, 81, 863eqtr3d 2476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  y >.
) ( ( Id
`  D ) `  y ) )  =  ( ( Id `  E ) `  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) )
8887mpteq2dva 4295 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( ( Id `  C ) `
 x ) (
<. x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( Id
`  E ) `  ( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) ) )
8930adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  E  e.  Cat )
90 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  E )  =  (
Base `  E )
9190, 66cidfn 13904 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  Cat  ->  ( Id `  E )  Fn  ( Base `  E
) )
9289, 91syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( Id `  E )  Fn  ( Base `  E ) )
93 dffn2 5592 . . . . . . . 8  |-  ( ( Id `  E )  Fn  ( Base `  E
)  <->  ( Id `  E ) : (
Base `  E ) --> _V )
9492, 93sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( Id `  E ) : (
Base `  E ) --> _V )
95 relfunc 14059 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ( D  Func  E )
96 1st2ndbr 6396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Rel  ( D  Func  E )  /\  ( ( 1st `  G ) `
 x )  e.  ( D  Func  E
) )  ->  ( 1st `  ( ( 1st `  G ) `  x
) ) ( D 
Func  E ) ( 2nd `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) )
9795, 39, 96sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) ( D  Func  E ) ( 2nd `  (
( 1st `  G
) `  x )
) )
986, 90, 97funcf1 14063 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) : ( Base `  D ) --> ( Base `  E ) )
99 fcompt 5904 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Id `  E
) : ( Base `  E ) --> _V  /\  ( 1st `  ( ( 1st `  G ) `
 x ) ) : ( Base `  D
) --> ( Base `  E
) )  ->  (
( Id `  E
)  o.  ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) )  =  ( y  e.  ( Base `  D )  |->  ( ( Id `  E ) `
 ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) ) )
10094, 98, 99syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( Id `  E )  o.  ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) )  =  ( y  e.  ( Base `  D )  |->  ( ( Id `  E ) `
 ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) ) )
10188, 100eqtr4d 2471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( ( Id `  C ) `
 x ) (
<. x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) )  =  ( ( Id
`  E )  o.  ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) ) )
1022, 9, 8, 34, 37catidcl 13907 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( Id `  C ) `  x )  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )
103 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( x ( 2nd `  G ) x ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )
1041, 2, 34, 35, 36, 6, 9, 10, 37, 37, 102, 103curf2 14326 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( y  e.  ( Base `  D )  |->  ( ( ( Id `  C
) `  x )
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) ) )
10521, 25, 66, 39fucid 14168 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( Id `  Q ) `  ( ( 1st `  G
) `  x )
)  =  ( ( Id `  E )  o.  ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) ) )
106101, 104, 1053eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  Q
) `  ( ( 1st `  G ) `  x ) ) )
10733ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  C  e.  Cat )
108107adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  C  e.  Cat )
10943ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  D  e.  Cat )
110109adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  D  e.  Cat )
11153ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
112111adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
113 simp21 990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
114113adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
115 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  w  e.  ( Base `  D
) )
1161, 2, 108, 110, 112, 6, 114, 38, 115curf11 14323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w )  =  ( x ( 1st `  F ) w ) )
117 df-ov 6084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x ( 1st `  F
) w )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. x ,  w >. )
118116, 117syl6eq 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w )  =  ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. )
)
119 simp22 991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
120119adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
121 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1st `  G ) `
 y )  =  ( ( 1st `  G
) `  y )
1221, 2, 108, 110, 112, 6, 120, 121, 115curf11 14323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  y )
) `  w )  =  ( y ( 1st `  F ) w ) )
123 df-ov 6084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y ( 1st `  F
) w )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. y ,  w >. )
124122, 123syl6eq 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  y )
) `  w )  =  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. )
)
125118, 124opeq12d 3992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >.  =  <. ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. ) >. )
126 simp23 992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  C )
)
127126adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  z  e.  ( Base `  C
) )
128 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  G ) `
 z )  =  ( ( 1st `  G
) `  z )
1291, 2, 108, 110, 112, 6, 127, 128, 115curf11 14323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )  =  ( z ( 1st `  F ) w ) )
130 df-ov 6084 . . . . . . . . . 10  |-  ( z ( 1st `  F
) w )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. z ,  w >. )
131129, 130syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )  =  ( ( 1st `  F ) `  <. z ,  w >. )
)
132125, 131oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. ( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
)  =  ( <.
( ( 1st `  F
) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F
) `  <. y ,  w >. ) >. (comp `  E ) ( ( 1st `  F ) `
 <. z ,  w >. ) ) )
133 simp3r 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  g  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) )
134133adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  g  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) )
135 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g )  =  ( ( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g )
1361, 2, 108, 110, 112, 6, 9, 10, 120, 127, 134, 135, 115curf2val 14327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( y ( 2nd `  G ) z ) `  g
) `  w )  =  ( g (
<. y ,  w >. ( 2nd `  F )
<. z ,  w >. ) ( ( Id `  D ) `  w
) ) )
137 df-ov 6084 . . . . . . . . 9  |-  ( g ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) )  =  ( ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
138136, 137syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( y ( 2nd `  G ) z ) `  g
) `  w )  =  ( ( <.
y ,  w >. ( 2nd `  F )
<. z ,  w >. ) `
 <. g ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. ) )
139 simp3l 985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )
140139adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )
141 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f )  =  ( ( x ( 2nd `  G ) y ) `
 f )
1421, 2, 108, 110, 112, 6, 9, 10, 114, 120, 140, 141, 115curf2val 14327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( x ( 2nd `  G ) y ) `  f
) `  w )  =  ( f (
<. x ,  w >. ( 2nd `  F )
<. y ,  w >. ) ( ( Id `  D ) `  w
) ) )
143 df-ov 6084 . . . . . . . . 9  |-  ( f ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) )  =  ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) `  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
144142, 143syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( x ( 2nd `  G ) y ) `  f
) `  w )  =  ( ( <.
x ,  w >. ( 2nd `  F )
<. y ,  w >. ) `
 <. f ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. ) )
145132, 138, 144oveq123d 6102 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g ) `  w
) ( <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) )  =  ( ( ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
( <. ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  F
) `  <. z ,  w >. ) ) ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) `  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
) )
146 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  (  Hom  `  ( C  X.c  D ) )  =  (  Hom  `  ( C  X.c  D ) )
147 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  (comp `  ( C  X.c  D )
)  =  (comp `  ( C  X.c  D )
)
148 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  (comp `  E )  =  (comp `  E )
14967, 112, 68sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( 1st `  F ) ( ( C  X.c  D ) 
Func  E ) ( 2nd `  F ) )
150 opelxpi 4910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
151113, 150sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
152 opelxpi 4910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( Base `  C )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. y ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
153119, 152sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. y ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
154 opelxpi 4910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( Base `  C )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. z ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
155126, 154sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. z ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
1566, 7, 10, 110, 115catidcl 13907 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( Id `  D
) `  w )  e.  ( w (  Hom  `  D ) w ) )
157 opelxpi 4910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  ( ( Id `  D ) `  w
)  e.  ( w (  Hom  `  D
) w ) )  ->  <. f ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >.  e.  ( ( x (  Hom  `  C
) y )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
158140, 156, 157syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  ( ( x (  Hom  `  C ) y )  X.  ( w (  Hom  `  D )
w ) ) )
15963, 2, 6, 9, 7, 114, 115, 120, 115, 146xpchom2 14283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. x ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
y ,  w >. )  =  ( ( x (  Hom  `  C
) y )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
160158, 159eleqtrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  (
<. x ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
y ,  w >. ) )
161 opelxpi 4910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z )  /\  ( ( Id `  D ) `  w
)  e.  ( w (  Hom  `  D
) w ) )  ->  <. g ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >.  e.  ( ( y (  Hom  `  C
) z )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
162134, 156, 161syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  ( ( y (  Hom  `  C ) z )  X.  ( w (  Hom  `  D )
w ) ) )
16363, 2, 6, 9, 7, 120, 115, 127, 115, 146xpchom2 14283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. y ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )  =  ( ( y (  Hom  `  C
) z )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
164162, 163eleqtrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  (
<. y ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. ) )
16564, 146, 147, 148, 149, 151, 153, 155, 160, 164funcco 14068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  ( <.
g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
) )  =  ( ( ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
( <. ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  F
) `  <. z ,  w >. ) ) ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) `  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
) )
166 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
16763, 2, 6, 9, 7, 114, 115, 120, 115, 26, 166, 147, 127, 115, 140, 156, 134, 156xpcco2 14284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
)  =  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( ( Id `  D ) `  w
) ( <. w ,  w >. (comp `  D
) w ) ( ( Id `  D
) `  w )
) >. )
1686, 7, 10, 110, 115, 166, 115, 156catlid 13908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( Id `  D ) `  w
) ( <. w ,  w >. (comp `  D
) w ) ( ( Id `  D
) `  w )
)  =  ( ( Id `  D ) `
 w ) )
169168opeq2d 3991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( ( Id `  D ) `  w
) ( <. w ,  w >. (comp `  D
) w ) ( ( Id `  D
) `  w )
) >.  =  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. )
170167, 169eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
)  =  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. )
171170fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  ( <.
g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
) )  =  ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. ) )
172 df-ov 6084 . . . . . . . 8  |-  ( ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ( <.
x ,  w >. ( 2nd `  F )
<. z ,  w >. ) ( ( Id `  D ) `  w
) )  =  ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. )
173171, 172syl6eqr 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  ( <.
g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
) )  =  ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) ) )
174145, 165, 1733eqtr2rd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) )  =  ( ( ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g ) `  w
) ( <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) ) )
175174mpteq2dva 4295 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( w  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( ( ( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g ) `  w ) ( <.
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) ) ) )
1762, 9, 26, 107, 113, 119, 126, 139, 133catcocl 13910 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z ) )
177 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )
1781, 2, 107, 109, 111, 6, 9, 10, 113, 126, 176, 177curf2 14326 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( w  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) ) ) )
1791, 2, 107, 109, 111, 6, 9, 10, 113, 119, 139, 141, 23curf2cl 14328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) y ) `  f )  e.  ( ( ( 1st `  G
) `  x )
( D Nat  E ) ( ( 1st `  G
) `  y )
) )
1801, 2, 107, 109, 111, 6, 9, 10, 119, 126, 133, 135, 23curf2cl 14328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
y ( 2nd `  G
) z ) `  g )  e.  ( ( ( 1st `  G
) `  y )
( D Nat  E ) ( ( 1st `  G
) `  z )
) )
18121, 23, 6, 148, 27, 179, 180fucco 14159 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g ) (
<. ( ( 1st `  G
) `  x ) ,  ( ( 1st `  G ) `  y
) >. (comp `  Q
) ( ( 1st `  G ) `  z
) ) ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) )  =  ( w  e.  (
Base `  D )  |->  ( ( ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g ) `  w
) ( <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) ) ) )
182175, 178, 1813eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g ) (
<. ( ( 1st `  G
) `  x ) ,  ( ( 1st `  G ) `  y
) >. (comp `  Q
) ( ( 1st `  G ) `  z
) ) ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) ) )
1832, 22, 9, 24, 8, 25, 26, 27, 3, 31, 40, 46, 62, 106, 182isfuncd 14062 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1st `  G
) ( C  Func  Q ) ( 2nd `  G
) )
184 df-br 4213 . . 3  |-  ( ( 1st `  G ) ( C  Func  Q
) ( 2nd `  G
)  <->  <. ( 1st `  G
) ,  ( 2nd `  G ) >.  e.  ( C  Func  Q )
)
185183, 184sylib 189 . 2  |-  ( ph  -> 
<. ( 1st `  G
) ,  ( 2nd `  G ) >.  e.  ( C  Func  Q )
)
18620, 185eqeltrd 2510 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( C 
Func  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   <.cop 3817   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876    o. ccom 4882   Rel wrel 4883    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348   Basecbs 13469    Hom chom 13540  compcco 13541   Catccat 13889   Idccid 13890    Func cfunc 14051   Nat cnat 14138   FuncCat cfuc 14139    X.c cxpc 14265   curryF ccurf 14307
This theorem is referenced by:  uncfcurf  14336  diagcl  14338  curf2ndf  14344  yoncl  14359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-hom 13553  df-cco 13554  df-cat 13893  df-cid 13894  df-func 14055  df-nat 14140  df-fuc 14141  df-xpc 14269  df-curf 14311
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