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Theorem curfcl 14022
Description: The curry functor of a functor  F : C  X.  D --> E is a functor curryF  ( F ) : C --> ( D --> E ). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
curfcl.g  |-  G  =  ( <. C ,  D >. curryF  F
)
curfcl.q  |-  Q  =  ( D FuncCat  E )
curfcl.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
curfcl.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
curfcl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
) )
Assertion
Ref Expression
curfcl  |-  ( ph  ->  G  e.  ( C 
Func  Q ) )

Proof of Theorem curfcl
Dummy variables  w  g  x  y  z 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 curfcl.g . . . 4  |-  G  =  ( <. C ,  D >. curryF  F
)
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
3 curfcl.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 curfcl.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
5 curfcl.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
) )
6 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
7 eqid 2296 . . . 4  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
8 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
9 eqid 2296 . . . 4  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
10 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10curfval 14013 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  <. (
x  e.  ( Base `  C )  |->  <. (
y  e.  ( Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F
) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >. )
12 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Base `  C )  e.  _V
1312mptex 5762 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. )  e.  _V
1412, 12mpt2ex 6214 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  e.  _V
1513, 14op1std 6146 . . . . 5  |-  ( G  =  <. ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >.  ->  ( 1st `  G )  =  ( x  e.  (
Base `  C )  |-> 
<. ( y  e.  (
Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >. ) )
1611, 15syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st `  G
)  =  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. ) )
1713, 14op2ndd 6147 . . . . 5  |-  ( G  =  <. ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >.  ->  ( 2nd `  G )  =  ( x  e.  (
Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C )  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  |->  ( z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g ( <. x ,  z
>. ( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) )
1811, 17syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  G
)  =  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) )
1916, 18opeq12d 3820 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( 1st `  G
) ,  ( 2nd `  G ) >.  =  <. ( x  e.  ( Base `  C )  |->  <. (
y  e.  ( Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F
) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >. ) ,  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) >. )
2011, 19eqtr4d 2331 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  <. ( 1st `  G ) ,  ( 2nd `  G
) >. )
21 curfcl.q . . . . 5  |-  Q  =  ( D FuncCat  E )
2221fucbas 13850 . . . 4  |-  ( D 
Func  E )  =  (
Base `  Q )
23 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( D Nat 
E )  =  ( D Nat  E )
2421, 23fuchom 13851 . . . 4  |-  ( D Nat 
E )  =  (  Hom  `  Q )
25 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Id
`  Q )  =  ( Id `  Q
)
26 eqid 2296 . . . 4  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
27 eqid 2296 . . . 4  |-  (comp `  Q )  =  (comp `  Q )
28 funcrcl 13753 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
)  ->  ( ( C  X.c  D )  e.  Cat  /\  E  e.  Cat )
)
295, 28syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  X.c  D
)  e.  Cat  /\  E  e.  Cat )
)
3029simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
3121, 4, 30fuccat 13860 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  Cat )
32 opex 4253 . . . . . 6  |-  <. (
y  e.  ( Base `  D )  |->  ( x ( 1st `  F
) y ) ) ,  ( y  e.  ( Base `  D
) ,  z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) 
|->  ( ( ( Id
`  C ) `  x ) ( <.
x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  z
>. ) g ) ) ) >.  e.  _V
3332a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  <. ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( 1st `  F ) y ) ) ,  ( y  e.  (
Base `  D ) ,  z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z )  |->  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  z >.
) g ) ) ) >.  e.  _V )
343adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  C  e.  Cat )
354adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  D  e.  Cat )
365adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
37 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
38 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( ( 1st `  G ) `
 x )  =  ( ( 1st `  G
) `  x )
391, 2, 34, 35, 36, 6, 37, 38curf1cl 14018 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( 1st `  G ) `  x )  e.  ( D  Func  E )
)
4033, 16, 39fmpt2d 5704 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st `  G
) : ( Base `  C ) --> ( D 
Func  E ) )
41 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
42 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( x (  Hom  `  C
) y )  e. 
_V
4342mptex 5762 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C )
y )  |->  ( z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g (
<. x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) )  e.  _V
4441, 43fnmpt2i 6209 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  Fn  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )
4518fneq1d 5351 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd `  G
)  Fn  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  <->  ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )  Fn  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) ) )
4644, 45mpbiri 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  G
)  Fn  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  C
) ) )
47 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Base `  D )  e.  _V
4847mptex 5762 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( Base `  D
)  |->  ( g (
<. x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) )  e.  _V
4948a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) )  e.  _V )
5018oveqd 5891 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x ( 2nd `  G ) y )  =  ( x ( x  e.  ( Base `  C ) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) y ) )
5141ovmpt4g 5986 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) )  e.  _V )  ->  ( x ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) y )  =  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
5243, 51mp3an3 1266 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
x ( x  e.  ( Base `  C
) ,  y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) ) y )  =  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) 
|->  ( z  e.  (
Base `  D )  |->  ( g ( <.
x ,  z >.
( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
5350, 52sylan9eq 2348 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  (
x ( 2nd `  G
) y )  =  ( g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  |->  ( z  e.  ( Base `  D )  |->  ( g ( <. x ,  z
>. ( 2nd `  F
) <. y ,  z
>. ) ( ( Id
`  D ) `  z ) ) ) ) )
543ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  C  e.  Cat )
554ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  D  e.  Cat )
565ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D )  Func  E
) )
57 simplrl 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  ->  x  e.  ( Base `  C ) )
58 simplrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
y  e.  ( Base `  C ) )
59 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
g  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) )
60 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  g )  =  ( ( x ( 2nd `  G ) y ) `
 g )
611, 2, 54, 55, 56, 6, 9, 10, 57, 58, 59, 60, 23curf2cl 14021 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) )  -> 
( ( x ( 2nd `  G ) y ) `  g
)  e.  ( ( ( 1st `  G
) `  x )
( D Nat  E ) ( ( 1st `  G
) `  y )
) )
6249, 53, 61fmpt2d 5704 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  (
x ( 2nd `  G
) y ) : ( x (  Hom  `  C ) y ) --> ( ( ( 1st `  G ) `  x
) ( D Nat  E
) ( ( 1st `  G ) `  y
) ) )
63 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  X.c  D )  =  ( C  X.c  D )
6463, 2, 6xpcbas 13968 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Base `  C )  X.  ( Base `  D
) )  =  (
Base `  ( C  X.c  D ) )
65 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Id
`  ( C  X.c  D
) )  =  ( Id `  ( C  X.c  D ) )
66 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Id
`  E )  =  ( Id `  E
)
67 relfunc 13752 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  (
( C  X.c  D ) 
Func  E )
68 1st2ndbr 6185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  ( ( C  X.c  D )  Func  E
)  /\  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)  ->  ( 1st `  F ) ( ( C  X.c  D )  Func  E
) ( 2nd `  F
) )
6967, 5, 68sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1st `  F
) ( ( C  X.c  D )  Func  E
) ( 2nd `  F
) )
7069ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( 1st `  F ) ( ( C  X.c  D ) 
Func  E ) ( 2nd `  F ) )
71 opelxpi 4737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  D ) ) )
7271adantll 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  D ) ) )
7364, 65, 66, 70, 72funcid 13760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  ( ( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( Id `  E
) `  ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  y >.
) ) )
7434adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  C  e.  Cat )
7535adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  D  e.  Cat )
7637adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
77 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  y  e.  ( Base `  D
) )
7863, 74, 75, 2, 6, 8, 10, 65, 76, 77xpcid 13979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  <. (
( Id `  C
) `  x ) ,  ( ( Id
`  D ) `  y ) >. )
7978fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  ( ( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  <. (
( Id `  C
) `  x ) ,  ( ( Id
`  D ) `  y ) >. )
)
80 df-ov 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Id `  C
) `  x )
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) )  =  ( ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  y >.
) `  <. ( ( Id `  C ) `
 x ) ,  ( ( Id `  D ) `  y
) >. )
8179, 80syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) `  ( ( Id `  ( C  X.c  D ) ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  y >.
) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) )
825ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
831, 2, 74, 75, 82, 6, 76, 38, 77curf11 14016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )  =  ( x ( 1st `  F ) y ) )
84 df-ov 5877 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( 1st `  F
) y )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. x ,  y >. )
8583, 84syl6req 2345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  F
) `  <. x ,  y >. )  =  ( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
)
8685fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( Id `  E
) `  ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( Id `  E
) `  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G ) `  x
) ) `  y
) ) )
8773, 81, 863eqtr3d 2336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  y  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( Id `  C ) `  x
) ( <. x ,  y >. ( 2nd `  F ) <.
x ,  y >.
) ( ( Id
`  D ) `  y ) )  =  ( ( Id `  E ) `  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) )
8887mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( ( Id `  C ) `
 x ) (
<. x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( Id
`  E ) `  ( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) ) )
8930adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  E  e.  Cat )
90 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  E )  =  (
Base `  E )
9190, 66cidfn 13597 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  Cat  ->  ( Id `  E )  Fn  ( Base `  E
) )
9289, 91syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( Id `  E )  Fn  ( Base `  E ) )
93 dffn2 5406 . . . . . . . 8  |-  ( ( Id `  E )  Fn  ( Base `  E
)  <->  ( Id `  E ) : (
Base `  E ) --> _V )
9492, 93sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( Id `  E ) : (
Base `  E ) --> _V )
95 relfunc 13752 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ( D  Func  E )
96 1st2ndbr 6185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Rel  ( D  Func  E )  /\  ( ( 1st `  G ) `
 x )  e.  ( D  Func  E
) )  ->  ( 1st `  ( ( 1st `  G ) `  x
) ) ( D 
Func  E ) ( 2nd `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) )
9795, 39, 96sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) ( D  Func  E ) ( 2nd `  (
( 1st `  G
) `  x )
) )
986, 90, 97funcf1 13756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) : ( Base `  D ) --> ( Base `  E ) )
99 fcompt 5710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Id `  E
) : ( Base `  E ) --> _V  /\  ( 1st `  ( ( 1st `  G ) `
 x ) ) : ( Base `  D
) --> ( Base `  E
) )  ->  (
( Id `  E
)  o.  ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) )  =  ( y  e.  ( Base `  D )  |->  ( ( Id `  E ) `
 ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) ) )
10094, 98, 99syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( Id `  E )  o.  ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) )  =  ( y  e.  ( Base `  D )  |->  ( ( Id `  E ) `
 ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  x )
) `  y )
) ) )
10188, 100eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( ( Id `  C ) `
 x ) (
<. x ,  y >.
( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) )  =  ( ( Id
`  E )  o.  ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) ) )
1022, 9, 8, 34, 37catidcl 13600 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( Id `  C ) `  x )  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )
103 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( x ( 2nd `  G ) x ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )
1041, 2, 34, 35, 36, 6, 9, 10, 37, 37, 102, 103curf2 14019 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( y  e.  ( Base `  D )  |->  ( ( ( Id `  C
) `  x )
( <. x ,  y
>. ( 2nd `  F
) <. x ,  y
>. ) ( ( Id
`  D ) `  y ) ) ) )
10521, 25, 66, 39fucid 13861 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( ( Id `  Q ) `  ( ( 1st `  G
) `  x )
)  =  ( ( Id `  E )  o.  ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) ) )
106101, 104, 1053eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  Q
) `  ( ( 1st `  G ) `  x ) ) )
10733ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  C  e.  Cat )
108107adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  C  e.  Cat )
10943ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  D  e.  Cat )
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  D  e.  Cat )
11153ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
112111adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  F  e.  ( ( C  X.c  D
)  Func  E )
)
113 simp21 988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
114113adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
115 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  w  e.  ( Base `  D
) )
1161, 2, 108, 110, 112, 6, 114, 38, 115curf11 14016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w )  =  ( x ( 1st `  F ) w ) )
117 df-ov 5877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x ( 1st `  F
) w )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. x ,  w >. )
118116, 117syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w )  =  ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. )
)
119 simp22 989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
120119adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
121 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1st `  G ) `
 y )  =  ( ( 1st `  G
) `  y )
1221, 2, 108, 110, 112, 6, 120, 121, 115curf11 14016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  y )
) `  w )  =  ( y ( 1st `  F ) w ) )
123 df-ov 5877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y ( 1st `  F
) w )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. y ,  w >. )
124122, 123syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  y )
) `  w )  =  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. )
)
125118, 124opeq12d 3820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >.  =  <. ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. ) >. )
126 simp23 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  C )
)
127126adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  z  e.  ( Base `  C
) )
128 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  G ) `
 z )  =  ( ( 1st `  G
) `  z )
1291, 2, 108, 110, 112, 6, 127, 128, 115curf11 14016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )  =  ( z ( 1st `  F ) w ) )
130 df-ov 5877 . . . . . . . . . 10  |-  ( z ( 1st `  F
) w )  =  ( ( 1st `  F
) `  <. z ,  w >. )
131129, 130syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )  =  ( ( 1st `  F ) `  <. z ,  w >. )
)
132125, 131oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. ( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
)  =  ( <.
( ( 1st `  F
) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F
) `  <. y ,  w >. ) >. (comp `  E ) ( ( 1st `  F ) `
 <. z ,  w >. ) ) )
133 simp3r 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  g  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) )
134133adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  g  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) )
135 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g )  =  ( ( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g )
1361, 2, 108, 110, 112, 6, 9, 10, 120, 127, 134, 135, 115curf2val 14020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( y ( 2nd `  G ) z ) `  g
) `  w )  =  ( g (
<. y ,  w >. ( 2nd `  F )
<. z ,  w >. ) ( ( Id `  D ) `  w
) ) )
137 df-ov 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( g ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) )  =  ( ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
138136, 137syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( y ( 2nd `  G ) z ) `  g
) `  w )  =  ( ( <.
y ,  w >. ( 2nd `  F )
<. z ,  w >. ) `
 <. g ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. ) )
139 simp3l 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )
140139adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )
141 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f )  =  ( ( x ( 2nd `  G ) y ) `
 f )
1421, 2, 108, 110, 112, 6, 9, 10, 114, 120, 140, 141, 115curf2val 14020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( x ( 2nd `  G ) y ) `  f
) `  w )  =  ( f (
<. x ,  w >. ( 2nd `  F )
<. y ,  w >. ) ( ( Id `  D ) `  w
) ) )
143 df-ov 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( f ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) )  =  ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) `  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
144142, 143syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( x ( 2nd `  G ) y ) `  f
) `  w )  =  ( ( <.
x ,  w >. ( 2nd `  F )
<. y ,  w >. ) `
 <. f ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. ) )
145132, 138, 144oveq123d 5895 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g ) `  w
) ( <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) )  =  ( ( ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
( <. ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  F
) `  <. z ,  w >. ) ) ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) `  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
) )
146 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  (  Hom  `  ( C  X.c  D ) )  =  (  Hom  `  ( C  X.c  D ) )
147 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  (comp `  ( C  X.c  D )
)  =  (comp `  ( C  X.c  D )
)
148 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  (comp `  E )  =  (comp `  E )
14967, 112, 68sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( 1st `  F ) ( ( C  X.c  D ) 
Func  E ) ( 2nd `  F ) )
150 opelxpi 4737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( Base `  C )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
151114, 115, 150syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. x ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
152 opelxpi 4737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( Base `  C )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. y ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
153120, 115, 152syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. y ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
154 opelxpi 4737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( Base `  C )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. z ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
155127, 115, 154syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. z ,  w >.  e.  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  D
) ) )
1566, 7, 10, 110, 115catidcl 13600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( Id `  D
) `  w )  e.  ( w (  Hom  `  D ) w ) )
157 opelxpi 4737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  ( ( Id `  D ) `  w
)  e.  ( w (  Hom  `  D
) w ) )  ->  <. f ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >.  e.  ( ( x (  Hom  `  C
) y )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
158140, 156, 157syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  ( ( x (  Hom  `  C ) y )  X.  ( w (  Hom  `  D )
w ) ) )
15963, 2, 6, 9, 7, 114, 115, 120, 115, 146xpchom2 13976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. x ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
y ,  w >. )  =  ( ( x (  Hom  `  C
) y )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
160158, 159eleqtrrd 2373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  (
<. x ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
y ,  w >. ) )
161 opelxpi 4737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z )  /\  ( ( Id `  D ) `  w
)  e.  ( w (  Hom  `  D
) w ) )  ->  <. g ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >.  e.  ( ( y (  Hom  `  C
) z )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
162134, 156, 161syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  ( ( y (  Hom  `  C ) z )  X.  ( w (  Hom  `  D )
w ) ) )
16363, 2, 6, 9, 7, 120, 115, 127, 115, 146xpchom2 13976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. y ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )  =  ( ( y (  Hom  `  C
) z )  X.  ( w (  Hom  `  D ) w ) ) )
164162, 163eleqtrrd 2373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >.  e.  (
<. y ,  w >. (  Hom  `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. ) )
16564, 146, 147, 148, 149, 151, 153, 155, 160, 164funcco 13761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  ( <.
g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
) )  =  ( ( ( <. y ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. g ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
( <. ( ( 1st `  F ) `  <. x ,  w >. ) ,  ( ( 1st `  F ) `  <. y ,  w >. ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  F
) `  <. z ,  w >. ) ) ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. y ,  w >. ) `  <. f ,  ( ( Id
`  D ) `  w ) >. )
) )
166 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
16763, 2, 6, 9, 7, 114, 115, 120, 115, 26, 166, 147, 127, 115, 140, 156, 134, 156xpcco2 13977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
)  =  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( ( Id `  D ) `  w
) ( <. w ,  w >. (comp `  D
) w ) ( ( Id `  D
) `  w )
) >. )
1686, 7, 10, 110, 115, 166, 115, 156catlid 13601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( Id `  D ) `  w
) ( <. w ,  w >. (comp `  D
) w ) ( ( Id `  D
) `  w )
)  =  ( ( Id `  D ) `
 w ) )
169168opeq2d 3819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( ( Id `  D ) `  w
) ( <. w ,  w >. (comp `  D
) w ) ( ( Id `  D
) `  w )
) >.  =  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. )
170167, 169eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( <. g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
)  =  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. )
171170fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  ( <.
g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
) )  =  ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. ) )
172 df-ov 5877 . . . . . . . 8  |-  ( ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ( <.
x ,  w >. ( 2nd `  F )
<. z ,  w >. ) ( ( Id `  D ) `  w
) )  =  ( ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  <. (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) ,  ( ( Id `  D
) `  w ) >. )
173171, 172syl6eqr 2346 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) `  ( <.
g ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
( <. <. x ,  w >. ,  <. y ,  w >. >. (comp `  ( C  X.c  D ) ) <.
z ,  w >. )
<. f ,  ( ( Id `  D ) `
 w ) >.
) )  =  ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) ) )
174145, 165, 1733eqtr2rd 2335 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
)  /\  z  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) )  =  ( ( ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g ) `  w
) ( <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) ) )
175174mpteq2dva 4122 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( w  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( ( ( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g ) `  w ) ( <.
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) ) ) )
1762, 9, 26, 107, 113, 119, 126, 139, 133catcocl 13603 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z ) )
177 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( ( x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )
1781, 2, 107, 109, 111, 6, 9, 10, 113, 126, 176, 177curf2 14019 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( w  e.  ( Base `  D
)  |->  ( ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ( <. x ,  w >. ( 2nd `  F
) <. z ,  w >. ) ( ( Id
`  D ) `  w ) ) ) )
1791, 2, 107, 109, 111, 6, 9, 10, 113, 119, 139, 141, 23curf2cl 14021 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) y ) `  f )  e.  ( ( ( 1st `  G
) `  x )
( D Nat  E ) ( ( 1st `  G
) `  y )
) )
1801, 2, 107, 109, 111, 6, 9, 10, 119, 126, 133, 135, 23curf2cl 14021 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
y ( 2nd `  G
) z ) `  g )  e.  ( ( ( 1st `  G
) `  y )
( D Nat  E ) ( ( 1st `  G
) `  z )
) )
18121, 23, 6, 148, 27, 179, 180fucco 13852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g ) (
<. ( ( 1st `  G
) `  x ) ,  ( ( 1st `  G ) `  y
) >. (comp `  Q
) ( ( 1st `  G ) `  z
) ) ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) )  =  ( w  e.  (
Base `  D )  |->  ( ( ( ( y ( 2nd `  G
) z ) `  g ) `  w
) ( <. (
( 1st `  (
( 1st `  G
) `  x )
) `  w ) ,  ( ( 1st `  ( ( 1st `  G
) `  y )
) `  w ) >. (comp `  E )
( ( 1st `  (
( 1st `  G
) `  z )
) `  w )
) ( ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) `  w
) ) ) )
182175, 178, 1813eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )  /\  z  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
x ( 2nd `  G
) z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y ( 2nd `  G ) z ) `
 g ) (
<. ( ( 1st `  G
) `  x ) ,  ( ( 1st `  G ) `  y
) >. (comp `  Q
) ( ( 1st `  G ) `  z
) ) ( ( x ( 2nd `  G
) y ) `  f ) ) )
1832, 22, 9, 24, 8, 25, 26, 27, 3, 31, 40, 46, 62, 106, 182isfuncd 13755 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1st `  G
) ( C  Func  Q ) ( 2nd `  G
) )
184 df-br 4040 . . 3  |-  ( ( 1st `  G ) ( C  Func  Q
) ( 2nd `  G
)  <->  <. ( 1st `  G
) ,  ( 2nd `  G ) >.  e.  ( C  Func  Q )
)
185183, 184sylib 188 . 2  |-  ( ph  -> 
<. ( 1st `  G
) ,  ( 2nd `  G ) >.  e.  ( C  Func  Q )
)
18620, 185eqeltrd 2370 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( C 
Func  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   <.cop 3656   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703    o. ccom 4709   Rel wrel 4710    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   Basecbs 13164    Hom chom 13235  compcco 13236   Catccat 13582   Idccid 13583    Func cfunc 13744   Nat cnat 13831   FuncCat cfuc 13832    X.c cxpc 13958   curryF ccurf 14000
This theorem is referenced by:  uncfcurf  14029  diagcl  14031  curf2ndf  14037  yoncl  14052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-hom 13248  df-cco 13249  df-cat 13586  df-cid 13587  df-func 13748  df-nat 13833  df-fuc 13834  df-xpc 13962  df-curf 14004
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