Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  curfpropd Structured version   Unicode version

Theorem curfpropd 14322
 Description: If two categories have the same set of objects, morphisms, and compositions, then they curry the same functor to the same result. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
curfpropd.1 f f
curfpropd.2 compf compf
curfpropd.3 f f
curfpropd.4 compf compf
curfpropd.a
curfpropd.b
curfpropd.c
curfpropd.d
curfpropd.f c
Assertion
Ref Expression
curfpropd curryF curryF

Proof of Theorem curfpropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 curfpropd.1 . . . . 5 f f
21homfeqbas 13914 . . . 4
3 curfpropd.3 . . . . . . . 8 f f
43homfeqbas 13914 . . . . . . 7
54adantr 452 . . . . . 6
65mpteq1d 4282 . . . . 5
75adantr 452 . . . . . 6
8 eqid 2435 . . . . . . . 8
9 eqid 2435 . . . . . . . 8
10 eqid 2435 . . . . . . . 8
113ad2antrr 707 . . . . . . . 8 f f
12 simprl 733 . . . . . . . 8
13 simprr 734 . . . . . . . 8
148, 9, 10, 11, 12, 13homfeqval 13915 . . . . . . 7
15 curfpropd.2 . . . . . . . . . . 11 compf compf
16 curfpropd.a . . . . . . . . . . 11
17 curfpropd.b . . . . . . . . . . 11
181, 15, 16, 17cidpropd 13928 . . . . . . . . . 10
1918ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
2019fveq1d 5722 . . . . . . . 8
2120oveq1d 6088 . . . . . . 7
2214, 21mpteq12dv 4279 . . . . . 6
235, 7, 22mpt2eq123dva 6127 . . . . 5
246, 23opeq12d 3984 . . . 4
252, 24mpteq12dva 4278 . . 3
262adantr 452 . . . 4
27 eqid 2435 . . . . . 6
28 eqid 2435 . . . . . 6
29 eqid 2435 . . . . . 6
301adantr 452 . . . . . 6 f f
31 simprl 733 . . . . . 6
32 simprr 734 . . . . . 6
3327, 28, 29, 30, 31, 32homfeqval 13915 . . . . 5
344ad2antrr 707 . . . . . 6
35 curfpropd.4 . . . . . . . . . 10 compf compf
36 curfpropd.c . . . . . . . . . 10
37 curfpropd.d . . . . . . . . . 10
383, 35, 36, 37cidpropd 13928 . . . . . . . . 9
3938ad3antrrr 711 . . . . . . . 8
4039fveq1d 5722 . . . . . . 7
4140oveq2d 6089 . . . . . 6
4234, 41mpteq12dva 4278 . . . . 5
4333, 42mpteq12dva 4278 . . . 4
442, 26, 43mpt2eq123dva 6127 . . 3
4525, 44opeq12d 3984 . 2
46 eqid 2435 . . 3 curryF curryF
47 curfpropd.f . . 3 c
48 eqid 2435 . . 3
49 eqid 2435 . . 3
5046, 27, 16, 36, 47, 8, 9, 48, 28, 49curfval 14312 . 2 curryF
51 eqid 2435 . . 3 curryF curryF
52 eqid 2435 . . 3
531, 15, 3, 35, 16, 17, 36, 37xpcpropd 14297 . . . . 5 c c
5453oveq1d 6088 . . . 4 c c
5547, 54eleqtrd 2511 . . 3 c
56 eqid 2435 . . 3
57 eqid 2435 . . 3
58 eqid 2435 . . 3
5951, 52, 17, 37, 55, 56, 10, 57, 29, 58curfval 14312 . 2 curryF
6045, 50, 593eqtr4d 2477 1 curryF curryF
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cop 3809   cmpt 4258  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  c1st 6339  c2nd 6340  cbs 13461   chom 13532  ccat 13881  ccid 13882   f chomf 13883  compfccomf 13884   cfunc 14043   c cxpc 14257   curryF ccurf 14299 This theorem is referenced by:  yonpropd  14357  oppcyon  14358 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-hom 13545  df-cco 13546  df-cat 13885  df-cid 13886  df-homf 13887  df-comf 13888  df-xpc 14261  df-curf 14303
 Copyright terms: Public domain W3C validator