Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  curry1 Structured version   Unicode version

Theorem curry1 6441
 Description: Composition with turns any binary operation with a constant first operand into a function of the second operand only. This transformation is called "currying." (Contributed by NM, 28-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
curry1.1
Assertion
Ref Expression
curry1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem curry1
StepHypRef Expression
1 fnfun 5545 . . . . 5
2 2ndconst 6439 . . . . . 6
3 dff1o3 5683 . . . . . . 7
43simprbi 452 . . . . . 6
52, 4syl 16 . . . . 5
6 funco 5494 . . . . 5
71, 5, 6syl2an 465 . . . 4
8 dmco 5381 . . . . 5
9 fndm 5547 . . . . . . . 8
109adantr 453 . . . . . . 7
1110imaeq2d 5206 . . . . . 6
12 imacnvcnv 5337 . . . . . . . . 9
13 df-ima 4894 . . . . . . . . 9
14 resres 5162 . . . . . . . . . 10
1514rneqi 5099 . . . . . . . . 9
1612, 13, 153eqtri 2462 . . . . . . . 8
17 inxp 5010 . . . . . . . . . . . . 13
18 incom 3535 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 inv1 3656 . . . . . . . . . . . . . . 15
2018, 19eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . 14
2120xpeq2i 4902 . . . . . . . . . . . . 13
2217, 21eqtri 2458 . . . . . . . . . . . 12
23 snssi 3944 . . . . . . . . . . . . . 14
24 df-ss 3336 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13
2625xpeq1d 4904 . . . . . . . . . . . 12
2722, 26syl5eq 2482 . . . . . . . . . . 11
2827reseq2d 5149 . . . . . . . . . 10
2928rneqd 5100 . . . . . . . . 9
30 2ndconst 6439 . . . . . . . . . 10
31 f1ofo 5684 . . . . . . . . . 10
32 forn 5659 . . . . . . . . . 10
3330, 31, 323syl 19 . . . . . . . . 9
3429, 33eqtrd 2470 . . . . . . . 8
3516, 34syl5eq 2482 . . . . . . 7
3635adantl 454 . . . . . 6
3711, 36eqtrd 2470 . . . . 5
388, 37syl5eq 2482 . . . 4
39 curry1.1 . . . . . 6
4039fneq1i 5542 . . . . 5
41 df-fn 5460 . . . . 5
4240, 41bitri 242 . . . 4
437, 38, 42sylanbrc 647 . . 3
44 dffn5 5775 . . 3
4543, 44sylib 190 . 2
4639fveq1i 5732 . . . . 5
47 dff1o4 5685 . . . . . . . . 9
482, 47sylib 190 . . . . . . . 8
4948simprd 451 . . . . . . 7
50 vex 2961 . . . . . . . 8
51 fvco2 5801 . . . . . . . 8
5250, 51mpan2 654 . . . . . . 7
5349, 52syl 16 . . . . . 6
5453ad2antlr 709 . . . . 5
5546, 54syl5eq 2482 . . . 4
562adantr 453 . . . . . . . . 9
57 snidg 3841 . . . . . . . . . . . 12
5857, 50jctir 526 . . . . . . . . . . 11
59 opelxp 4911 . . . . . . . . . . 11
6058, 59sylibr 205 . . . . . . . . . 10
6160adantr 453 . . . . . . . . 9
6256, 61jca 520 . . . . . . . 8
63 fvres 5748 . . . . . . . . . . 11
6460, 63syl 16 . . . . . . . . . 10
65 op2ndg 6363 . . . . . . . . . . 11
6650, 65mpan2 654 . . . . . . . . . 10
6764, 66eqtrd 2470 . . . . . . . . 9
6867adantr 453 . . . . . . . 8
69 f1ocnvfv 6019 . . . . . . . 8
7062, 68, 69sylc 59 . . . . . . 7
7170fveq2d 5735 . . . . . 6
7271adantll 696 . . . . 5
73 df-ov 6087 . . . . 5
7472, 73syl6eqr 2488 . . . 4
7555, 74eqtrd 2470 . . 3
7675mpteq2dva 4298 . 2
7745, 76eqtrd 2470 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  csn 3816  cop 3819   cmpt 4269   cxp 4879  ccnv 4880   cdm 4881   crn 4882   cres 4883  cima 4884   ccom 4885   wfun 5451   wfn 5452  wfo 5455  wf1o 5456  cfv 5457  (class class class)co 6084  c2nd 6351 This theorem is referenced by:  curry1val  6442  curry1f  6443 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-1st 6352  df-2nd 6353
 Copyright terms: Public domain W3C validator