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Theorem cusgrarn 21468
Description: In a complete simple graph, the range of the edge function consists of all the pairs with different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
cusgrarn  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ran  E  =  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
Distinct variable groups:    x, E    x, V

Proof of Theorem cusgrarn
Dummy variables  a 
b  k  l  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscusgra0 21466 . 2  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E ) )
2 usgraf0 21377 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
3 f1f 5639 . . . . . . 7  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
4 df-f 5458 . . . . . . . 8  |-  ( E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  <->  ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E 
C_  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
5 ssel 3342 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( e  e.  ran  E  ->  e  e.  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
65adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 } )  ->  ( e  e. 
ran  E  ->  e  e. 
{ x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
74, 6sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( e  e.  ran  E  ->  e  e.  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
83, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  ( e  e. 
ran  E  ->  e  e. 
{ x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( e  e. 
ran  E  ->  e  e. 
{ x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
10 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  e  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  e
) )
1110eqeq1d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  e  ->  (
( # `  x )  =  2  <->  ( # `  e
)  =  2 ) )
1211elrab 3092 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  <->  ( e  e.  ~P V  /\  ( # `
 e )  =  2 ) )
13 vex 2959 . . . . . . . . . . 11  |-  e  e. 
_V
14 hash2prde 11688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( e  e.  _V  /\  ( # `  e )  =  2 )  ->  E. a E. b ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } ) )
1513, 14mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  e )  =  2  ->  E. a E. b ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } ) )
16 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
e  e.  ~P V  <->  { a ,  b }  e.  ~P V ) )
17 prex 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { a ,  b }  e.  _V
1817elpw 3805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { a ,  b }  e.  ~P V  <->  { a ,  b }  C_  V )
19 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  a  e. 
_V
20 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  b  e. 
_V
2119, 20prss 3952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  <->  { a ,  b } 
C_  V )
2218, 21bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { a ,  b }  e.  ~P V  <->  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )
23 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( e  =  { a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  a  e.  V )
2423anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
( a  e.  V  /\  a  =/=  b
) )
25 eldifsn 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  ( V  \  { b } )  <-> 
( a  e.  V  /\  a  =/=  b
) )
2624, 25sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
a  e.  ( V 
\  { b } ) )
27 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
b  e.  V )
28 sneq 3825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  b  ->  { k }  =  { b } )
2928difeq2d 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  b  ->  ( V  \  { k } )  =  ( V 
\  { b } ) )
30 preq2 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  b  ->  { l ,  k }  =  { l ,  b } )
3130eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  b  ->  ( { l ,  k }  e.  ran  E  <->  { l ,  b }  e.  ran  E ) )
3229, 31raleqbidv 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  b  ->  ( A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  <->  A. l  e.  ( V  \  { b } ) { l ,  b }  e.  ran  E ) )
3332rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  e.  V  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  A. l  e.  ( V  \  { b } ) { l ,  b }  e.  ran  E ) )
3427, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  A. l  e.  ( V  \  { b } ) { l ,  b }  e.  ran  E ) )
35 preq1 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  =  a  ->  { l ,  b }  =  { a ,  b } )
3635eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  =  a  ->  ( { l ,  b }  e.  ran  E  <->  { a ,  b }  e.  ran  E ) )
3736rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( V  \  { b } )  ->  ( A. l  e.  ( V  \  {
b } ) { l ,  b }  e.  ran  E  ->  { a ,  b }  e.  ran  E
) )
3826, 34, 37sylsyld 54 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  { a ,  b }  e.  ran  E
) )
39 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
e  e.  ran  E  <->  { a ,  b }  e.  ran  E ) )
4039bicomd 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  <->  e  e.  ran  E ) )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e  =  { a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  <->  e  e.  ran  E ) )
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
( { a ,  b }  e.  ran  E  <-> 
e  e.  ran  E
) )
4338, 42sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( e  =  {
a ,  b }  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  a  =/=  b )  -> 
( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) )
4443exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
( a  e.  V  /\  b  e.  V
)  ->  ( a  =/=  b  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  e  e.  ran  E
) ) ) )
4522, 44syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  ( { a ,  b }  e.  ~P V  ->  ( a  =/=  b  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) ) ) )
4616, 45sylbid 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
e  e.  ~P V  ->  ( a  =/=  b  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) ) ) )
4746com23 74 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
a  =/=  b  -> 
( e  e.  ~P V  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) ) ) )
4847impcom 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  ( e  e. 
~P V  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  e  e.  ran  E ) ) )
4948exlimivv 1645 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. a E. b ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  ( e  e. 
~P V  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  e  e.  ran  E ) ) )
5015, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  e )  =  2  ->  (
e  e.  ~P V  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) ) )
5150impcom 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  ~P V  /\  ( # `  e
)  =  2 )  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  -> 
e  e.  ran  E
) )
5212, 51sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( e  e.  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  e  e.  ran  E ) )
5352com12 29 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  { k } ) { l ,  k }  e.  ran  E  ->  ( e  e.  {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  e  e.  ran  E ) )
5453adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( e  e. 
{ x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  e  e.  ran  E ) )
559, 54impbid 184 . . . 4  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E )  ->  ( e  e. 
ran  E  <->  e  e.  {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
5655eqrdv 2434 . . 3  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E )  ->  ran  E  =  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
572, 56sylan 458 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  A. k  e.  V  A. l  e.  ( V  \  {
k } ) { l ,  k }  e.  ran  E )  ->  ran  E  =  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
581, 57syl 16 1  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ran  E  =  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   {csn 3814   {cpr 3815   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   ran crn 4879    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   ` cfv 5454   2c2 10049   #chash 11618   USGrph cusg 21365   ComplUSGrph ccusgra 21431
This theorem is referenced by:  cusgrafilem1  21488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619  df-usgra 21367  df-cusgra 21434
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