Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrasizeinds Structured version   Unicode version

Theorem cusgrasizeinds 21490
 Description: Part 1 of induction step in cusgrasize 21492. The size of a complete simple graph with vertices is plus the size of the complete graph reduced by one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f
Assertion
Ref Expression
cusgrasizeinds ComplUSGrph
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem cusgrasizeinds
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 21472 . . . 4 ComplUSGrph USGrph
2 usgrafis 21434 . . . . . 6 USGrph
32a1d 24 . . . . 5 USGrph
43ex 425 . . . 4 USGrph
51, 4syl 16 . . 3 ComplUSGrph
653imp 1148 . 2 ComplUSGrph
7 usgrafun 21383 . . . . . . 7 USGrph
81, 7syl 16 . . . . . 6 ComplUSGrph
983ad2ant1 979 . . . . 5 ComplUSGrph
109adantr 453 . . . 4 ComplUSGrph
11 hashfun 11705 . . . . 5
1211adantl 454 . . . 4 ComplUSGrph
1310, 12mpbid 203 . . 3 ComplUSGrph
14 cusgrares.f . . . . . . 7
1514cusgrasizeindslem1 21487 . . . . . 6
1615a1i 11 . . . . 5 ComplUSGrph
1716fveq2d 5735 . . . 4 ComplUSGrph
18 finresfin 7337 . . . . . . . 8
1914, 18syl5eqel 2522 . . . . . . 7
20 dmfi 7392 . . . . . . 7
2119, 20syl 16 . . . . . 6
2221adantl 454 . . . . 5 ComplUSGrph
23 dmfi 7392 . . . . . . 7
24 rabfi 7336 . . . . . . 7
2523, 24syl 16 . . . . . 6
2625adantl 454 . . . . 5 ComplUSGrph
2714cusgrasizeindslem2 21488 . . . . . 6
2827a1i 11 . . . . 5 ComplUSGrph
29 hashun 11661 . . . . 5
3022, 26, 28, 29syl3anc 1185 . . . 4 ComplUSGrph
3114cusgrasizeindslem3 21489 . . . . . . 7 ComplUSGrph
3231adantr 453 . . . . . 6 ComplUSGrph
3332oveq2d 6100 . . . . 5 ComplUSGrph
34 hashcl 11644 . . . . . . . . 9
3534nn0cnd 10281 . . . . . . . 8
3619, 20, 353syl 19 . . . . . . 7
3736adantl 454 . . . . . 6 ComplUSGrph
38 hashcl 11644 . . . . . . . . 9
39 nn0cn 10236 . . . . . . . . . 10
40 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . 11
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10
4239, 41subcld 9416 . . . . . . . . 9
4338, 42syl 16 . . . . . . . 8
44433ad2ant2 980 . . . . . . 7 ComplUSGrph
4544adantr 453 . . . . . 6 ComplUSGrph
4637, 45addcomd 9273 . . . . 5 ComplUSGrph
4733, 46eqtrd 2470 . . . 4 ComplUSGrph
4817, 30, 473eqtrd 2474 . . 3 ComplUSGrph
4914cusgrares 21486 . . . . . . . . 9 ComplUSGrph ComplUSGrph
50 cusisusgra 21472 . . . . . . . . 9 ComplUSGrph USGrph
51 usgrafun 21383 . . . . . . . . 9 USGrph
5249, 50, 513syl 19 . . . . . . . 8 ComplUSGrph
53523adant2 977 . . . . . . 7 ComplUSGrph
5453adantr 453 . . . . . 6 ComplUSGrph
5519adantl 454 . . . . . . 7 ComplUSGrph
56 hashfun 11705 . . . . . . 7
5755, 56syl 16 . . . . . 6 ComplUSGrph
5854, 57mpbid 203 . . . . 5 ComplUSGrph
5958eqcomd 2443 . . . 4 ComplUSGrph
6059oveq2d 6100 . . 3 ComplUSGrph
6113, 48, 603eqtrd 2474 . 2 ComplUSGrph
626, 61mpdan 651 1 ComplUSGrph
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wnel 2602  crab 2711   cdif 3319   cun 3320   cin 3321  c0 3630  csn 3816   class class class wbr 4215   cdm 4881   cres 4883   wfun 5451  cfv 5457  (class class class)co 6084  cfn 7112  cc 8993  c1 8996   caddc 8998   cmin 9296  cn0 10226  chash 11623   USGrph cusg 21370   ComplUSGrph ccusgra 21436 This theorem is referenced by:  cusgrasize2inds  21491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-hash 11624  df-usgra 21372  df-nbgra 21438  df-cusgra 21439
 Copyright terms: Public domain W3C validator