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Theorem cusgrasizeinds 21490
Description: Part 1 of induction step in cusgrasize 21492. The size of a complete simple graph with  n vertices is  ( n  -  1 ) plus the size of the complete graph reduced by one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
Assertion
Ref Expression
cusgrasizeinds  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, N    x, V
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem cusgrasizeinds
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 21472 . . . 4  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 usgrafis 21434 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  E  e.  Fin )
32a1d 24 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  ( N  e.  V  ->  E  e.  Fin ) )
43ex 425 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  E  e.  Fin ) ) )
51, 4syl 16 . . 3  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( N  e.  V  ->  E  e.  Fin ) ) )
653imp 1148 . 2  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  E  e.  Fin )
7 usgrafun 21383 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( V ComplUSGrph  E  ->  Fun  E )
983ad2ant1 979 . . . . 5  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  Fun  E )
109adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  Fun  E )
11 hashfun 11705 . . . . 5  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( Fun  E  <->  ( # `  E
)  =  ( # `  dom  E ) ) )
1211adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( Fun  E  <->  ( # `  E
)  =  ( # `  dom  E ) ) )
1310, 12mpbid 203 . . 3  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  =  ( # `  dom  E ) )
14 cusgrares.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
1514cusgrasizeindslem1 21487 . . . . . 6  |-  dom  E  =  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  dom  E  =  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )
1716fveq2d 5735 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  E )  =  ( # `  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) ) )
18 finresfin 7337 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( E  |`  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  e. 
Fin )
1914, 18syl5eqel 2522 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  Fin  ->  F  e.  Fin )
20 dmfi 7392 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  F  e.  Fin )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  F  e.  Fin )
2221adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  dom  F  e.  Fin )
23 dmfi 7392 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  E  e.  Fin )
24 rabfi 7336 . . . . . . 7  |-  ( dom 
E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin )
2523, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( E  e.  Fin  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  e.  Fin )
2625adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  e.  Fin )
2714cusgrasizeindslem2 21488 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  i^i  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  (/)
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( dom  F  i^i  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  (/) )
29 hashun 11661 . . . . 5  |-  ( ( dom  F  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }  e.  Fin  /\  ( dom  F  i^i  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } ) )  =  ( ( # `  dom  F )  +  ( # `  {
x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) ) )
3022, 26, 28, 29syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( dom  F  u.  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )  =  ( ( # `  dom  F )  +  ( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) ) )
3114cusgrasizeindslem3 21489 . . . . . . 7  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
3231adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) } )  =  ( ( # `  V
)  -  1 ) )
3332oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  dom  F
)  +  ( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )  =  ( ( # `  dom  F )  +  ( (
# `  V )  -  1 ) ) )
34 hashcl 11644 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
F  e.  Fin  ->  (
# `  dom  F )  e.  NN0 )
3534nn0cnd 10281 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
F  e.  Fin  ->  (
# `  dom  F )  e.  CC )
3619, 20, 353syl 19 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  F )  e.  CC )
3736adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  F )  e.  CC )
38 hashcl 11644 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
39 nn0cn 10236 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( # `  V
)  e.  CC )
40 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
4239, 41subcld 9416 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 V )  - 
1 )  e.  CC )
4338, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e.  CC )
44433ad2ant2 980 . . . . . . 7  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e.  CC )
4544adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  V )  -  1 )  e.  CC )
4637, 45addcomd 9273 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  dom  F
)  +  ( (
# `  V )  -  1 ) )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) ) )
4733, 46eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( # `  dom  F
)  +  ( # `  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) } ) )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) ) )
4817, 30, 473eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  E )  =  ( ( (
# `  V )  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) ) )
4914cusgrares 21486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) ComplUSGrph  F )
50 cusisusgra 21472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  \  { N } ) ComplUSGrph  F  ->  ( V  \  { N }
) USGrph  F )
51 usgrafun 21383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  \  { N } ) USGrph  F  ->  Fun  F )
5249, 50, 513syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  Fun  F )
53523adant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  Fun  F )
5453adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  Fun  F )
5519adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  F  e.  Fin )
56 hashfun 11705 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )
5755, 56syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )
5854, 57mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 F )  =  ( # `  dom  F ) )
5958eqcomd 2443 . . . 4  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 dom  F )  =  ( # `  F
) )
6059oveq2d 6100 . . 3  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  (
( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  dom  F ) )  =  ( ( ( # `  V
)  -  1 )  +  ( # `  F
) ) )
6113, 48, 603eqtrd 2474 . 2  |-  ( ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  V )  /\  E  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
626, 61mpdan 651 1  |-  ( ( V ComplUSGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 E )  =  ( ( ( # `  V )  -  1 )  +  ( # `  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    e/ wnel 2602   {crab 2711    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321   (/)c0 3630   {csn 3816   class class class wbr 4215   dom cdm 4881    |` cres 4883   Fun wfun 5451   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Fincfn 7112   CCcc 8993   1c1 8996    + caddc 8998    - cmin 9296   NN0cn0 10226   #chash 11623   USGrph cusg 21370   ComplUSGrph ccusgra 21436
This theorem is referenced by:  cusgrasize2inds  21491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-hash 11624  df-usgra 21372  df-nbgra 21438  df-cusgra 21439
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