Theorem cvg1 6921

Description: A relationship used to derive two ways to express that a sequence converges. ph is ph(k).

Hypothesis

Ref	Expression
cvg1.1	|- Z = (ZZ>` M)

Assertion

Ref	Expression
cvg1	|- (E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph) <-> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph))

Distinct variable groups:   k,M   j,k,Z   ph,j

Proof of Theorem cvg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1.1	. . . . . . 7 |- Z = (ZZ>` M)
2	1	eleq2i 1538	. . . . . 6 |- (j e. Z <-> j e. (ZZ>` M))
3		zltp1let 6181	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (j < k <-> (j + 1) <_ k))
4		eluzelz 6423	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. (ZZ>` M) -> j e. ZZ)
5	1	eleq2i 1538	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. Z <-> k e. (ZZ>` M))
6		eluzelz 6423	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. ZZ)
7	5, 6	sylbi 199	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. Z -> k e. ZZ)
8	3, 4, 7	syl2an 454	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. (ZZ>` M) /\ k e. Z) -> (j < k <-> (j + 1) <_ k))
9	8	imbi1d 613	. . . . . . . . 9 |- ((j e. (ZZ>` M) /\ k e. Z) -> ((j < k -> ph) <-> ((j + 1) <_ k -> ph)))
10	9	ralbidva 1659	. . . . . . . 8 |- (j e. (ZZ>` M) -> (A.k e. Z (j < k -> ph) <-> A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph)))
11	10	biimpd 153	. . . . . . 7 |- (j e. (ZZ>` M) -> (A.k e. Z (j < k -> ph) -> A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph)))
12		peano2uz 6447	. . . . . . . 8 |- (j e. (ZZ>` M) -> (j + 1) e. (ZZ>` M))
13	12, 1	syl6eleqr 1559	. . . . . . 7 |- (j e. (ZZ>` M) -> (j + 1) e. Z)
14	11, 13	jctild 601	. . . . . 6 |- (j e. (ZZ>` M) -> (A.k e. Z (j < k -> ph) -> ((j + 1) e. Z /\ A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph))))
15	2, 14	sylbi 199	. . . . 5 |- (j e. Z -> (A.k e. Z (j < k -> ph) -> ((j + 1) e. Z /\ A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph))))
16		breq1 2622	. . . . . . . 8 |- (m = (j + 1) -> (m <_ k <-> (j + 1) <_ k))
17	16	imbi1d 613	. . . . . . 7 |- (m = (j + 1) -> ((m <_ k -> ph) <-> ((j + 1) <_ k -> ph)))
18	17	ralbidv 1663	. . . . . 6 |- (m = (j + 1) -> (A.k e. Z (m <_ k -> ph) <-> A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph)))
19	18	rcla4ev 1877	. . . . 5 |- (((j + 1) e. Z /\ A.k e. Z ((j + 1) <_ k -> ph)) -> E.m e. Z A.k e. Z (m <_ k -> ph))
20	15, 19	syl6 22	. . . 4 |- (j e. Z -> (A.k e. Z (j < k -> ph) -> E.m e. Z A.k e. Z (m <_ k -> ph)))
21	20	r19.23aiv 1743	. . 3 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph) -> E.m e. Z A.k e. Z (m <_ k -> ph))
22		breq1 2622	. . . . . 6 |- (m = j -> (m <_ k <-> j <_ k))
23	22	imbi1d 613	. . . . 5 |- (m = j -> ((m <_ k -> ph) <-> (j <_ k -> ph)))
24	23	ralbidv 1663	. . . 4 |- (m = j -> (A.k e. Z (m <_ k -> ph) <-> A.k e. Z (j <_ k -> ph)))
25	24	cbvrexv 1801	. . 3 |- (E.m e. Z A.k e. Z (m <_ k -> ph) <-> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph))
26	21, 25	sylib 198	. 2 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph))
27	1	cvg1i 6920	. 2 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph))
28	26, 27	impbi 157	1 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph) <-> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  1c1 5235   + caddc 5237   <_ cle 5295  ZZcz 5298   < clt 5486  ZZ>cuz 6417

This theorem is referenced by:  caucvg 7163

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-uz 6418

Copyright terms: Public domain