Theorem cvgcmp2clem 7182

Description: Lemma for cvgcmp2c 7183.

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp2.1	|- A e. V
cvgcmp2.2	|- F:NN-->RR
cvgcmp2.3	|- G:NN-->RR
cvgcmp2.4	|- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
cvgcmp2.5	|- (x e. NN -> 0 <_ (G` x))
cvgcmp2.6	|- ( + seq1 F) ~~> A
cvgcmp2.7	|- B e. NN
cvgcmp2c.9	|- C e. RR
cvgcmp2c.10	|- 0 <_ C
cvgcmp2c.11	|- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (C x. (F` x)))
cvgcmp2clem.12	|- S Fn NN
cvgcmp2clem.13	|- (x e. NN -> (S` x) = (C x. (F` x)))

Assertion

Ref	Expression
cvgcmp2clem	|- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F   x,G   x,S   x,C

Proof of Theorem cvgcmp2clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 3983	. 2 |- (C x. A) e. V
2		ffnfv 3828	. . 3 |- (S:NN-->RR <-> (S Fn NN /\ A.x e. NN (S` x) e. RR))
3		cvgcmp2clem.12	. . 3 |- S Fn NN
4		cvgcmp2clem.13	. . . . 5 |- (x e. NN -> (S` x) = (C x. (F` x)))
5		cvgcmp2.2	. . . . . . 7 |- F:NN-->RR
6	5	ffvelrni 3815	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (F` x) e. RR)
7		cvgcmp2c.9	. . . . . . 7 |- C e. RR
8		axmulrcl 5274	. . . . . . 7 |- ((C e. RR /\ (F` x) e. RR) -> (C x. (F` x)) e. RR)
9	7, 8	mpan 695	. . . . . 6 |- ((F` x) e. RR -> (C x. (F` x)) e. RR)
10	6, 9	syl 10	. . . . 5 |- (x e. NN -> (C x. (F` x)) e. RR)
11	4, 10	eqeltrd 1548	. . . 4 |- (x e. NN -> (S` x) e. RR)
12	11	rgen 1698	. . 3 |- A.x e. NN (S` x) e. RR
13	2, 3, 12	mpbir2an 730	. 2 |- S:NN-->RR
14		cvgcmp2.3	. 2 |- G:NN-->RR
15		mulge0t 5679	. . . . 5 |- (((C e. RR /\ (F` x) e. RR) /\ (0 <_ C /\ 0 <_ (F` x))) -> 0 <_ (C x. (F` x)))
16	7, 15	mpanl1 706	. . . 4 |- (((F` x) e. RR /\ (0 <_ C /\ 0 <_ (F` x))) -> 0 <_ (C x. (F` x)))
17		cvgcmp2.4	. . . . 5 |- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
18		cvgcmp2c.10	. . . . 5 |- 0 <_ C
19	17, 18	jctil 292	. . . 4 |- (x e. NN -> (0 <_ C /\ 0 <_ (F` x)))
20	16, 6, 19	sylanc 471	. . 3 |- (x e. NN -> 0 <_ (C x. (F` x)))
21	20, 4	breqtrrd 2641	. 2 |- (x e. NN -> 0 <_ (S` x))
22		cvgcmp2.5	. 2 |- (x e. NN -> 0 <_ (G` x))
23	7	recn 5314	. . 3 |- C e. CC
24		cvgcmp2.1	. . 3 |- A e. V
25		cvgcmp2.6	. . 3 |- ( + seq1 F) ~~> A
26		addex 5317	. . . 4 |- + e. V
27		nnex 5933	. . . . 5 |- NN e. V
28		fnex 3607	. . . . 5 |- ((S Fn NN /\ NN e. V) -> S e. V)
29	3, 27, 28	mp2an 697	. . . 4 |- S e. V
30	26, 29	seq1fn 6320	. . 3 |- ( + seq1 S) Fn NN
31		axresscn 5268	. . . . . 6 |- RR (_ CC
32		fss 3635	. . . . . 6 |- ((F:NN-->RR /\ RR (_ CC) -> F:NN-->CC)
33	5, 31, 32	mp2an 697	. . . . 5 |- F:NN-->CC
34	33	ser1cl1 6330	. . . 4 |- (x e. NN -> (( + seq1 F)` x) e. CC)
35	23, 33, 29, 4	ser1mulc 7060	. . . 4 |- (x e. NN -> (( + seq1 S)` x) = (C x. (( + seq1 F)` x)))
36	34, 35	jca 288	. . 3 |- (x e. NN -> ((( + seq1 F)` x) e. CC /\ (( + seq1 S)` x) = (C x. (( + seq1 F)` x))))
37	23, 24, 25, 30, 36	climmulc 7133	. 2 |- ( + seq1 S) ~~> (C x. A)
38		cvgcmp2.7	. 2 |- B e. NN
39		cvgcmp2c.11	. . 3 |- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (C x. (F` x)))
40	4	adantr 389	. . 3 |- ((x e. NN /\ B < x) -> (S` x) = (C x. (F` x)))
41	39, 40	breqtrrd 2641	. 2 |- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (S` x))
42	1, 13, 14, 21, 22, 37, 38, 41	cvgcmp2 7181	1 |- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  ran crn 3171   Fn wfn 3177  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   + caddc 5237   x. cmul 5239   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486   seq1 cseq1 6307   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  cvgcmp2c 7183

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain