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Theorem cvgcmpce 12590
Description: A comparison test for convergence of a complex infinite series. (Contributed by NM, 25-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmpce.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgcmpce.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgcmpce.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
cvgcmpce.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
cvgcmpce.5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
cvgcmpce.6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
cvgcmpce.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  <_  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvgcmpce  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    C, k    k, F    k, G    k, N    k, Z    k, M    ph, k

Proof of Theorem cvgcmpce
Dummy variables  m  j  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmpce.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 cvgcmpce.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
32, 1syl6eleq 2526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluzel2 10486 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
6 cvgcmpce.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
71, 5, 6serf 11344 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> CC )
87ffvelrnda 5863 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  CC )
9 fveq2 5721 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
109oveq2d 6090 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( C  x.  ( F `  m ) )  =  ( C  x.  ( F `  k )
) )
11 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) )
12 ovex 6099 . . . . . . . 8  |-  ( C  x.  ( F `  k ) )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5799 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) `  k
)  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
1413adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) `  k
)  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
15 cvgcmpce.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1615adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
17 cvgcmpce.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1816, 17remulcld 9109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( C  x.  ( F `  k ) )  e.  RR )
1914, 18eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) `  k
)  e.  RR )
20 fveq2 5721 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( G `  m )  =  ( G `  k ) )
2120fveq2d 5725 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( abs `  ( G `  m ) )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
22 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) )
23 fvex 5735 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( G `  k
) )  e.  _V
2421, 22, 23fvmpt 5799 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
2524adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
266abscld 12231 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  RR )
2725, 26eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  e.  RR )
2815recnd 9107 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
29 cvgcmpce.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
30 climdm 12341 . . . . . . . 8  |-  (  seq 
M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  M (  +  ,  F
)  ~~>  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
3129, 30sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
3217recnd 9107 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
331, 5, 28, 31, 32, 14isermulc2 12444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) ) )  ~~>  ( C  x.  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) ) )
34 climrel 12279 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
3534releldmi 5099 . . . . . 6  |-  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) )  ~~>  ( C  x.  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )  ->  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
3633, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
371uztrn2 10496 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  Z )
382, 37sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  Z )
396absge0d 12239 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  k )
) )
4039, 25breqtrrd 4231 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
) )
4138, 40syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
) )
42 cvgcmpce.7 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  <_  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
4338, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) `  k )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
4438, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `
 m ) ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
4542, 43, 443brtr4d 4235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) `  k )  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) ) `
 k ) )
461, 2, 19, 27, 36, 41, 45cvgcmp 12588 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
471climcau 12457 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x )
485, 46, 47syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x )
491, 5, 27serfre 11345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) : Z --> RR )
5049ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) : Z --> RR )
511uztrn2 10496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  Z )
5251adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  n  e.  Z
)
5350, 52ffvelrnd 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  e.  RR )
54 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  Z
)
5550, 54ffvelrnd 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  j
)  e.  RR )
5653, 55resubcld 9458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  e.  RR )
57 0re 9084 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  0  e.  RR )
597ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> CC )
6059, 52ffvelrnd 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC )
6159, 54ffvelrnd 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  G
) `  j )  e.  CC )
6260, 61subcld 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) )  e.  CC )
6362abscld 12231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  e.  RR )
6462absge0d 12239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) ) )
65 fzfid 11305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... n )  e.  Fin )
66 difss 3467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M ... n ) 
\  ( M ... j ) )  C_  ( M ... n )
67 ssfi 7322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M ... n
)  e.  Fin  /\  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) 
C_  ( M ... n ) )  -> 
( ( M ... n )  \  ( M ... j ) )  e.  Fin )
6865, 66, 67sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) )  e.  Fin )
69 eldifi 3462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) )  ->  k  e.  ( M ... n
) )
70 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ph )
71 elfzuz 11048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7271, 1syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  Z )
7370, 72, 6syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7469, 73sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7568, 74fsumabs 12573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) ) )
76 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
7752, 1syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
7876, 77, 73fsumser 12517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
)  =  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
) )
79 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
8054, 1syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  M ) )
81 elfzuz 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8281, 1syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  k  e.  Z )
8370, 82, 6syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
8479, 80, 83fsumser 12517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `  k
)  =  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) )
8578, 84oveq12d 6092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( G `  k )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `
 k ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )
86 disjdif 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M ... j )  i^i  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) )  =  (/)
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( M ... j )  i^i  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) )  =  (/) )
88 undif2 3697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M ... j )  u.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) )  =  ( ( M ... j )  u.  ( M ... n ) )
89 fzss2 11085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( M ... j )  C_  ( M ... n ) )
9089ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... j )  C_  ( M ... n ) )
91 ssequn1 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M ... j ) 
C_  ( M ... n )  <->  ( ( M ... j )  u.  ( M ... n
) )  =  ( M ... n ) )
9290, 91sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( M ... j )  u.  ( M ... n
) )  =  ( M ... n ) )
9388, 92syl5req 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... n )  =  ( ( M ... j
)  u.  ( ( M ... n ) 
\  ( M ... j ) ) ) )
9487, 93, 65, 73fsumsplit 12526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `
 k )  + 
sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( G `  k ) ) )
9594eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... j
) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
) )
9665, 73fsumcl 12520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
)  e.  CC )
97 fzfid 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... j )  e.  Fin )
9897, 83fsumcl 12520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `  k
)  e.  CC )
9968, 74fsumcl 12520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( G `  k )  e.  CC )
10096, 98, 99subaddd 9422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `
 k )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) ( G `  k
)  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... j
) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
) ) )
10195, 100mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( G `  k )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( G `  k ) )
10285, 101eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )
103102fveq2d 5725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) ) )
10472adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  k  e.  Z )
105104, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
106 abscl 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  RR )
107106recnd 9107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  CC )
10873, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  CC )
109105, 77, 108fsumser 12517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k )
)  =  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n ) )
11082adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  k  e.  Z )
111110, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
11283, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  CC )
113111, 80, 112fsumser 12517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k )
)  =  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )
114109, 113oveq12d 6092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( abs `  ( G `  k )
)  -  sum_ k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
11587, 93, 65, 108fsumsplit 12526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k )
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k
) )  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( abs `  ( G `  k
) ) ) )
116115eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( G `  k )
)  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k
) ) )
11765, 108fsumcl 12520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k )
)  e.  CC )
11897, 112fsumcl 12520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k )
)  e.  CC )
11974, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) )  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  e.  CC )
12068, 119fsumcl 12520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) )  e.  CC )
121117, 118, 120subaddd 9422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k
) )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) )  <-> 
( sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k )
)  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k
) ) ) )
122116, 121mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( abs `  ( G `  k )
)  -  sum_ k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( abs `  ( G `  k
) ) )
123114, 122eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) ) )
12475, 103, 1233brtr4d 4235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
12558, 63, 56, 64, 124letrd 9220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  0  <_  (
(  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
12656, 125absidd 12218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  =  ( (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
127126breq1d 4215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  <->  ( (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x ) )
128 rpre 10611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
129128ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  x  e.  RR )
130 lelttr 9158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  /\  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
13163, 56, 129, 130syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  /\  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
132124, 131mpand 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 j ) ) )  <  x ) )
133127, 132sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
134133anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
135134ralimdva 2777 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
136135reximdva 2811 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
137136ralimdva 2777 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
13848, 137mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 j ) ) )  <  x )
139 seqex 11318 . . 3  |-  seq  M
(  +  ,  G
)  e.  _V
140139a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
_V )
1411, 8, 138, 140caucvg 12465 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2698   E.wrex 2699   _Vcvv 2949    \ cdif 3310    u. cun 3311    i^i cin 3312    C_ wss 3313   (/)c0 3621   class class class wbr 4205    e. cmpt 4259   dom cdm 4871   -->wf 5443   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   Fincfn 7102   CCcc 8981   RRcr 8982   0cc0 8983    + caddc 8986    x. cmul 8988    < clt 9113    <_ cle 9114    - cmin 9284   ZZcz 10275   ZZ>=cuz 10481   RR+crp 10605   ...cfz 11036    seq cseq 11316   abscabs 12032    ~~> cli 12271   sum_csu 12472
This theorem is referenced by:  abscvgcvg  12591  geomulcvg  12646  cvgrat  12653  radcnvlem1  20322  radcnvlem2  20323  dvradcnv  20330  abelthlem5  20344  abelthlem7  20347  logtayllem  20543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061  ax-addf 9062  ax-mulf 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-pm 7014  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-sup 7439  df-oi 7472  df-card 7819  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-rp 10606  df-ico 10915  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-fl 11195  df-seq 11317  df-exp 11376  df-hash 11612  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-limsup 12258  df-clim 12275  df-rlim 12276  df-sum 12473
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