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Theorem cvgcmpce 12276
Description: A comparison test for convergence of a complex infinite series. (Contributed by NM, 25-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmpce.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgcmpce.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgcmpce.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
cvgcmpce.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
cvgcmpce.5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
cvgcmpce.6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
cvgcmpce.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  <_  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvgcmpce  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    C, k    k, F    k, G    k, N    k, Z    k, M    ph, k

Proof of Theorem cvgcmpce
Dummy variables  m  j  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmpce.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 cvgcmpce.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
32, 1syl6eleq 2373 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluzel2 10235 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
6 cvgcmpce.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
71, 5, 6serf 11074 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> CC )
8 ffvelrn 5663 . . 3  |-  ( (  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> CC  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  CC )
97, 8sylan 457 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  CC )
10 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
1110oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( C  x.  ( F `  m ) )  =  ( C  x.  ( F `  k )
) )
12 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) )
13 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( C  x.  ( F `  k ) )  e. 
_V
1411, 12, 13fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) `  k
)  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
1514adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) `  k
)  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
16 cvgcmpce.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1716adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
18 cvgcmpce.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1917, 18remulcld 8863 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( C  x.  ( F `  k ) )  e.  RR )
2015, 19eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) `  k
)  e.  RR )
21 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( G `  m )  =  ( G `  k ) )
2221fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( abs `  ( G `  m ) )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
23 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) )
24 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( G `  k
) )  e.  _V
2522, 23, 24fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
2625adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
276abscld 11918 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  RR )
2826, 27eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  e.  RR )
2916recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
30 cvgcmpce.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
31 climdm 12028 . . . . . . . 8  |-  (  seq 
M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  M (  +  ,  F
)  ~~>  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
3230, 31sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
3318recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
341, 5, 29, 32, 33, 15isermulc2 12131 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) ) )  ~~>  ( C  x.  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) ) )
35 climrel 11966 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
3635releldmi 4915 . . . . . 6  |-  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) )  ~~>  ( C  x.  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )  ->  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
3734, 36syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
381uztrn2 10245 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  Z )
392, 38sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  Z )
406absge0d 11926 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  k )
) )
4140, 26breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
) )
4239, 41syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
) )
43 cvgcmpce.7 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  <_  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
4439, 25syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) `  k )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
4539, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `
 m ) ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
4643, 44, 453brtr4d 4053 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) `  k )  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) ) `
 k ) )
471, 2, 20, 28, 37, 42, 46cvgcmp 12274 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
481climcau 12144 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x )
495, 47, 48syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x )
501, 5, 28serfre 11075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) : Z --> RR )
5150ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) : Z --> RR )
521uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  Z )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  n  e.  Z
)
54 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) : Z --> RR  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  e.  RR )
5551, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  e.  RR )
56 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  Z
)
57 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) : Z --> RR  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j )  e.  RR )
5851, 56, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  j
)  e.  RR )
5955, 58resubcld 9211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  e.  RR )
60 0re 8838 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
6160a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  0  e.  RR )
627ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> CC )
6362, 53, 8syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC )
64 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> CC  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
)  e.  CC )
6562, 56, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  G
) `  j )  e.  CC )
6663, 65subcld 9157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) )  e.  CC )
6766abscld 11918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  e.  RR )
6866absge0d 11926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) ) )
69 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... n )  e.  Fin )
70 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M ... n ) 
\  ( M ... j ) )  C_  ( M ... n )
71 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M ... n
)  e.  Fin  /\  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) 
C_  ( M ... n ) )  -> 
( ( M ... n )  \  ( M ... j ) )  e.  Fin )
7269, 70, 71sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) )  e.  Fin )
73 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) )  ->  k  e.  ( M ... n
) )
74 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ph )
75 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7675, 1syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  Z )
7774, 76, 6syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7873, 77sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7972, 78fsumabs 12259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) ) )
80 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
8153, 1syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
8280, 81, 77fsumser 12203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
)  =  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
) )
83 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
8456, 1syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  M ) )
85 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8685, 1syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  k  e.  Z )
8774, 86, 6syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
8883, 84, 87fsumser 12203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `  k
)  =  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) )
8982, 88oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( G `  k )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `
 k ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )
90 disjdif 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M ... j )  i^i  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) )  =  (/)
9190a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( M ... j )  i^i  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) )  =  (/) )
92 undif2 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M ... j )  u.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) )  =  ( ( M ... j )  u.  ( M ... n ) )
93 fzss2 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( M ... j )  C_  ( M ... n ) )
9493ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... j )  C_  ( M ... n ) )
95 ssequn1 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M ... j ) 
C_  ( M ... n )  <->  ( ( M ... j )  u.  ( M ... n
) )  =  ( M ... n ) )
9694, 95sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( M ... j )  u.  ( M ... n
) )  =  ( M ... n ) )
9792, 96syl5req 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... n )  =  ( ( M ... j
)  u.  ( ( M ... n ) 
\  ( M ... j ) ) ) )
9891, 97, 69, 77fsumsplit 12212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `
 k )  + 
sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( G `  k ) ) )
9998eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... j
) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
) )
10069, 77fsumcl 12206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
)  e.  CC )
101 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... j )  e.  Fin )
102101, 87fsumcl 12206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `  k
)  e.  CC )
10372, 78fsumcl 12206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( G `  k )  e.  CC )
104100, 102, 103subaddd 9175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `
 k )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) ( G `  k
)  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... j
) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
) ) )
10599, 104mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( G `  k )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( G `  k ) )
10689, 105eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )
107106fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) ) )
10876adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  k  e.  Z )
109108, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
110 abscl 11763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  RR )
111110recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  CC )
11277, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  CC )
113109, 81, 112fsumser 12203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k )
)  =  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n ) )
11486adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  k  e.  Z )
115114, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
11687, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  CC )
117115, 84, 116fsumser 12203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k )
)  =  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )
118113, 117oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( abs `  ( G `  k )
)  -  sum_ k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
11991, 97, 69, 112fsumsplit 12212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k )
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k
) )  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( abs `  ( G `  k
) ) ) )
120119eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( G `  k )
)  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k
) ) )
12169, 112fsumcl 12206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k )
)  e.  CC )
122101, 116fsumcl 12206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k )
)  e.  CC )
12378, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) )  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  e.  CC )
12472, 123fsumcl 12206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) )  e.  CC )
125121, 122, 124subaddd 9175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k
) )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) )  <-> 
( sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k )
)  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k
) ) ) )
126120, 125mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( abs `  ( G `  k )
)  -  sum_ k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( abs `  ( G `  k
) ) )
127118, 126eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) ) )
12879, 107, 1273brtr4d 4053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
12961, 67, 59, 68, 128letrd 8973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  0  <_  (
(  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
13059, 129absidd 11905 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  =  ( (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
131130breq1d 4033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  <->  ( (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x ) )
132 rpre 10360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
133132ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  x  e.  RR )
134 lelttr 8912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  /\  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
13567, 59, 133, 134syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  /\  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
136128, 135mpand 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 j ) ) )  <  x ) )
137131, 136sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
138137anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
139138ralimdva 2621 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
140139reximdva 2655 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
141140ralimdva 2621 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
14249, 141mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 j ) ) )  <  x )
143 seqex 11048 . . 3  |-  seq  M
(  +  ,  G
)  e.  _V
144143a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
_V )
1451, 9, 142, 144caucvg 12151 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782    seq cseq 11046   abscabs 11719    ~~> cli 11958   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  abscvgcvg  12277  geomulcvg  12332  cvgrat  12339  radcnvlem1  19789  radcnvlem2  19790  dvradcnv  19797  abelthlem5  19811  abelthlem7  19814  logtayllem  20006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159
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