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Theorem cvgcmpce 12292
Description: A comparison test for convergence of a complex infinite series. (Contributed by NM, 25-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmpce.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgcmpce.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgcmpce.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
cvgcmpce.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
cvgcmpce.5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
cvgcmpce.6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
cvgcmpce.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  <_  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvgcmpce  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    C, k    k, F    k, G    k, N    k, Z    k, M    ph, k

Proof of Theorem cvgcmpce
Dummy variables  m  j  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmpce.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 cvgcmpce.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
32, 1syl6eleq 2386 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluzel2 10251 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
6 cvgcmpce.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
71, 5, 6serf 11090 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> CC )
8 ffvelrn 5679 . . 3  |-  ( (  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> CC  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  CC )
97, 8sylan 457 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  CC )
10 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
1110oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( C  x.  ( F `  m ) )  =  ( C  x.  ( F `  k )
) )
12 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) )
13 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( C  x.  ( F `  k ) )  e. 
_V
1411, 12, 13fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) `  k
)  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
1514adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) `  k
)  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
16 cvgcmpce.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1716adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
18 cvgcmpce.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1917, 18remulcld 8879 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( C  x.  ( F `  k ) )  e.  RR )
2015, 19eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) `  k
)  e.  RR )
21 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( G `  m )  =  ( G `  k ) )
2221fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( abs `  ( G `  m ) )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
23 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) )
24 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( G `  k
) )  e.  _V
2522, 23, 24fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
2625adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
276abscld 11934 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  RR )
2826, 27eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  e.  RR )
2916recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
30 cvgcmpce.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
31 climdm 12044 . . . . . . . 8  |-  (  seq 
M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  M (  +  ,  F
)  ~~>  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
3230, 31sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
3318recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
341, 5, 29, 32, 33, 15isermulc2 12147 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) ) )  ~~>  ( C  x.  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) ) )
35 climrel 11982 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
3635releldmi 4931 . . . . . 6  |-  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) )  ~~>  ( C  x.  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )  ->  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
3734, 36syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
381uztrn2 10261 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  Z )
392, 38sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  Z )
406absge0d 11942 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  k )
) )
4140, 26breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
) )
4239, 41syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
) )
43 cvgcmpce.7 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  <_  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
4439, 25syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) `  k )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
4539, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `
 m ) ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
4643, 44, 453brtr4d 4069 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) `  k )  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) ) `
 k ) )
471, 2, 20, 28, 37, 42, 46cvgcmp 12290 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
481climcau 12160 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x )
495, 47, 48syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x )
501, 5, 28serfre 11091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) : Z --> RR )
5150ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) : Z --> RR )
521uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  Z )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  n  e.  Z
)
54 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) : Z --> RR  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  e.  RR )
5551, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  e.  RR )
56 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  Z
)
57 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) : Z --> RR  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j )  e.  RR )
5851, 56, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  j
)  e.  RR )
5955, 58resubcld 9227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  e.  RR )
60 0re 8854 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
6160a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  0  e.  RR )
627ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> CC )
6362, 53, 8syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC )
64 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> CC  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
)  e.  CC )
6562, 56, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  G
) `  j )  e.  CC )
6663, 65subcld 9173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) )  e.  CC )
6766abscld 11934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  e.  RR )
6866absge0d 11942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) ) )
69 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... n )  e.  Fin )
70 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M ... n ) 
\  ( M ... j ) )  C_  ( M ... n )
71 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M ... n
)  e.  Fin  /\  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) 
C_  ( M ... n ) )  -> 
( ( M ... n )  \  ( M ... j ) )  e.  Fin )
7269, 70, 71sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) )  e.  Fin )
73 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) )  ->  k  e.  ( M ... n
) )
74 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ph )
75 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7675, 1syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  Z )
7774, 76, 6syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7873, 77sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7972, 78fsumabs 12275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) ) )
80 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
8153, 1syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
8280, 81, 77fsumser 12219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
)  =  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
) )
83 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
8456, 1syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  M ) )
85 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8685, 1syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  k  e.  Z )
8774, 86, 6syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
8883, 84, 87fsumser 12219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `  k
)  =  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) )
8982, 88oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( G `  k )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `
 k ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )
90 disjdif 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M ... j )  i^i  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) )  =  (/)
9190a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( M ... j )  i^i  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) )  =  (/) )
92 undif2 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M ... j )  u.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) )  =  ( ( M ... j )  u.  ( M ... n ) )
93 fzss2 10847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( M ... j )  C_  ( M ... n ) )
9493ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... j )  C_  ( M ... n ) )
95 ssequn1 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M ... j ) 
C_  ( M ... n )  <->  ( ( M ... j )  u.  ( M ... n
) )  =  ( M ... n ) )
9694, 95sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( M ... j )  u.  ( M ... n
) )  =  ( M ... n ) )
9792, 96syl5req 2341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... n )  =  ( ( M ... j
)  u.  ( ( M ... n ) 
\  ( M ... j ) ) ) )
9891, 97, 69, 77fsumsplit 12228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `
 k )  + 
sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( G `  k ) ) )
9998eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... j
) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
) )
10069, 77fsumcl 12222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
)  e.  CC )
101 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... j )  e.  Fin )
102101, 87fsumcl 12222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `  k
)  e.  CC )
10372, 78fsumcl 12222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( G `  k )  e.  CC )
104100, 102, 103subaddd 9191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `
 k )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) ( G `  k
)  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... j
) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
) ) )
10599, 104mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( G `  k )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( G `  k ) )
10689, 105eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )
107106fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) ) )
10876adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  k  e.  Z )
109108, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
110 abscl 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  RR )
111110recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  CC )
11277, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  CC )
113109, 81, 112fsumser 12219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k )
)  =  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n ) )
11486adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  k  e.  Z )
115114, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
11687, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  CC )
117115, 84, 116fsumser 12219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k )
)  =  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )
118113, 117oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( abs `  ( G `  k )
)  -  sum_ k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
11991, 97, 69, 112fsumsplit 12228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k )
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k
) )  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( abs `  ( G `  k
) ) ) )
120119eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( G `  k )
)  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k
) ) )
12169, 112fsumcl 12222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k )
)  e.  CC )
122101, 116fsumcl 12222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k )
)  e.  CC )
12378, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) )  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  e.  CC )
12472, 123fsumcl 12222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) )  e.  CC )
125121, 122, 124subaddd 9191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k
) )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) )  <-> 
( sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k )
)  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k
) ) ) )
126120, 125mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( abs `  ( G `  k )
)  -  sum_ k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( abs `  ( G `  k
) ) )
127118, 126eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) ) )
12879, 107, 1273brtr4d 4069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
12961, 67, 59, 68, 128letrd 8989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  0  <_  (
(  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
13059, 129absidd 11921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  =  ( (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
131130breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  <->  ( (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x ) )
132 rpre 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
133132ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  x  e.  RR )
134 lelttr 8928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  /\  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
13567, 59, 133, 134syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  /\  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
136128, 135mpand 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 j ) ) )  <  x ) )
137131, 136sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
138137anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
139138ralimdva 2634 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
140139reximdva 2668 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
141140ralimdva 2634 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
14249, 141mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 j ) ) )  <  x )
143 seqex 11064 . . 3  |-  seq  M
(  +  ,  G
)  e.  _V
144143a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
_V )
1451, 9, 142, 144caucvg 12167 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798    seq cseq 11062   abscabs 11735    ~~> cli 11974   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  abscvgcvg  12293  geomulcvg  12348  cvgrat  12355  radcnvlem1  19805  radcnvlem2  19806  dvradcnv  19813  abelthlem5  19827  abelthlem7  19830  logtayllem  20022
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175
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