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Theorem cvgcmpce 12517
Description: A comparison test for convergence of a complex infinite series. (Contributed by NM, 25-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmpce.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgcmpce.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgcmpce.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
cvgcmpce.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
cvgcmpce.5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
cvgcmpce.6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
cvgcmpce.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  <_  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvgcmpce  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    C, k    k, F    k, G    k, N    k, Z    k, M    ph, k

Proof of Theorem cvgcmpce
Dummy variables  m  j  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmpce.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 cvgcmpce.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
32, 1syl6eleq 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluzel2 10418 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
6 cvgcmpce.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
71, 5, 6serf 11271 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> CC )
87ffvelrnda 5802 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  CC )
9 fveq2 5661 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
109oveq2d 6029 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( C  x.  ( F `  m ) )  =  ( C  x.  ( F `  k )
) )
11 eqid 2380 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) )
12 ovex 6038 . . . . . . . 8  |-  ( C  x.  ( F `  k ) )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5738 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) `  k
)  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
1413adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) `  k
)  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
15 cvgcmpce.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1615adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
17 cvgcmpce.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1816, 17remulcld 9042 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( C  x.  ( F `  k ) )  e.  RR )
1914, 18eqeltrd 2454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) `  k
)  e.  RR )
20 fveq2 5661 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( G `  m )  =  ( G `  k ) )
2120fveq2d 5665 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( abs `  ( G `  m ) )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
22 eqid 2380 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) )
23 fvex 5675 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( G `  k
) )  e.  _V
2421, 22, 23fvmpt 5738 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
2524adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
266abscld 12158 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  RR )
2725, 26eqeltrd 2454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  e.  RR )
2815recnd 9040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
29 cvgcmpce.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
30 climdm 12268 . . . . . . . 8  |-  (  seq 
M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  M (  +  ,  F
)  ~~>  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
3129, 30sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
3217recnd 9040 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
331, 5, 28, 31, 32, 14isermulc2 12371 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) ) )  ~~>  ( C  x.  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) ) )
34 climrel 12206 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
3534releldmi 5039 . . . . . 6  |-  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) )  ~~>  ( C  x.  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )  ->  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
3633, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
371uztrn2 10428 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  Z )
382, 37sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  Z )
396absge0d 12166 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  k )
) )
4039, 25breqtrrd 4172 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
) )
4138, 40syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
) )
42 cvgcmpce.7 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  <_  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
4338, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) `  k )  =  ( abs `  ( G `  k )
) )
4438, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `
 m ) ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( F `  k ) ) )
4542, 43, 443brtr4d 4176 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) `  k )  <_  ( ( m  e.  Z  |->  ( C  x.  ( F `  m ) ) ) `
 k ) )
461, 2, 19, 27, 36, 41, 45cvgcmp 12515 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
471climcau 12384 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x )
485, 46, 47syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x )
491, 5, 27serfre 11272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) : Z --> RR )
5049ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) : Z --> RR )
511uztrn2 10428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  Z )
5251adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  n  e.  Z
)
5350, 52ffvelrnd 5803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  e.  RR )
54 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  Z
)
5550, 54ffvelrnd 5803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  j
)  e.  RR )
5653, 55resubcld 9390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  e.  RR )
57 0re 9017 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  0  e.  RR )
597ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> CC )
6059, 52ffvelrnd 5803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  e.  CC )
6159, 54ffvelrnd 5803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  G
) `  j )  e.  CC )
6260, 61subcld 9336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) )  e.  CC )
6362abscld 12158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  e.  RR )
6462absge0d 12166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) ) )
65 fzfid 11232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... n )  e.  Fin )
66 difss 3410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M ... n ) 
\  ( M ... j ) )  C_  ( M ... n )
67 ssfi 7258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M ... n
)  e.  Fin  /\  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) 
C_  ( M ... n ) )  -> 
( ( M ... n )  \  ( M ... j ) )  e.  Fin )
6865, 66, 67sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) )  e.  Fin )
69 eldifi 3405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) )  ->  k  e.  ( M ... n
) )
70 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ph )
71 elfzuz 10980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7271, 1syl6eleqr 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  Z )
7370, 72, 6syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7469, 73sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7568, 74fsumabs 12500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) ) )
76 eqidd 2381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
7752, 1syl6eleq 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
7876, 77, 73fsumser 12444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
)  =  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
) )
79 eqidd 2381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
8054, 1syl6eleq 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  M ) )
81 elfzuz 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8281, 1syl6eleqr 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  k  e.  Z )
8370, 82, 6syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
8479, 80, 83fsumser 12444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `  k
)  =  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) )
8578, 84oveq12d 6031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( G `  k )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `
 k ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )
86 disjdif 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M ... j )  i^i  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) )  =  (/)
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( M ... j )  i^i  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) )  =  (/) )
88 undif2 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M ... j )  u.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) )  =  ( ( M ... j )  u.  ( M ... n ) )
89 fzss2 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( M ... j )  C_  ( M ... n ) )
9089ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... j )  C_  ( M ... n ) )
91 ssequn1 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M ... j ) 
C_  ( M ... n )  <->  ( ( M ... j )  u.  ( M ... n
) )  =  ( M ... n ) )
9290, 91sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( M ... j )  u.  ( M ... n
) )  =  ( M ... n ) )
9388, 92syl5req 2425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... n )  =  ( ( M ... j
)  u.  ( ( M ... n ) 
\  ( M ... j ) ) ) )
9487, 93, 65, 73fsumsplit 12453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `
 k )  + 
sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( G `  k ) ) )
9594eqcomd 2385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... j
) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
) )
9665, 73fsumcl 12447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
)  e.  CC )
97 fzfid 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( M ... j )  e.  Fin )
9897, 83fsumcl 12447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `  k
)  e.  CC )
9968, 74fsumcl 12447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( G `  k )  e.  CC )
10096, 98, 99subaddd 9354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `
 k )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) ( G `  k
)  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... j
) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( G `  k
) ) )
10195, 100mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( G `  k )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( G `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( G `  k ) )
10285, 101eqtr3d 2414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) )
103102fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( G `
 k ) ) )
10472adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  k  e.  Z )
105104, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
106 abscl 12003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  RR )
107106recnd 9040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  CC )
10873, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  CC )
109105, 77, 108fsumser 12444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k )
)  =  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n ) )
11082adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  k  e.  Z )
111110, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( G `  k
) ) )
11283, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( M ... j
) )  ->  ( abs `  ( G `  k ) )  e.  CC )
113111, 80, 112fsumser 12444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k )
)  =  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )
114109, 113oveq12d 6031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( abs `  ( G `  k )
)  -  sum_ k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
11587, 93, 65, 108fsumsplit 12453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k )
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k
) )  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( abs `  ( G `  k
) ) ) )
116115eqcomd 2385 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( G `  k )
)  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k
) ) )
11765, 108fsumcl 12447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k )
)  e.  CC )
11897, 112fsumcl 12447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k )
)  e.  CC )
11974, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) )  ->  ( abs `  ( G `  k
) )  e.  CC )
12068, 119fsumcl 12447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) )  e.  CC )
121117, 118, 120subaddd 9354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k
) )  -  sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) )  <-> 
( sum_ k  e.  ( M ... j ) ( abs `  ( G `  k )
)  +  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( abs `  ( G `  k
) ) ) )
122116, 121mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... n
) ( abs `  ( G `  k )
)  -  sum_ k  e.  ( M ... j
) ( abs `  ( G `  k )
) )  =  sum_ k  e.  ( ( M ... n )  \ 
( M ... j
) ) ( abs `  ( G `  k
) ) )
123114, 122eqtr3d 2414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( M ... n
)  \  ( M ... j ) ) ( abs `  ( G `
 k ) ) )
12475, 103, 1233brtr4d 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
12558, 63, 56, 64, 124letrd 9152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  0  <_  (
(  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
12656, 125absidd 12145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m
) ) ) ) `
 n )  -  (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  =  ( (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )
127126breq1d 4156 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  <->  ( (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x ) )
128 rpre 10543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
129128ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  x  e.  RR )
130 lelttr 9091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  /\  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
13163, 56, 129, 130syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  <_ 
( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  /\  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
132124, 131mpand 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) )  < 
x  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 j ) ) )  <  x ) )
133127, 132sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
134133anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
135134ralimdva 2720 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
136135reximdva 2754 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `
 m ) ) ) ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
137136ralimdva 2720 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  ( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  n )  -  (  seq  M (  +  , 
( m  e.  Z  |->  ( abs `  ( G `  m )
) ) ) `  j ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  G ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `  j
) ) )  < 
x ) )
13848, 137mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  G ) `
 j ) ) )  <  x )
139 seqex 11245 . . 3  |-  seq  M
(  +  ,  G
)  e.  _V
140139a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
_V )
1411, 8, 138, 140caucvg 12392 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   _Vcvv 2892    \ cdif 3253    u. cun 3254    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   dom cdm 4811   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Fincfn 7038   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916    + caddc 8919    x. cmul 8921    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   RR+crp 10537   ...cfz 10968    seq cseq 11243   abscabs 11959    ~~> cli 12198   sum_csu 12399
This theorem is referenced by:  abscvgcvg  12518  geomulcvg  12573  cvgrat  12580  radcnvlem1  20189  radcnvlem2  20190  dvradcnv  20197  abelthlem5  20211  abelthlem7  20214  logtayllem  20410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-ico 10847  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-limsup 12185  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400
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