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Theorem cvgcmpce 12276
 Description: A comparison test for convergence of a complex infinite series. (Contributed by NM, 25-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmpce.1
cvgcmpce.2
cvgcmpce.3
cvgcmpce.4
cvgcmpce.5
cvgcmpce.6
cvgcmpce.7
Assertion
Ref Expression
cvgcmpce
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cvgcmpce
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmpce.1 . 2
2 cvgcmpce.2 . . . . . 6
32, 1syl6eleq 2373 . . . . 5
4 eluzel2 10235 . . . . 5
53, 4syl 15 . . . 4
6 cvgcmpce.4 . . . 4
71, 5, 6serf 11074 . . 3
8 ffvelrn 5663 . . 3
97, 8sylan 457 . 2
10 fveq2 5525 . . . . . . . . 9
1110oveq2d 5874 . . . . . . . 8
12 eqid 2283 . . . . . . . 8
13 ovex 5883 . . . . . . . 8
1411, 12, 13fvmpt 5602 . . . . . . 7
1514adantl 452 . . . . . 6
16 cvgcmpce.6 . . . . . . . 8
1716adantr 451 . . . . . . 7
18 cvgcmpce.3 . . . . . . 7
1917, 18remulcld 8863 . . . . . 6
2015, 19eqeltrd 2357 . . . . 5
21 fveq2 5525 . . . . . . . . 9
2221fveq2d 5529 . . . . . . . 8
23 eqid 2283 . . . . . . . 8
24 fvex 5539 . . . . . . . 8
2522, 23, 24fvmpt 5602 . . . . . . 7
2625adantl 452 . . . . . 6
276abscld 11918 . . . . . 6
2826, 27eqeltrd 2357 . . . . 5
2916recnd 8861 . . . . . . 7
30 cvgcmpce.5 . . . . . . . 8
31 climdm 12028 . . . . . . . 8
3230, 31sylib 188 . . . . . . 7
3318recnd 8861 . . . . . . 7
341, 5, 29, 32, 33, 15isermulc2 12131 . . . . . 6
35 climrel 11966 . . . . . . 7
3635releldmi 4915 . . . . . 6
3734, 36syl 15 . . . . 5
381uztrn2 10245 . . . . . . 7
392, 38sylan 457 . . . . . 6
406absge0d 11926 . . . . . . 7
4140, 26breqtrrd 4049 . . . . . 6
4239, 41syldan 456 . . . . 5
43 cvgcmpce.7 . . . . . 6
4439, 25syl 15 . . . . . 6
4539, 14syl 15 . . . . . 6
4643, 44, 453brtr4d 4053 . . . . 5
471, 2, 20, 28, 37, 42, 46cvgcmp 12274 . . . 4
481climcau 12144 . . . 4
495, 47, 48syl2anc 642 . . 3
501, 5, 28serfre 11075 . . . . . . . . . . . . 13
5150ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
521uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . 13
5352adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
54 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12
5551, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
56 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12
57 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12
5851, 56, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
5955, 58resubcld 9211 . . . . . . . . . 10
60 0re 8838 . . . . . . . . . . . 12
6160a1i 10 . . . . . . . . . . 11
627ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
6362, 53, 8syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
64 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14
6562, 56, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
6663, 65subcld 9157 . . . . . . . . . . . 12
6766abscld 11918 . . . . . . . . . . 11
6866absge0d 11926 . . . . . . . . . . 11
69 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . 14
70 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . 14
71 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . 14
7269, 70, 71sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13
73 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . 14
74 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7675, 1syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . . . 15
7774, 76, 6syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14
7873, 77sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13
7972, 78fsumabs 12259 . . . . . . . . . . . 12
80 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8153, 1syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8280, 81, 77fsumser 12203 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8456, 1syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8685, 1syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8774, 86, 6syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8883, 84, 87fsumser 12203 . . . . . . . . . . . . . . 15
8982, 88oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14
90 disjdif 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9190a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
92 undif2 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
93 fzss2 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9493ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
95 ssequn1 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9694, 95sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9792, 96syl5req 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9891, 97, 69, 77fsumsplit 12212 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9998eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . 15
10069, 77fsumcl 12206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
101 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102101, 87fsumcl 12206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10372, 78fsumcl 12206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104100, 102, 103subaddd 9175 . . . . . . . . . . . . . . 15
10599, 104mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14
10689, 105eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . 13
107106fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12
10876adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109108, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
110 abscl 11763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111110recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11277, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
113109, 81, 112fsumser 12203 . . . . . . . . . . . . . 14
11486adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
11687, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
117115, 84, 116fsumser 12203 . . . . . . . . . . . . . 14
118113, 117oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13
11991, 97, 69, 112fsumsplit 12212 . . . . . . . . . . . . . . 15
120119eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . 14
12169, 112fsumcl 12206 . . . . . . . . . . . . . . 15
122101, 116fsumcl 12206 . . . . . . . . . . . . . . 15
12378, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12472, 123fsumcl 12206 . . . . . . . . . . . . . . 15
125121, 122, 124subaddd 9175 . . . . . . . . . . . . . 14
126120, 125mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13
127118, 126eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12
12879, 107, 1273brtr4d 4053 . . . . . . . . . . 11
12961, 67, 59, 68, 128letrd 8973 . . . . . . . . . 10
13059, 129absidd 11905 . . . . . . . . 9
131130breq1d 4033 . . . . . . . 8
132 rpre 10360 . . . . . . . . . . 11
133132ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10
134 lelttr 8912 . . . . . . . . . 10
13567, 59, 133, 134syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
136128, 135mpand 656 . . . . . . . 8
137131, 136sylbid 206 . . . . . . 7
138137anassrs 629 . . . . . 6
139138ralimdva 2621 . . . . 5
140139reximdva 2655 . . . 4
141140ralimdva 2621 . . 3
14249, 141mpd 14 . 2
143 seqex 11048 . . 3
144143a1i 10 . 2
1451, 9, 142, 144caucvg 12151 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   cdif 3149   cun 3150   cin 3151   wss 3152  c0 3455   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cdm 4689  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cfn 6863  cc 8735  cr 8736  cc0 8737   caddc 8740   cmul 8742   clt 8867   cle 8868   cmin 9037  cz 10024  cuz 10230  crp 10354  cfz 10782   cseq 11046  cabs 11719   cli 11958  csu 12158 This theorem is referenced by:  abscvgcvg  12277  geomulcvg  12332  cvgrat  12339  radcnvlem1  19789  radcnvlem2  19790  dvradcnv  19797  abelthlem5  19811  abelthlem7  19814  logtayllem  20006 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159
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