Theorem cvgcmpub 7185

Description: An upper bound for the limit of a real infinite series. This theorem can also be used to compare two infinite series.

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp.1	|- A e. V
cvgcmp.2	|- F:NN-->RR
cvgcmp.3	|- G:NN-->RR
cvgcmp.4	|- (x e. NN -> (0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)))
cvgcmp.5	|- ( + seq1 F) ~~> A
cvgcmpub.6	|- B e. V
cvgcmpub.7	|- ( + seq1 G) ~~> B

Assertion

Ref	Expression
cvgcmpub	|- B <_ A

Distinct variable groups:   x,A   x,F   x,G

Proof of Theorem cvgcmpub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgcmpub.6	. . 3 |- B e. V
2		cvgcmp.3	. . . . . . . 8 |- G:NN-->RR
3	2	ser1ref 6333	. . . . . . 7 |- ( + seq1 G):NN-->RR
4		frn 3639	. . . . . . 7 |- (( + seq1 G):NN-->RR -> ran ( + seq1 G) (_ RR)
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ran ( + seq1 G) (_ RR
6		1nn 5936	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
7		ne0i 2289	. . . . . . . 8 |- (1 e. NN -> NN =/= (/))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- NN =/= (/)
9	3	fdmi 3638	. . . . . . . . . 10 |- dom ( + seq1 G) = NN
10	9	eqeq1i 1485	. . . . . . . . 9 |- (dom ( + seq1 G) = (/) <-> NN = (/))
11		dm0rn0 3336	. . . . . . . . 9 |- (dom ( + seq1 G) = (/) <-> ran ( + seq1 G) = (/))
12	10, 11	bitr3 175	. . . . . . . 8 |- (NN = (/) <-> ran ( + seq1 G) = (/))
13	12	necon3bii 1601	. . . . . . 7 |- (NN =/= (/) <-> ran ( + seq1 G) =/= (/))
14	8, 13	mpbi 189	. . . . . 6 |- ran ( + seq1 G) =/= (/)
15		cvgcmp.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
16		cvgcmp.2	. . . . . . . . 9 |- F:NN-->RR
17	16	ser1ref 6333	. . . . . . . 8 |- ( + seq1 F):NN-->RR
18		cvgcmp.5	. . . . . . . 8 |- ( + seq1 F) ~~> A
19	15, 17, 18	climfnrcl 7111	. . . . . . 7 |- A e. RR
20		ffn 3633	. . . . . . . . . . 11 |- (( + seq1 G):NN-->RR -> ( + seq1 G) Fn NN)
21	3, 20	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- ( + seq1 G) Fn NN
22		fvelrnb 3766	. . . . . . . . . 10 |- (( + seq1 G) Fn NN -> (z e. ran ( + seq1 G) <-> E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = z))
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (z e. ran ( + seq1 G) <-> E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = z)
24		breq1 2627	. . . . . . . . . . 11 |- ((( + seq1 G)` x) = z -> ((( + seq1 G)` x) <_ A <-> z <_ A))
25	2	ser1recl 6332	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. NN -> (( + seq1 G)` x) e. RR)
26	16	ser1recl 6332	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. NN -> (( + seq1 F)` x) e. RR)
27	19	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. NN -> A e. RR)
28		cvgcmp.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. NN -> (0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)))
29	28	pm3.27d 325	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. NN -> (G` x) <_ (F` x))
30	16, 2, 29	ser1cmp 7174	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. NN -> (( + seq1 G)` x) <_ (( + seq1 F)` x))
31		0re 5452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
32		letrt 5537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((0 e. RR /\ (G` x) e. RR /\ (F` x) e. RR) -> ((0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)) -> 0 <_ (F` x)))
33	31, 32	mp3an1 905	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((G` x) e. RR /\ (F` x) e. RR) -> ((0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)) -> 0 <_ (F` x)))
34	2	ffvelrni 3821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. NN -> (G` x) e. RR)
35	16	ffvelrni 3821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. NN -> (F` x) e. RR)
36	34, 35	jca 288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. NN -> ((G` x) e. RR /\ (F` x) e. RR))
37	33, 36, 28	sylc 68	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
38	16, 37	ser1mono 6338	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. NN -> (( + seq1 F)` x) <_ (( + seq1 F)` (x + 1)))
39	15, 17, 38, 18	climub 7154	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. NN -> (( + seq1 F)` x) <_ A)
40	25, 26, 27, 30, 39	letrd 5538	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. NN -> (( + seq1 G)` x) <_ A)
41	24, 40	syl5cbi 209	. . . . . . . . . 10 |- (x e. NN -> ((( + seq1 G)` x) = z -> z <_ A))
42	41	r19.23aiv 1746	. . . . . . . . 9 |- (E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = z -> z <_ A)
43	23, 42	sylbi 199	. . . . . . . 8 |- (z e. ran ( + seq1 G) -> z <_ A)
44	43	rgen 1701	. . . . . . 7 |- A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ A
45		breq2 2628	. . . . . . . . 9 |- (y = A -> (z <_ y <-> z <_ A))
46	45	ralbidv 1666	. . . . . . . 8 |- (y = A -> (A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ y <-> A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ A))
47	46	rcla4ev 1880	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ A) -> E.y e. RR A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ y)
48	19, 44, 47	mp2an 699	. . . . . 6 |- E.y e. RR A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ y
49	5, 14, 48	3pm3.2i 820	. . . . 5 |- (ran ( + seq1 G) (_ RR /\ ran ( + seq1 G) =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. ran ( + seq1 G)z <_ y)
50	49	suprcli 6063	. . . 4 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. RR
51	50	elisseti 1821	. . 3 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. V
52		cvgcmpub.7	. . . 4 |- ( + seq1 G) ~~> B
53	15, 16, 2, 28, 18	cvgcmp 7184	. . . 4 |- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
54	52, 53	pm3.2i 285	. . 3 |- (( + seq1 G) ~~> B /\ ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))
55	1, 51, 54	climunii 7098	. 2 |- B = sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
56		fvelrnb 3766	. . . . . 6 |- (( + seq1 G) Fn NN -> (w e. ran ( + seq1 G) <-> E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = w))
57	21, 56	ax-mp 7	. . . . 5 |- (w e. ran ( + seq1 G) <-> E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = w)
58		breq1 2627	. . . . . . 7 |- ((( + seq1 G)` x) = w -> ((( + seq1 G)` x) <_ A <-> w <_ A))
59	58, 40	syl5cbi 209	. . . . . 6 |- (x e. NN -> ((( + seq1 G)` x) = w -> w <_ A))
60	59	r19.23aiv 1746	. . . . 5 |- (E.x e. NN (( + seq1 G)` x) = w -> w <_ A)
61	57, 60	sylbi 199	. . . 4 |- (w e. ran ( + seq1 G) -> w <_ A)
62	61	rgen 1701	. . 3 |- A.w e. ran ( + seq1 G)w <_ A
63	49	suprleubi 6067	. . 3 |- ((A e. RR /\ A.w e. ran ( + seq1 G)w <_ A) -> sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <_ A)
64	19, 62, 63	mp2an 699	. 2 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <_ A
65	55, 64	eqbrtr 2639	1 |- B <_ A

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   (_ wss 2050  (/)c0 2283   class class class wbr 2624  dom cdm 3176  ran crn 3177   Fn wfn 3183  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  supcsup 4582  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   <_ cle 5307  NNcn 5308   < clt 5498   seq1 cseq1 6308   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  ele3lem 7326  ege2le3lem2 7329

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-uz 6419  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain