MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvgcmpub Structured version   Unicode version

Theorem cvgcmpub 12601
Description: An upper bound for the limit of a real infinite series. This theorem can also be used to compare two infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmp.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgcmp.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgcmp.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
cvgcmp.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
cvgcmpub.5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A )
cvgcmpub.6  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  ~~>  B )
cvgcmpub.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
Assertion
Ref Expression
cvgcmpub  |-  ( ph  ->  B  <_  A )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    ph, k    k, M   
k, N    k, Z
Allowed substitution hints:    A( k)    B( k)

Proof of Theorem cvgcmpub
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmp.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 cvgcmp.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
32, 1syl6eleq 2528 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluzel2 10498 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
6 cvgcmpub.6 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  ~~>  B )
7 cvgcmpub.5 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A )
8 cvgcmp.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
91, 5, 8serfre 11357 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> RR )
109ffvelrnda 5873 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR )
11 cvgcmp.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
121, 5, 11serfre 11357 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
1312ffvelrnda 5873 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
14 simpr 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
1514, 1syl6eleq 2528 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
16 simpl 445 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ph )
17 elfzuz 11060 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1817, 1syl6eleqr 2529 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  Z )
1916, 18, 8syl2an 465 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
2016, 18, 11syl2an 465 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
21 cvgcmpub.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
2216, 18, 21syl2an 465 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
2315, 19, 20, 22serle 11383 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  <_  (  seq  M (  +  ,  F
) `  n )
)
241, 5, 6, 7, 10, 13, 23climle 12438 1  |-  ( ph  ->  B  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994    + caddc 8998    <_ cle 9126   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048    seq cseq 11328    ~~> cli 12283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288
  Copyright terms: Public domain W3C validator