MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvgcmpub Unicode version

Theorem cvgcmpub 12555
Description: An upper bound for the limit of a real infinite series. This theorem can also be used to compare two infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmp.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgcmp.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgcmp.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
cvgcmp.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
cvgcmpub.5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A )
cvgcmpub.6  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  ~~>  B )
cvgcmpub.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
Assertion
Ref Expression
cvgcmpub  |-  ( ph  ->  B  <_  A )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    ph, k    k, M   
k, N    k, Z
Allowed substitution hints:    A( k)    B( k)

Proof of Theorem cvgcmpub
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmp.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 cvgcmp.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
32, 1syl6eleq 2498 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluzel2 10453 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
6 cvgcmpub.6 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  ~~>  B )
7 cvgcmpub.5 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A )
8 cvgcmp.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
91, 5, 8serfre 11311 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G ) : Z --> RR )
109ffvelrnda 5833 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  e.  RR )
11 cvgcmp.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
121, 5, 11serfre 11311 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
1312ffvelrnda 5833 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
14 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
1514, 1syl6eleq 2498 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
16 simpl 444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ph )
17 elfzuz 11015 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1817, 1syl6eleqr 2499 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  Z )
1916, 18, 8syl2an 464 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
2016, 18, 11syl2an 464 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
21 cvgcmpub.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
2216, 18, 21syl2an 464 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
2315, 19, 20, 22serle 11337 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  G ) `  n
)  <_  (  seq  M (  +  ,  F
) `  n )
)
241, 5, 6, 7, 10, 13, 23climle 12392 1  |-  ( ph  ->  B  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949    + caddc 8953    <_ cle 9081   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   ...cfz 11003    seq cseq 11282    ~~> cli 12237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-rlim 12242
  Copyright terms: Public domain W3C validator