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Theorem cvgrat 12339
Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio  A of the absolute values of of successive terms in an infinite sequence  F is less than 1 for all terms beyond some index  B, then the infinite sum of the terms of  F converges to a complex number. Equivalent to first part of Exercise 4 of [Gleason] p. 182. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgrat.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgrat.2  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
cvgrat.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cvgrat.4  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
cvgrat.5  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgrat.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
cvgrat.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvgrat  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    k, N    ph, k    k, W   
k, Z

Proof of Theorem cvgrat
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgrat.2 . . 3  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
2 cvgrat.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
3 cvgrat.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
42, 3syl6eleq 2373 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 eluzelz 10238 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
64, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
7 uzid 10242 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
86, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
98, 1syl6eleqr 2374 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  W )
10 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
n  -  N )  =  ( k  -  N ) )
1110oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
12 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )
13 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( k  e.  W  ->  (
( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
k  -  N ) ) )
1514adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
k  -  N ) ) )
16 0re 8838 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
17 cvgrat.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
18 ifcl 3601 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR )
1916, 17, 18sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR )
2019adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  e.  RR )
21 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  W )
2221, 1syl6eleq 2373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
23 uznn0sub 10259 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( k  -  N )  e.  NN0 )
2422, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
k  -  N )  e.  NN0 )
2520, 24reexpcld 11262 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  e.  RR )
2615, 25eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) ) `  k )  e.  RR )
27 uzss 10248 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
284, 27syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
2928, 1, 33sstr4g 3219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
3029sselda 3180 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  Z )
31 cvgrat.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3230, 31syldan 456 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3323adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  -  N )  e.  NN0 )
34 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  -  N )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
35 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )
3634, 35, 13fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  -  N )  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  ( k  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
3733, 36syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  ( k  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) )
386zcnd 10118 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
39 eluzelz 10238 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  k  e.  ZZ )
4039zcnd 10118 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  k  e.  CC )
41 nn0ex 9971 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  e.  _V
4241mptex 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  e.  _V
4342shftval 11569 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  shift  N ) `  k )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) `  (
k  -  N ) ) )
4438, 40, 43syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) )  shift  N ) `
 k )  =  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) `
 ( k  -  N ) ) )
45 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4645, 1syl6eleqr 2374 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  W )
4746, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
n  e.  W  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
n  -  N ) ) ) `  k
)  =  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )
4837, 44, 473eqtr4rd 2326 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
n  e.  W  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
n  -  N ) ) ) `  k
)  =  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) )  shift  N ) `
 k ) )
496, 48seqfeq 11071 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) )  =  seq  N
(  +  ,  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) )  shift  N ) ) )
5042seqshft 11580 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  seq  N (  +  ,  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  shift  N )
)  =  (  seq  ( N  -  N
) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N ) )
516, 6, 50syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) )  shift  N )
)  =  (  seq  ( N  -  N
) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N ) )
5238subidd 9145 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  N
)  =  0 )
5352seqeq1d 11052 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  ( N  -  N ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) )  =  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) ) )
5453oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  ( N  -  N ) (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  =  (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N ) )
5549, 51, 543eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) )  =  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N ) )
5619recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  CC )
57 max2 10516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
5817, 16, 57sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
5919, 58absidd 11905 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )  =  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) )
60 0lt1 9296 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
61 cvgrat.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
62 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  -> 
( 0  <  1  <->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  <  1 ) )
63 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  -> 
( A  <  1  <->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  <  1 ) )
6462, 63ifboth 3596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <  1  /\  A  <  1 )  ->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  <  1 )
6560, 61, 64sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  <  1
)
6659, 65eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )  <  1 )
67 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ k ) )
68 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ k )  e.  _V
6967, 35, 68fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ k ) )
7069adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ k ) )
7156, 66, 70geolim 12326 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  / 
( 1  -  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) ) )
72 seqex 11048 . . . . . . 7  |-  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  e.  _V
73 climshft 12050 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  e. 
_V )  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )  <->  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ) ) ) )
746, 72, 73sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )  <->  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ) ) ) )
7571, 74mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) ) )
76 ovex 5883 . . . . . 6  |-  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N )  e.  _V
77 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( 1  -  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ) )  e.  _V
7876, 77breldm 4883 . . . . 5  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ n ) ) )  shift  N )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ n
) ) )  shift  N )  e.  dom  ~~>  )
7975, 78syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ n ) ) )  shift  N )  e.  dom  ~~>  )
8055, 79eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
8131ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC )
82 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  ( F `  k )  =  ( F `  N ) )
8382eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  N )  e.  CC ) )
8483rspcv 2880 . . . . 5  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  ->  ( F `  N )  e.  CC ) )
852, 81, 84sylc 56 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  CC )
8685abscld 11918 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  e.  RR )
87 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( F `  n )  =  ( F `  N ) )
8887fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  N )
) )
89 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
n  -  N )  =  ( N  -  N ) )
9089oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( N  -  N ) ) )
9190oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( N  -  N ) ) ) )
9288, 91breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( abs `  ( F `  n )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  N
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( N  -  N ) ) ) ) )
9392imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  n
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) ) ) ) ) )
94 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
9594fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
9611oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )
9795, 96breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( abs `  ( F `  n )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) ) )
9897imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  n
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) ) ) ) )
99 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
10099fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
101 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  -  N )  =  ( ( k  +  1 )  -  N ) )
102101oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )
103102oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )
104100, 103breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( abs `  ( F `  n )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( n  -  N
) ) )  <->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
105104imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  n
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( n  -  N ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( ( k  +  1 )  -  N
) ) ) ) ) )
10686leidd 9339 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( abs `  ( F `  N
) ) )
10752oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) )  =  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ 0 ) )
10856exp0d 11239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
0 )  =  1 )
109107, 108eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) )  =  1 )
110109oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( N  -  N ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  1 ) )
11186recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  e.  CC )
112111mulid1d 8852 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( F `  N )
) )
113110, 112eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( N  -  N ) ) )  =  ( abs `  ( F `  N
) ) )
114106, 113breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) ) ) )
115114a1i 10 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( N  -  N
) ) ) ) )
11632abscld 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
11786adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  N ) )  e.  RR )
118117, 25remulcld 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  e.  RR )
11958adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  0  <_  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) )
120 lemul2a 9611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  e.  RR  /\  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR  /\  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) )  /\  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) ) )
121120ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  e.  RR  /\  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  e.  RR  /\  0  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) ) ) )
122116, 118, 20, 119, 121syl112anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) ) ) )
12356adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  e.  CC )
124111adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  N ) )  e.  CC )
12525recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  e.  CC )
126123, 124, 125mul12d 9021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) ) )
127123, 24expp1d 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  -  N )  +  1 ) )  =  ( ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) )  x.  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ) )
12840, 1eleq2s 2375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  W  ->  k  e.  CC )
129 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
130 addsub 9062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( k  +  1 )  -  N )  =  ( ( k  -  N )  +  1 ) )
131129, 130mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  N
)  =  ( ( k  -  N )  +  1 ) )
132128, 38, 131syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( k  +  1 )  -  N )  =  ( ( k  -  N )  +  1 ) )
133132oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) )  =  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  -  N )  +  1 ) ) )
134123, 125mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  =  ( ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
k  -  N ) )  x.  if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ) )
135127, 133, 1343eqtr4rd 2326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  =  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )
136135oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )
137126, 136eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )
138137breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( k  -  N ) ) ) )  <->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
139122, 138sylibd 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
1401peano2uzs 10273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  W  ->  (
k  +  1 )  e.  W )
14129sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  W )  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
142140, 141sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
143 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
144143eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  n )  e.  CC ) )
145144cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  <->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
14681, 145sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
147146adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC )
14899eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  n
)  e.  CC  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) )
149148rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. n  e.  Z  ( F `  n )  e.  CC  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) )
150142, 147, 149sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
151150abscld 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
15217adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  A  e.  RR )
153152, 116remulcld 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  e.  RR )
15420, 116remulcld 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  e.  RR )
155 cvgrat.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )
15632absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  k )
) )
157 max1 10514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
15817, 16, 157sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <_  if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) )
159158adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  A  <_  if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) )
160152, 20, 116, 156, 159lemul1ad 9696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
161151, 153, 154, 155, 160letrd 8973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
162 peano2uz 10272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
16322, 162syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
164 uznn0sub 10259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( (
k  +  1 )  -  N )  e. 
NN0 )
165163, 164syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( k  +  1 )  -  N )  e.  NN0 )
16620, 165reexpcld 11262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) )  e.  RR )
167117, 166remulcld 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )  e.  RR )
168 letr 8914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /\  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
169151, 154, 167, 168syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /\  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
170161, 169mpand 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
171139, 170syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( ( k  +  1 )  -  N
) ) ) ) )
17246, 171syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) )
173172expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( ( k  +  1 )  -  N
) ) ) ) ) )
174173a2d 23 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ph  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  N
) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( ( k  +  1 )  -  N ) ) ) ) ) )
17593, 98, 105, 98, 115, 174uzind4 10276 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A ) ^
( k  -  N
) ) ) ) )
176175impcom 419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )
17747oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  N ) )  x.  ( ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_  0 , 
0 ,  A ) ^ ( n  -  N ) ) ) `
 k ) )  =  ( ( abs `  ( F `  N
) )  x.  ( if ( A  <_  0 ,  0 ,  A
) ^ ( k  -  N ) ) ) )
178176, 177breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  N )
)  x.  ( ( n  e.  W  |->  ( if ( A  <_ 
0 ,  0 ,  A ) ^ (
n  -  N ) ) ) `  k
) ) )
1791, 9, 26, 32, 80, 86, 178cvgcmpce 12276 . 2  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
1803, 2, 31iserex 12130 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
181179, 180mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    seq cseq 11046   ^cexp 11104    shift cshi 11561   abscabs 11719    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  efcllem  12359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159
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