Theorem cvgratlem3ALT 7249

Description: Lemma for cvgrat 7255. Restate cvgratlem2ALT 7248 (which was for a real function) in terms of the absolute values of the terms of a complex function F, with the help of an auxiliary function G.

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratlem3ALT.1	|- F:NN-->CC
cvgratlem3ALT.2	|- G = {<.y, z>. | (y e. NN /\ z = (abs` (F` y)))}
cvgratlem3ALT.3	|- A e. RR
cvgratlem3ALT.4	|- B e. NN
cvgratlem3ALT.5	|- C e. NN

Assertion

Ref	Expression
cvgratlem3ALT	|- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (abs` (F` (x + 1))) < (A x. (abs` (F` x))))) -> (B < C -> (abs` (F` C)) <_ (((abs` (F` B)) / (A^B)) x. (A^C))))

Distinct variable groups:   x,A   x,y,z,B   x,F,y,z   y,C,z   x,G

Proof of Theorem cvgratlem3ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratlem3ALT.2	. . . . . . 7 |- G = {<.y, z>. | (y e. NN /\ z = (abs` (F` y)))}
2		cvgratlem3ALT.1	. . . . . . . . 9 |- F:NN-->CC
3	2	ffvelrni 3815	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> (F` y) e. CC)
4		absclt 6833	. . . . . . . 8 |- ((F` y) e. CC -> (abs` (F` y)) e. RR)
5	3, 4	syl 10	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (abs` (F` y)) e. RR)
6	1, 5	fopab 3827	. . . . . 6 |- G:NN-->RR
7		cvgratlem3ALT.3	. . . . . 6 |- A e. RR
8		cvgratlem3ALT.4	. . . . . 6 |- B e. NN
9		cvgratlem3ALT.5	. . . . . 6 |- C e. NN
10	6, 7, 8, 9	cvgratlem2ALT 7248	. . . . 5 |- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (G` (x + 1)) < (A x. (G` x)))) -> (B < C -> (G` C) <_ (((G` B) / (A^B)) x. (A^C))))
11	10	imp 350	. . . 4 |- (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (G` (x + 1)) < (A x. (G` x)))) /\ B < C) -> (G` C) <_ (((G` B) / (A^B)) x. (A^C)))
12		fveq2 3724	. . . . . . 7 |- (y = C -> (F` y) = (F` C))
13	12	fveq2d 3728	. . . . . 6 |- (y = C -> (abs` (F` y)) = (abs` (F` C)))
14		fvex 3732	. . . . . 6 |- (abs` (F` C)) e. V
15	13, 1, 14	fvopab4 3780	. . . . 5 |- (C e. NN -> (G` C) = (abs` (F` C)))
16	9, 15	ax-mp 7	. . . 4 |- (G` C) = (abs` (F` C))
17		fveq2 3724	. . . . . . . . 9 |- (y = B -> (F` y) = (F` B))
18	17	fveq2d 3728	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (abs` (F` y)) = (abs` (F` B)))
19		fvex 3732	. . . . . . . 8 |- (abs` (F` B)) e. V
20	18, 1, 19	fvopab4 3780	. . . . . . 7 |- (B e. NN -> (G` B) = (abs` (F` B)))
21	8, 20	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (G` B) = (abs` (F` B))
22	21	opreq1i 3971	. . . . 5 |- ((G` B) / (A^B)) = ((abs` (F` B)) / (A^B))
23	22	opreq1i 3971	. . . 4 |- (((G` B) / (A^B)) x. (A^C)) = (((abs` (F` B)) / (A^B)) x. (A^C))
24	11, 16, 23	3brtr3g 2646	. . 3 |- (((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (G` (x + 1)) < (A x. (G` x)))) /\ B < C) -> (abs` (F` C)) <_ (((abs` (F` B)) / (A^B)) x. (A^C)))
25	24	ex 373	. 2 |- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (G` (x + 1)) < (A x. (G` x)))) -> (B < C -> (abs` (F` C)) <_ (((abs` (F` B)) / (A^B)) x. (A^C))))
26		peano2nn 5935	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (x + 1) e. NN)
27		fveq2 3724	. . . . . . . 8 |- (y = (x + 1) -> (F` y) = (F` (x + 1)))
28	27	fveq2d 3728	. . . . . . 7 |- (y = (x + 1) -> (abs` (F` y)) = (abs` (F` (x + 1))))
29		fvex 3732	. . . . . . 7 |- (abs` (F` (x + 1))) e. V
30	28, 1, 29	fvopab4 3780	. . . . . 6 |- ((x + 1) e. NN -> (G` (x + 1)) = (abs` (F` (x + 1))))
31	26, 30	syl 10	. . . . 5 |- (x e. NN -> (G` (x + 1)) = (abs` (F` (x + 1))))
32		fveq2 3724	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (F` y) = (F` x))
33	32	fveq2d 3728	. . . . . . 7 |- (y = x -> (abs` (F` y)) = (abs` (F` x)))
34		fvex 3732	. . . . . . 7 |- (abs` (F` x)) e. V
35	33, 1, 34	fvopab4 3780	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (G` x) = (abs` (F` x)))
36	35	opreq2d 3976	. . . . 5 |- (x e. NN -> (A x. (G` x)) = (A x. (abs` (F` x))))
37	31, 36	breq12d 2631	. . . 4 |- (x e. NN -> ((G` (x + 1)) < (A x. (G` x)) <-> (abs` (F` (x + 1))) < (A x. (abs` (F` x)))))
38	37	imbi2d 612	. . 3 |- (x e. NN -> ((B <_ x -> (G` (x + 1)) < (A x. (G` x))) <-> (B <_ x -> (abs` (F` (x + 1))) < (A x. (abs` (F` x))))))
39	38	ralbiia 1673	. 2 |- (A.x e. NN (B <_ x -> (G` (x + 1)) < (A x. (G` x))) <-> A.x e. NN (B <_ x -> (abs` (F` (x + 1))) < (A x. (abs` (F` x)))))
40	25, 39	sylan2br 453	1 |- ((0 < A /\ A.x e. NN (B <_ x -> (abs` (F` (x + 1))) < (A x. (abs` (F` x))))) -> (B < C -> (abs` (F` C)) <_ (((abs` (F` B)) / (A^B)) x. (A^C))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   class class class wbr 2619  {copab 2666  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486  ^cexp 6568  abscabs 6750

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754

Copyright terms: Public domain