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Theorem cvmcov2 23806
Description: The covering map property can be restricted to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmcov2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  E. x  e.  ~P  U ( P  e.  x  /\  ( S `  x )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, x, C    k, F, s, u, v, x    P, k, x    k, J, s, u, v, x   
x, S    U, k,
s, u, v, x
Allowed substitution hints:    P( v, u, s)    S( v, u, k, s)

Proof of Theorem cvmcov2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
2 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  P  e.  U )
3 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  U  e.  J )
4 elunii 3832 . . . 4  |-  ( ( P  e.  U  /\  U  e.  J )  ->  P  e.  U. J
)
52, 3, 4syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  P  e.  U. J )
6 cvmcov.1 . . . 4  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
7 eqid 2283 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
86, 7cvmcov 23794 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  P  e.  U. J )  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( S `  y
)  =/=  (/) ) )
91, 5, 8syl2anc 642 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) )
10 inss2 3390 . . . . . . 7  |-  ( y  i^i  U )  C_  U
11 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1211inex1 4155 . . . . . . . 8  |-  ( y  i^i  U )  e. 
_V
1312elpw 3631 . . . . . . 7  |-  ( ( y  i^i  U )  e.  ~P U  <->  ( y  i^i  U )  C_  U
)
1410, 13mpbir 200 . . . . . 6  |-  ( y  i^i  U )  e. 
~P U
1514a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  U )  e.  ~P U )
16 simprrl 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  P  e.  y )
172adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  P  e.  U )
18 elin 3358 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( y  i^i 
U )  <->  ( P  e.  y  /\  P  e.  U ) )
1916, 17, 18sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  P  e.  ( y  i^i  U
) )
20 simprrr 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( S `  y )  =/=  (/) )
211adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
22 cvmtop2 23792 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  J  e.  Top )
2321, 22syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
24 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  y  e.  J )
253adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  U  e.  J )
26 inopn 16645 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J  /\  U  e.  J )  ->  ( y  i^i  U
)  e.  J )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  U )  e.  J
)
28 inss1 3389 . . . . . . . 8  |-  ( y  i^i  U )  C_  y
2928a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  U )  C_  y
)
306cvmsss2 23805 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  (
y  i^i  U )  e.  J  /\  (
y  i^i  U )  C_  y )  ->  (
( S `  y
)  =/=  (/)  ->  ( S `  ( y  i^i  U ) )  =/=  (/) ) )
3121, 27, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( ( S `  y )  =/=  (/)  ->  ( S `  ( y  i^i  U
) )  =/=  (/) ) )
3220, 31mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( S `  ( y  i^i  U
) )  =/=  (/) )
33 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i 
U )  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  ( y  i^i  U
) ) )
34 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i 
U )  ->  ( S `  x )  =  ( S `  ( y  i^i  U
) ) )
3534neeq1d 2459 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i 
U )  ->  (
( S `  x
)  =/=  (/)  <->  ( S `  ( y  i^i  U
) )  =/=  (/) ) )
3633, 35anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  i^i 
U )  ->  (
( P  e.  x  /\  ( S `  x
)  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  ( y  i^i  U
)  /\  ( S `  ( y  i^i  U
) )  =/=  (/) ) ) )
3736rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( y  i^i  U
)  e.  ~P U  /\  ( P  e.  ( y  i^i  U )  /\  ( S `  ( y  i^i  U
) )  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  ~P  U ( P  e.  x  /\  ( S `
 x )  =/=  (/) ) )
3815, 19, 32, 37syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  E. x  e.  ~P  U ( P  e.  x  /\  ( S `  x )  =/=  (/) ) )
3938expr 598 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  y  e.  J
)  ->  ( ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ~P  U ( P  e.  x  /\  ( S `  x )  =/=  (/) ) ) )
4039rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  ( E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( S `  y
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ~P  U ( P  e.  x  /\  ( S `
 x )  =/=  (/) ) ) )
419, 40mpd 14 1  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  E. x  e.  ~P  U ( P  e.  x  /\  ( S `  x )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631    Homeo chmeo 17444   CovMap ccvm 23786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-hmeo 17446  df-cvm 23787
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