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Theorem cvmcov2 24741
Description: The covering map property can be restricted to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmcov2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  E. x  e.  ~P  U ( P  e.  x  /\  ( S `  x )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, x, C    k, F, s, u, v, x    P, k, x    k, J, s, u, v, x   
x, S    U, k,
s, u, v, x
Allowed substitution hints:    P( v, u, s)    S( v, u, k, s)

Proof of Theorem cvmcov2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
2 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  P  e.  U )
3 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  U  e.  J )
4 elunii 3962 . . . 4  |-  ( ( P  e.  U  /\  U  e.  J )  ->  P  e.  U. J
)
52, 3, 4syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  P  e.  U. J )
6 cvmcov.1 . . . 4  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
7 eqid 2387 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
86, 7cvmcov 24729 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  P  e.  U. J )  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( S `  y
)  =/=  (/) ) )
91, 5, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) )
10 inss2 3505 . . . . 5  |-  ( y  i^i  U )  C_  U
11 vex 2902 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1211inex1 4285 . . . . . 6  |-  ( y  i^i  U )  e. 
_V
1312elpw 3748 . . . . 5  |-  ( ( y  i^i  U )  e.  ~P U  <->  ( y  i^i  U )  C_  U
)
1410, 13mpbir 201 . . . 4  |-  ( y  i^i  U )  e. 
~P U
1514a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  U )  e.  ~P U )
16 simprrl 741 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  P  e.  y )
172adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  P  e.  U )
18 elin 3473 . . . 4  |-  ( P  e.  ( y  i^i 
U )  <->  ( P  e.  y  /\  P  e.  U ) )
1916, 17, 18sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  P  e.  ( y  i^i  U
) )
20 simprrr 742 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( S `  y )  =/=  (/) )
211adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
22 cvmtop2 24727 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  J  e.  Top )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
24 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  y  e.  J )
253adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  U  e.  J )
26 inopn 16895 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J  /\  U  e.  J )  ->  ( y  i^i  U
)  e.  J )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  U )  e.  J
)
28 inss1 3504 . . . . . 6  |-  ( y  i^i  U )  C_  y
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  U )  C_  y
)
306cvmsss2 24740 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  (
y  i^i  U )  e.  J  /\  (
y  i^i  U )  C_  y )  ->  (
( S `  y
)  =/=  (/)  ->  ( S `  ( y  i^i  U ) )  =/=  (/) ) )
3121, 27, 29, 30syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( ( S `  y )  =/=  (/)  ->  ( S `  ( y  i^i  U
) )  =/=  (/) ) )
3220, 31mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( S `  ( y  i^i  U
) )  =/=  (/) )
33 eleq2 2448 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  i^i 
U )  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  ( y  i^i  U
) ) )
34 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  i^i 
U )  ->  ( S `  x )  =  ( S `  ( y  i^i  U
) ) )
3534neeq1d 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  i^i 
U )  ->  (
( S `  x
)  =/=  (/)  <->  ( S `  ( y  i^i  U
) )  =/=  (/) ) )
3633, 35anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  i^i 
U )  ->  (
( P  e.  x  /\  ( S `  x
)  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  ( y  i^i  U
)  /\  ( S `  ( y  i^i  U
) )  =/=  (/) ) ) )
3736rspcev 2995 . . 3  |-  ( ( ( y  i^i  U
)  e.  ~P U  /\  ( P  e.  ( y  i^i  U )  /\  ( S `  ( y  i^i  U
) )  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  ~P  U ( P  e.  x  /\  ( S `
 x )  =/=  (/) ) )
3815, 19, 32, 37syl12anc 1182 . 2  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  /\  ( y  e.  J  /\  ( P  e.  y  /\  ( S `  y )  =/=  (/) ) ) )  ->  E. x  e.  ~P  U ( P  e.  x  /\  ( S `  x )  =/=  (/) ) )
399, 38rexlimddv 2777 1  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  E. x  e.  ~P  U ( P  e.  x  /\  ( S `  x )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   {crab 2653    \ cdif 3260    i^i cin 3262    C_ wss 3263   (/)c0 3571   ~Pcpw 3742   {csn 3757   U.cuni 3957    e. cmpt 4207   `'ccnv 4817    |` cres 4820   "cima 4821   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   ↾t crest 13575   Topctop 16881    Homeo chmeo 17706   CovMap ccvm 24721
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-fin 7049  df-fi 7351  df-rest 13577  df-topgen 13594  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-cn 17213  df-hmeo 17708  df-cvm 24722
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