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Theorem cvmfolem 23810
Description: Lemma for cvmfo 23831. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmseu.1  |-  B  = 
U. C
cvmfolem.2  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cvmfolem  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F : B -onto-> X )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    v, B
Allowed substitution hints:    B( u, k, s)    S( v, u, k, s)    X( v, u, k, s)

Proof of Theorem cvmfolem
Dummy variables  t  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmcn 23793 . . 3  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
2 cvmseu.1 . . . 4  |-  B  = 
U. C
3 cvmfolem.2 . . . 4  |-  X  = 
U. J
42, 3cnf 16976 . . 3  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> X )
51, 4syl 15 . 2  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F : B
--> X )
6 cvmcov.1 . . . . . 6  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
76, 3cvmcov 23794 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  x  e.  X )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  ( S `  z )  =/=  (/) ) )
87ex 423 . . . 4  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  ( x  e.  X  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  ( S `  z )  =/=  (/) ) ) )
9 n0 3464 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  z )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( S `  z
) )
106cvmsn0 23799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( S `  z )  ->  w  =/=  (/) )
1110ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z ) ) )  ->  w  =/=  (/) )
12 n0 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =/=  (/)  <->  E. t  t  e.  w )
1311, 12sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z ) ) )  ->  E. t 
t  e.  w )
14 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  w  e.  ( S `  z ) )
156cvmsss 23798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( S `  z )  ->  w  C_  C )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  w  C_  C )
17 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
t  e.  w )
1816, 17sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
t  e.  C )
19 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  C  ->  t  C_ 
U. C )
2018, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
t  C_  U. C )
2120, 2syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
t  C_  B )
22 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
236cvmsf1o 23803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  w  e.  ( S `  z
)  /\  t  e.  w )  ->  ( F  |`  t ) : t -1-1-onto-> z )
2422, 14, 17, 23syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
( F  |`  t
) : t -1-1-onto-> z )
25 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  |`  t ) : t -1-1-onto-> z  ->  `' ( F  |`  t ) : z -1-1-onto-> t )
26 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( F  |`  t
) : z -1-1-onto-> t  ->  `' ( F  |`  t ) : z --> t )
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  `' ( F  |`  t ) : z --> t )
28 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  x  e.  z )
29 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( F  |`  t ) : z --> t  /\  x  e.  z )  ->  ( `' ( F  |`  t ) `  x
)  e.  t )
3027, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
( `' ( F  |`  t ) `  x
)  e.  t )
3121, 30sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
( `' ( F  |`  t ) `  x
)  e.  B )
32 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  |`  t
) : t -1-1-onto-> z  /\  x  e.  z )  ->  ( ( F  |`  t ) `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) )  =  x )
3324, 28, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
( ( F  |`  t ) `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) )  =  x )
34 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( F  |`  t ) `  x
)  e.  t  -> 
( ( F  |`  t ) `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) )  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t
) `  x )
) )
3530, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
( ( F  |`  t ) `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) )  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t
) `  x )
) )
3633, 35eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  x  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) ) )
37 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( `' ( F  |`  t ) `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) ) )
3837eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( `' ( F  |`  t ) `  x )  ->  (
x  =  ( F `
 y )  <->  x  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t
) `  x )
) ) )
3938rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' ( F  |`  t ) `  x
)  e.  B  /\  x  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) ) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) )
4031, 36, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) )
4140expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z ) ) )  ->  (
t  e.  w  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4241exlimdv 1664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z ) ) )  ->  ( E. t  t  e.  w  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4313, 42mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z ) ) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) )
4443expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  x  e.  z
)  ->  ( w  e.  ( S `  z
)  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4544exlimdv 1664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  x  e.  z
)  ->  ( E. w  w  e.  ( S `  z )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
469, 45syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  x  e.  z
)  ->  ( ( S `  z )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4746expimpd 586 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  ->  (
( x  e.  z  /\  ( S `  z )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4847rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  ( E. z  e.  J  (
x  e.  z  /\  ( S `  z )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
498, 48syld 40 . . 3  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  ( x  e.  X  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
5049ralrimiv 2625 . 2  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) )
51 dffo3 5675 . 2  |-  ( F : B -onto-> X  <->  ( F : B --> X  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
525, 50, 51sylanbrc 645 1  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F : B -onto-> X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325    Cn ccn 16954    Homeo chmeo 17444   CovMap ccvm 23786
This theorem is referenced by:  cvmfo  23831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-hmeo 17446  df-cvm 23787
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