Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmfolem Unicode version

Theorem cvmfolem 23825
Description: Lemma for cvmfo 23846. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmseu.1  |-  B  = 
U. C
cvmfolem.2  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cvmfolem  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F : B -onto-> X )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    v, B
Allowed substitution hints:    B( u, k, s)    S( v, u, k, s)    X( v, u, k, s)

Proof of Theorem cvmfolem
Dummy variables  t  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmcn 23808 . . 3  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
2 cvmseu.1 . . . 4  |-  B  = 
U. C
3 cvmfolem.2 . . . 4  |-  X  = 
U. J
42, 3cnf 16992 . . 3  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> X )
51, 4syl 15 . 2  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F : B
--> X )
6 cvmcov.1 . . . . . 6  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
76, 3cvmcov 23809 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  x  e.  X )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  ( S `  z )  =/=  (/) ) )
87ex 423 . . . 4  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  ( x  e.  X  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  ( S `  z )  =/=  (/) ) ) )
9 n0 3477 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  z )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( S `  z
) )
106cvmsn0 23814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( S `  z )  ->  w  =/=  (/) )
1110ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z ) ) )  ->  w  =/=  (/) )
12 n0 3477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =/=  (/)  <->  E. t  t  e.  w )
1311, 12sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z ) ) )  ->  E. t 
t  e.  w )
14 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  w  e.  ( S `  z ) )
156cvmsss 23813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( S `  z )  ->  w  C_  C )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  w  C_  C )
17 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
t  e.  w )
1816, 17sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
t  e.  C )
19 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  C  ->  t  C_ 
U. C )
2018, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
t  C_  U. C )
2120, 2syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
t  C_  B )
22 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
236cvmsf1o 23818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  w  e.  ( S `  z
)  /\  t  e.  w )  ->  ( F  |`  t ) : t -1-1-onto-> z )
2422, 14, 17, 23syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
( F  |`  t
) : t -1-1-onto-> z )
25 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  |`  t ) : t -1-1-onto-> z  ->  `' ( F  |`  t ) : z -1-1-onto-> t )
26 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( F  |`  t
) : z -1-1-onto-> t  ->  `' ( F  |`  t ) : z --> t )
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  `' ( F  |`  t ) : z --> t )
28 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  x  e.  z )
29 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( F  |`  t ) : z --> t  /\  x  e.  z )  ->  ( `' ( F  |`  t ) `  x
)  e.  t )
3027, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
( `' ( F  |`  t ) `  x
)  e.  t )
3121, 30sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
( `' ( F  |`  t ) `  x
)  e.  B )
32 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  |`  t
) : t -1-1-onto-> z  /\  x  e.  z )  ->  ( ( F  |`  t ) `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) )  =  x )
3324, 28, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
( ( F  |`  t ) `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) )  =  x )
34 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( F  |`  t ) `  x
)  e.  t  -> 
( ( F  |`  t ) `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) )  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t
) `  x )
) )
3530, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  -> 
( ( F  |`  t ) `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) )  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t
) `  x )
) )
3633, 35eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  x  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) ) )
37 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( `' ( F  |`  t ) `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) ) )
3837eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( `' ( F  |`  t ) `  x )  ->  (
x  =  ( F `
 y )  <->  x  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t
) `  x )
) ) )
3938rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' ( F  |`  t ) `  x
)  e.  B  /\  x  =  ( F `  ( `' ( F  |`  t ) `  x
) ) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) )
4031, 36, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z
) )  /\  t  e.  w ) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) )
4140expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z ) ) )  ->  (
t  e.  w  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4241exlimdv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z ) ) )  ->  ( E. t  t  e.  w  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4313, 42mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  ( x  e.  z  /\  w  e.  ( S `  z ) ) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) )
4443expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  x  e.  z
)  ->  ( w  e.  ( S `  z
)  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4544exlimdv 1626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  x  e.  z
)  ->  ( E. w  w  e.  ( S `  z )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
469, 45syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  /\  x  e.  z
)  ->  ( ( S `  z )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4746expimpd 586 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  z  e.  J )  ->  (
( x  e.  z  /\  ( S `  z )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
4847rexlimdva 2680 . . . 4  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  ( E. z  e.  J  (
x  e.  z  /\  ( S `  z )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
498, 48syld 40 . . 3  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  ( x  e.  X  ->  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
5049ralrimiv 2638 . 2  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) )
51 dffo3 5691 . 2  |-  ( F : B -onto-> X  <->  ( F : B --> X  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  B  x  =  ( F `  y ) ) )
525, 50, 51sylanbrc 645 1  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F : B -onto-> X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704    |` cres 4707   "cima 4708   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341    Cn ccn 16970    Homeo chmeo 17460   CovMap ccvm 23801
This theorem is referenced by:  cvmfo  23846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-hmeo 17462  df-cvm 23802
  Copyright terms: Public domain W3C validator