Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem1 Unicode version

Theorem cvmlift2lem1 24768
Description: Lemma for cvmlift2 24782. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem1  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( ( nei `  II ) `
 { y } ) ( ( u  X.  { x }
)  C_  M  <->  ( u  X.  { t } ) 
C_  M )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } ) 
C_  M  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { t } )  C_  M
) )
Distinct variable groups:    u, t, x, y    u, M, y
Allowed substitution hints:    M( x, t)

Proof of Theorem cvmlift2lem1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bi1 179 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  X.  {
x } )  C_  M 
<->  ( u  X.  {
t } )  C_  M )  ->  (
( u  X.  {
x } )  C_  M  ->  ( u  X.  { t } ) 
C_  M ) )
2 iitop 18781 . . . . . . . . . . 11  |-  II  e.  Top
3 iiuni 18782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
43neii1 17093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( II  e.  Top  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  ->  u  C_  (
0 [,] 1 ) )
52, 4mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( ( nei `  II ) `  {
y } )  ->  u  C_  ( 0 [,] 1 ) )
65adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  ->  u  C_  ( 0 [,] 1 ) )
7 xpss1 4924 . . . . . . . . 9  |-  ( u 
C_  ( 0 [,] 1 )  ->  (
u  X.  { x } )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  { x } ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( u  X.  {
x } )  C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) )
9 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M )
108, 9sstrd 3301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( u  X.  {
x } )  C_  M )
11 ssnei 17097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  Top  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  ->  { y }  C_  u )
122, 11mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( ( nei `  II ) `  {
y } )  ->  { y }  C_  u )
1312adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  ->  { y }  C_  u )
14 vex 2902 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1514snss 3869 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  u  <->  { y }  C_  u )
1613, 15sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
y  e.  u )
17 vex 2902 . . . . . . . . . 10  |-  t  e. 
_V
1817snid 3784 . . . . . . . . 9  |-  t  e. 
{ t }
19 opelxpi 4850 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  u  /\  t  e.  { t } )  ->  <. y ,  t >.  e.  ( u  X.  { t } ) )
2016, 18, 19sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  ->  <. y ,  t >.  e.  ( u  X.  {
t } ) )
21 ssel 3285 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  X.  { t } )  C_  M  ->  ( <. y ,  t
>.  e.  ( u  X.  { t } )  ->  <. y ,  t
>.  e.  M ) )
2220, 21syl5com 28 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( ( u  X.  { t } ) 
C_  M  ->  <. y ,  t >.  e.  M
) )
2310, 22embantd 52 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( ( ( u  X.  { x }
)  C_  M  ->  ( u  X.  { t } )  C_  M
)  ->  <. y ,  t >.  e.  M
) )
241, 23syl5 30 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  C_  M  /\  u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) )  -> 
( ( ( u  X.  { x }
)  C_  M  <->  ( u  X.  { t } ) 
C_  M )  ->  <. y ,  t >.  e.  M ) )
2524rexlimdva 2773 . . . 4  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { x } )  C_  M  ->  ( E. u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) ( ( u  X.  { x } )  C_  M  <->  ( u  X.  { t } )  C_  M
)  ->  <. y ,  t >.  e.  M
) )
2625ralimdv 2728 . . 3  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { x } )  C_  M  ->  ( A. y  e.  ( 0 [,] 1
) E. u  e.  ( ( nei `  II ) `  { y } ) ( ( u  X.  { x } )  C_  M  <->  ( u  X.  { t } )  C_  M
)  ->  A. y  e.  ( 0 [,] 1
) <. y ,  t
>.  e.  M ) )
2726com12 29 . 2  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( ( nei `  II ) `
 { y } ) ( ( u  X.  { x }
)  C_  M  <->  ( u  X.  { t } ) 
C_  M )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } ) 
C_  M  ->  A. y  e.  ( 0 [,] 1
) <. y ,  t
>.  e.  M ) )
28 dfss3 3281 . . 3  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { t } )  C_  M  <->  A. z  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { t } ) z  e.  M
)
29 eleq1 2447 . . . 4  |-  ( z  =  <. y ,  u >.  ->  ( z  e.  M  <->  <. y ,  u >.  e.  M ) )
3029ralxp 4956 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( (
0 [,] 1 )  X.  { t } ) z  e.  M  <->  A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) A. u  e.  { t } <. y ,  u >.  e.  M )
31 opeq2 3927 . . . . . 6  |-  ( u  =  t  ->  <. y ,  u >.  =  <. y ,  t >. )
3231eleq1d 2453 . . . . 5  |-  ( u  =  t  ->  ( <. y ,  u >.  e.  M  <->  <. y ,  t
>.  e.  M ) )
3317, 32ralsn 3792 . . . 4  |-  ( A. u  e.  { t } <. y ,  u >.  e.  M  <->  <. y ,  t >.  e.  M
)
3433ralbii 2673 . . 3  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) A. u  e.  { t } <. y ,  u >.  e.  M  <->  A. y  e.  ( 0 [,] 1
) <. y ,  t
>.  e.  M )
3528, 30, 343bitri 263 . 2  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { t } )  C_  M  <->  A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) <.
y ,  t >.  e.  M )
3627, 35syl6ibr 219 1  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( ( nei `  II ) `
 { y } ) ( ( u  X.  { x }
)  C_  M  <->  ( u  X.  { t } ) 
C_  M )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } ) 
C_  M  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { t } )  C_  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    C_ wss 3263   {csn 3757   <.cop 3760    X. cxp 4816   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   0cc0 8923   1c1 8924   [,]cicc 10851   Topctop 16881   neicnei 17084   IIcii 18776
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  24780
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-icc 10855  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-nei 17085  df-ii 18778
  Copyright terms: Public domain W3C validator