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Theorem cvmlift2lem10 24127
Description: Lemma for cvmlift2 24131. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
cvmlift2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift2.i  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
cvmlift2.h  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
cvmlift2.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
cvmlift2lem10.s  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmlift2lem10.1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
cvmlift2lem10.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem10  |-  ( ph  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
Distinct variable groups:    c, d,
f, k, s, u, v, w, x, y, z, F    ph, f, u, v, w, x, y, z    S, f, u, v, w, x, y, z    J, c, d, f, k, s, u, v, w, x, y, z    G, c, f, k, u, v, w, x, y, z    H, c, f, u, v, w, x, y, z    X, c, d, f, k, u, v, w, x, y, z    C, c, d, f, k, s, u, v, w, x, y, z    P, f, k, u, v, x, y, z    B, c, d, v, w, x, y, z    Y, c, d, f, k, u, v, w, x, y, z    K, c, d, f, u, v, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( k, s, c, d)    B( u, f, k, s)    P( w, s, c, d)    S( k, s, c, d)    G( s, d)    H( k, s, d)    K( k, s)    X( s)    Y( s)

Proof of Theorem cvmlift2lem10
Dummy variables  b  m  a  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
2 cvmlift2.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
3 iitop 18436 . . . . . . 7  |-  II  e.  Top
4 iiuni 18437 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
53, 3, 4, 4txunii 17344 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) )  = 
U. ( II  tX  II )
6 eqid 2316 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
75, 6cnf 17032 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  J )  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. J
)
82, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> U. J )
9 cvmlift2lem10.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
10 cvmlift2lem10.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )
11 opelxpi 4758 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
129, 10, 11syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
13 ffvelrn 5701 . . . 4  |-  ( ( G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> U. J  /\  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  U. J )
148, 12, 13syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  U. J )
15 cvmlift2lem10.s . . . 4  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
1615, 6cvmcov 24078 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  U. J )  ->  E. m  e.  J  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m
)  =/=  (/) ) )
171, 14, 16syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  J  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m )  =/=  (/) ) )
18 n0 3498 . . . . 5  |-  ( ( S `  m )  =/=  (/)  <->  E. t  t  e.  ( S `  m
) )
1912adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
20 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m
)
218adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. J
)
22 ffn 5427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. J  ->  G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
23 elpreima 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( `' G "
m )  <->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m ) ) )
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( `' G "
m )  <->  ( <. X ,  Y >.  e.  ( ( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m ) ) )
2519, 20, 24mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( `' G " m ) )
262adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J
) )
2715cvmsrcl 24079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( S `  m )  ->  m  e.  J )
2827ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  m  e.  J )
29 cnima 17050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J )  /\  m  e.  J )  ->  ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II ) )
3026, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II ) )
31 eltx 17319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  Top  /\  II  e.  Top )  -> 
( ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II )  <->  A. z  e.  ( `' G " m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) ) )
323, 3, 31mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' G " m )  e.  ( II  tX  II )  <->  A. z  e.  ( `' G " m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )
3330, 32sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  A. z  e.  ( `' G "
m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )
34 eleq1 2376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( z  e.  ( a  X.  b
)  <->  <. X ,  Y >.  e.  ( a  X.  b ) ) )
35 opelxp 4756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. X ,  Y >.  e.  ( a  X.  b
)  <->  ( X  e.  a  /\  Y  e.  b ) )
3634, 35syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( z  e.  ( a  X.  b
)  <->  ( X  e.  a  /\  Y  e.  b ) ) )
3736anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) )  <->  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b
)  C_  ( `' G " m ) ) ) )
38372rexbidv 2620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. X ,  Y >.  ->  ( E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) )  <->  E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) ) ) )
3938rspcv 2914 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. X ,  Y >.  e.  ( `' G "
m )  ->  ( A. z  e.  ( `' G " m ) E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( z  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) )  ->  E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) ) ) )
4025, 33, 39sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) ) )
41 iillyscon 24068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  II  e. Locally SCon
4241a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  II  e. Locally SCon )
43 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  a  e.  II )
44 simprll 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  X  e.  a )
45 llyi 17256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( II  e. Locally SCon  /\  a  e.  II  /\  X  e.  a )  ->  E. u  e.  II  ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )
)
4642, 43, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  E. u  e.  II  ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )
)
47 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  b  e.  II )
48 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  Y  e.  b )
49 llyi 17256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( II  e. Locally SCon  /\  b  e.  II  /\  Y  e.  b )  ->  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon ) )
5042, 47, 48, 49syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon ) )
51 reeanv 2741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. u  e.  II  E. v  e.  II  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  <->  ( E. u  e.  II  (
u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )
52 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  X  e.  u )
5352a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  X  e.  u ) )
54 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  Y  e.  v )
5554a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  Y  e.  v ) )
56 simprl1 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  ->  u  C_  a )
57 simprr1 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
v  C_  b )
58 xpss12 4829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( u  C_  a  /\  v  C_  b )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( a  X.  b ) )
5956, 57, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( a  X.  b ) )
60 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( `' G " m ) )
6159, 60sstrd 3223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  /\  (
( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) )
6261ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) ) )
6353, 55, 623jcad 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) ) ) )
64 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  ->  ( IIt  u )  e. SCon )
65 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
)  ->  ( IIt  v
)  e. SCon )
6664, 65anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )
6766a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) )
6863, 67jcad 519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  (
( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  (
IIt 
v )  e. SCon )
) ) )
6968reximdv 2688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  ( E. v  e.  II  ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
) )
7069reximdv 2688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  ( E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
) )
7151, 70syl5bir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  (
( E. u  e.  II  ( u  C_  a  /\  X  e.  u  /\  ( IIt  u )  e. SCon )  /\  E. v  e.  II  ( v  C_  b  /\  Y  e.  v  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
) )
7246, 50, 71mp2and 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  /\  (
( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' G " m ) ) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)
7372ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( a  e.  II  /\  b  e.  II ) )  ->  (
( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) ) )
7473rexlimdvva 2708 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( E. a  e.  II  E. b  e.  II  ( ( X  e.  a  /\  Y  e.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' G " m ) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) ) ) )
7540, 74mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)
76 simp3l1 1060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  X  e.  u )
77 simp3l2 1061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  Y  e.  v )
78 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  = 
U. C
79 simpl1l 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ph )
8079, 1syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
8179, 2syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
82 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
8379, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  P  e.  B
)
84 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
8579, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( 0 G 0 ) )
86 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
87 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
88 df-ov 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X G Y )  =  ( G `  <. X ,  Y >. )
89 simpl1r 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( ( G `
 <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m ) ) )
9089simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )
9188, 90syl5eqel 2400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( X G Y )  e.  m
)
9289simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  t  e.  ( S `  m ) )
93 simpl2l 1008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  u  e.  II )
94 simpl2r 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  v  e.  II )
95 simp3rl 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( IIt  u
)  e. SCon )
9695adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  u )  e. SCon )
97 sconpcon 24042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( IIt  u )  e. SCon  ->  ( IIt  u )  e. PCon )
98 pconcon 24046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( IIt  u )  e. PCon  ->  ( IIt  u )  e.  Con )
9996, 97, 983syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  u )  e.  Con )
100 simp3rr 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( IIt  v
)  e. SCon )
101100adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  v )  e. SCon )
102 sconpcon 24042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( IIt  v )  e. SCon  ->  ( IIt  v )  e. PCon )
103 pconcon 24046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( IIt  v )  e. PCon  ->  ( IIt  v )  e.  Con )
104101, 102, 1033syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( IIt  v )  e.  Con )
10576adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  X  e.  u
)
10677adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  Y  e.  v )
107 simp3l3 1062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )
108107adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )
109 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  w  e.  v )
110 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
) )
111 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( iota_ b  e.  t ( X K Y )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  t
( X K Y )  e.  b )
11278, 80, 81, 83, 85, 86, 87, 15, 91, 92, 93, 94, 99, 104, 105, 106, 108, 109, 110, 111cvmlift2lem9 24126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  ( w  e.  v  /\  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C ) ) )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) )
113112expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  /\  w  e.  v )  ->  (
( K  |`  (
u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) )
114113rexlimdva 2701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) )
11576, 77, 1143jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II )  /\  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )
)  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
1161153expia 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  ( u  e.  II  /\  v  e.  II ) )  ->  (
( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  (
u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
117116anassrs 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  u  e.  II )  /\  v  e.  II )  ->  ( ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  (
IIt 
v )  e. SCon )
)  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
118117reximdva 2689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m
) ) )  /\  u  e.  II )  ->  ( E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v
)  e. SCon ) )  ->  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
119118reximdva 2689 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  ( E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' G " m ) )  /\  ( ( IIt  u )  e. SCon  /\  ( IIt  v )  e. SCon
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
12075, 119mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  t  e.  ( S `  m )
) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
121120expr 598 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )  ->  ( t  e.  ( S `  m
)  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
122121exlimdv 1627 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )  ->  ( E. t 
t  e.  ( S `
 m )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
12318, 122syl5bi 208 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( G `  <. X ,  Y >. )  e.  m )  ->  ( ( S `
 m )  =/=  (/)  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
124123expimpd 586 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( G `
 <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
125124rexlimdvw 2704 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  J  ( ( G `
 <. X ,  Y >. )  e.  m  /\  ( S `  m )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  { w } ) )  Cn  C )  ->  ( K  |`  ( u  X.  v ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) ) )
12617, 125mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  II  E. v  e.  II  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( E. w  e.  v  ( K  |`  ( u  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( u  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( u  X.  v
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( u  X.  v ) )  Cn  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578   {crab 2581    \ cdif 3183    i^i cin 3185    C_ wss 3186   (/)c0 3489   ~Pcpw 3659   {csn 3674   <.cop 3677   U.cuni 3864    e. cmpt 4114    X. cxp 4724   `'ccnv 4725    |` cres 4728   "cima 4729    o. ccom 4730    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    e. cmpt2 5902   iota_crio 6339   0cc0 8782   1c1 8783   [,]cicc 10706   ↾t crest 13374   Topctop 16687    Cn ccn 17010   Conccon 17193  Locally clly 17246    tX ctx 17311    Homeo chmeo 17500   IIcii 18431  PConcpcon 24034  SConcscon 24035   CovMap ccvm 24070
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  24129
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-ec 6704  df-map 6817  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ioo 10707  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-sum 12206  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-pt 13394  df-prds 13397  df-xrs 13452  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-qtop 13459  df-imas 13460  df-xps 13462  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-mulg 14541  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-ntr 16813  df-cls 16814  df-nei 16891  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-cmp 17170  df-con 17194  df-lly 17248  df-nlly 17249  df-tx 17313  df-hmeo 17502  df-xms 17937  df-ms 17938  df-tms 17939  df-ii 18433  df-htpy 18521  df-phtpy 18522  df-phtpc 18543  df-pcon 24036  df-scon 24037  df-cvm 24071
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