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Theorem cvmlift2lem11 25000
Description: Lemma for cvmlift2 25003. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
cvmlift2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift2.i  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
cvmlift2.h  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
cvmlift2.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
cvmlift2.m  |-  M  =  { z  e.  ( ( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) )  |  K  e.  ( ( ( II  tX  II )  CnP  C ) `
 z ) }
cvmlift2lem11.1  |-  ( ph  ->  U  e.  II )
cvmlift2lem11.2  |-  ( ph  ->  V  e.  II )
cvmlift2lem11.3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
cvmlift2lem11.4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
cvmlift2lem11.5  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  V  ( K  |`  ( U  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( U  X.  V
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  V ) )  Cn  C ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem11  |-  ( ph  ->  ( ( U  X.  { Y } )  C_  M  ->  ( U  X.  { Z } )  C_  M ) )
Distinct variable groups:    w, f, x, y, z, F    ph, f, w, x, y, z    x, M, y, z    f, J, w, x, y, z   
w, U, z    f, G, w, x, y, z   
w, V    f, H, w, x, y, z    z, Z    C, f, w, x, y, z    P, f, x, y, z    w, B, x, y, z    f, Y, w, x, y, z   
f, K, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( f)    P( w)    U( x, y, f)    M( w, f)    V( x, y, z, f)    Z( x, y, w, f)

Proof of Theorem cvmlift2lem11
StepHypRef Expression
1 cvmlift2lem11.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  II )
21adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  U  e.  II )
3 elssuni 4043 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  II  ->  U  C_ 
U. II )
4 iiuni 18911 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
53, 4syl6sseqr 3395 . . . . . 6  |-  ( U  e.  II  ->  U  C_  ( 0 [,] 1
) )
62, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  U  C_  ( 0 [,] 1 ) )
7 cvmlift2lem11.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
8 cvmlift2lem11.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  II )
9 elunii 4020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  V  /\  V  e.  II )  ->  Z  e.  U. II )
109, 4syl6eleqr 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  V  /\  V  e.  II )  ->  Z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
117, 8, 10syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1211adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  Z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1312snssd 3943 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  { Z }  C_  (
0 [,] 1 ) )
14 xpss12 4981 . . . . 5  |-  ( ( U  C_  ( 0 [,] 1 )  /\  { Z }  C_  (
0 [,] 1 ) )  ->  ( U  X.  { Z } ) 
C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
156, 13, 14syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( U  X.  { Z } )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
16 cvmlift2lem11.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1716adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  Y  e.  V )
18 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  = 
U. C
19 cvmlift2.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
20 cvmlift2.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
21 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
22 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( 0 G 0 ) )
23 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( z G 0 ) )  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
24 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G z ) )  /\  (
f `  0 )  =  ( H `  x ) ) ) `
 y ) )
2518, 19, 20, 21, 22, 23, 24cvmlift2lem5 24994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> B )
2625adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> B )
278adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  V  e.  II )
28 elssuni 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V  e.  II  ->  V  C_ 
U. II )
2928, 4syl6sseqr 3395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( V  e.  II  ->  V  C_  ( 0 [,] 1
) )
3027, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  V  C_  ( 0 [,] 1 ) )
3130, 17sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  Y  e.  ( 0 [,] 1 ) )
3231snssd 3943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  { Y }  C_  (
0 [,] 1 ) )
33 xpss12 4981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  C_  ( 0 [,] 1 )  /\  { Y }  C_  (
0 [,] 1 ) )  ->  ( U  X.  { Y } ) 
C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )
346, 32, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( U  X.  { Y } )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
35 fssres 5610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) --> B  /\  ( U  X.  { Y } )  C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Y } ) ) : ( U  X.  { Y } ) --> B )
3626, 34, 35syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( K  |`  ( U  X.  { Y }
) ) : ( U  X.  { Y } ) --> B )
3734adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  X.  { Y }
)  C_  M )  /\  z  e.  ( U  X.  { Y }
) )  ->  ( U  X.  { Y }
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
38 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  X.  { Y }
)  C_  M )  /\  z  e.  ( U  X.  { Y }
) )  ->  z  e.  ( U  X.  { Y } ) )
39 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( U  X.  { Y } )  C_  M
)
40 cvmlift2.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  M  =  { z  e.  ( ( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) )  |  K  e.  ( ( ( II  tX  II )  CnP  C ) `
 z ) }
4139, 40syl6sseq 3394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( U  X.  { Y } )  C_  { z  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) )  |  K  e.  ( ( ( II 
tX  II )  CnP 
C ) `  z
) } )
42 ssrab 3421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  X.  { Y } )  C_  { z  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) )  |  K  e.  ( ( ( II 
tX  II )  CnP 
C ) `  z
) }  <->  ( ( U  X.  { Y }
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  A. z  e.  ( U  X.  { Y }
) K  e.  ( ( ( II  tX  II )  CnP  C ) `
 z ) ) )
4342simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  X.  { Y } )  C_  { z  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) )  |  K  e.  ( ( ( II 
tX  II )  CnP 
C ) `  z
) }  ->  A. z  e.  ( U  X.  { Y } ) K  e.  ( ( ( II 
tX  II )  CnP 
C ) `  z
) )
4441, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  A. z  e.  ( U  X.  { Y }
) K  e.  ( ( ( II  tX  II )  CnP  C ) `
 z ) )
4544r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  X.  { Y }
)  C_  M )  /\  z  e.  ( U  X.  { Y }
) )  ->  K  e.  ( ( ( II 
tX  II )  CnP 
C ) `  z
) )
46 iitopon 18909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
47 txtopon 17623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( II  tX  II )  e.  (TopOn `  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) )
4846, 46, 47mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( II 
tX  II )  e.  (TopOn `  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
4948toponunii 16997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) )  = 
U. ( II  tX  II )
5049cnpresti 17352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  X.  { Y } )  C_  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  z  e.  ( U  X.  { Y } )  /\  K  e.  ( ( ( II 
tX  II )  CnP 
C ) `  z
) )  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Y } ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Y } ) )  CnP 
C ) `  z
) )
5137, 38, 45, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  X.  { Y }
)  C_  M )  /\  z  e.  ( U  X.  { Y }
) )  ->  ( K  |`  ( U  X.  { Y } ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Y } ) )  CnP 
C ) `  z
) )
5251ralrimiva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  A. z  e.  ( U  X.  { Y }
) ( K  |`  ( U  X.  { Y } ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Y }
) )  CnP  C
) `  z )
)
53 resttopon 17225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  (TopOn `  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( U  X.  { Y }
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Y }
) )  e.  (TopOn `  ( U  X.  { Y } ) ) )
5448, 34, 53sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Y } ) )  e.  (TopOn `  ( U  X.  { Y }
) ) )
55 cvmtop1 24947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
5619, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  Top )
5756adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  C  e.  Top )
5818toptopon 16998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  Top  <->  C  e.  (TopOn `  B ) )
5957, 58sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  C  e.  (TopOn `  B
) )
60 cncnp 17344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Y } ) )  e.  (TopOn `  ( U  X.  { Y }
) )  /\  C  e.  (TopOn `  B )
)  ->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Y } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Y }
) )  Cn  C
)  <->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Y } ) ) : ( U  X.  { Y } ) --> B  /\  A. z  e.  ( U  X.  { Y }
) ( K  |`  ( U  X.  { Y } ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Y }
) )  CnP  C
) `  z )
) ) )
6154, 59, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( ( K  |`  ( U  X.  { Y } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { Y }
) )  Cn  C
)  <->  ( ( K  |`  ( U  X.  { Y } ) ) : ( U  X.  { Y } ) --> B  /\  A. z  e.  ( U  X.  { Y }
) ( K  |`  ( U  X.  { Y } ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Y }
) )  CnP  C
) `  z )
) ) )
6236, 52, 61mpbir2and 889 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( K  |`  ( U  X.  { Y }
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Y } ) )  Cn  C ) )
63 sneq 3825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  Y  ->  { w }  =  { Y } )
6463xpeq2d 4902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  Y  ->  ( U  X.  { w }
)  =  ( U  X.  { Y }
) )
6564reseq2d 5146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  Y  ->  ( K  |`  ( U  X.  { w } ) )  =  ( K  |`  ( U  X.  { Y } ) ) )
6664oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  Y  ->  (
( II  tX  II )t  ( U  X.  { w } ) )  =  ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Y } ) ) )
6766oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  Y  ->  (
( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { w } ) )  Cn  C )  =  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Y }
) )  Cn  C
) )
6865, 67eleq12d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  Y  ->  (
( K  |`  ( U  X.  { w }
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { w } ) )  Cn  C )  <-> 
( K  |`  ( U  X.  { Y }
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Y } ) )  Cn  C ) ) )
6968rspcev 3052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  V  /\  ( K  |`  ( U  X.  { Y }
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { Y } ) )  Cn  C ) )  ->  E. w  e.  V  ( K  |`  ( U  X.  { w }
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { w } ) )  Cn  C ) )
7017, 62, 69syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  E. w  e.  V  ( K  |`  ( U  X.  { w }
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { w } ) )  Cn  C ) )
71 cvmlift2lem11.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  V  ( K  |`  ( U  X.  { w } ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  { w }
) )  Cn  C
)  ->  ( K  |`  ( U  X.  V
) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  V ) )  Cn  C ) ) )
7271imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E. w  e.  V  ( K  |`  ( U  X.  {
w } ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  { w }
) )  Cn  C
) )  ->  ( K  |`  ( U  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  V ) )  Cn  C ) )
7370, 72syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( K  |`  ( U  X.  V ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  V ) )  Cn  C ) )
7473adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  X.  { Y }
)  C_  M )  /\  z  e.  ( U  X.  { Z }
) )  ->  ( K  |`  ( U  X.  V ) )  e.  ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  V ) )  Cn  C ) )
757adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  Z  e.  V )
7675snssd 3943 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  { Z }  C_  V
)
77 xpss2 4985 . . . . . . . . 9  |-  ( { Z }  C_  V  ->  ( U  X.  { Z } )  C_  ( U  X.  V ) )
7876, 77syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( U  X.  { Z } )  C_  ( U  X.  V ) )
79 iitop 18910 . . . . . . . . . 10  |-  II  e.  Top
8079, 79txtopi 17622 . . . . . . . . 9  |-  ( II 
tX  II )  e. 
Top
81 xpss12 4981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  C_  ( 0 [,] 1 )  /\  V  C_  ( 0 [,] 1 ) )  -> 
( U  X.  V
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
826, 30, 81syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( U  X.  V
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
8349restuni 17226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( U  X.  V )  C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( U  X.  V )  = 
U. ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  V ) ) )
8480, 82, 83sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( U  X.  V
)  =  U. (
( II  tX  II )t  ( U  X.  V
) ) )
8578, 84sseqtrd 3384 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( U  X.  { Z } )  C_  U. (
( II  tX  II )t  ( U  X.  V
) ) )
8685sselda 3348 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  X.  { Y }
)  C_  M )  /\  z  e.  ( U  X.  { Z }
) )  ->  z  e.  U. ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  V ) ) )
87 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  U. (
( II  tX  II )t  ( U  X.  V
) )  =  U. ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  V ) )
8887cncnpi 17342 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  |`  ( U  X.  V ) )  e.  ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  V ) )  Cn  C )  /\  z  e.  U. (
( II  tX  II )t  ( U  X.  V
) ) )  -> 
( K  |`  ( U  X.  V ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  V
) )  CnP  C
) `  z )
)
8974, 86, 88syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  X.  { Y }
)  C_  M )  /\  z  e.  ( U  X.  { Z }
) )  ->  ( K  |`  ( U  X.  V ) )  e.  ( ( ( ( II  tX  II )t  ( U  X.  V ) )  CnP  C ) `  z ) )
9080a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  X.  { Y }
)  C_  M )  /\  z  e.  ( U  X.  { Z }
) )  ->  (
II  tX  II )  e.  Top )
9182adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  X.  { Y }
)  C_  M )  /\  z  e.  ( U  X.  { Z }
) )  ->  ( U  X.  V )  C_  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
9279a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  ->  II  e.  Top )
93 txopn 17634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( II  e.  Top  /\  II  e.  Top )  /\  ( U  e.  II  /\  V  e.  II ) )  ->  ( U  X.  V )  e.  ( II  tX  II ) )
9492, 92, 2, 27, 93syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( U  X.  V
)  e.  ( II 
tX  II ) )
95 isopn3i 17146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( U  X.  V )  e.  ( II  tX  II ) )  ->  (
( int `  (
II  tX  II )
) `  ( U  X.  V ) )  =  ( U  X.  V
) )
9680, 94, 95sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( ( int `  (
II  tX  II )
) `  ( U  X.  V ) )  =  ( U  X.  V
) )
9778, 96sseqtr4d 3385 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( U  X.  { Z } )  C_  (
( int `  (
II  tX  II )
) `  ( U  X.  V ) ) )
9897sselda 3348 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  X.  { Y }
)  C_  M )  /\  z  e.  ( U  X.  { Z }
) )  ->  z  e.  ( ( int `  (
II  tX  II )
) `  ( U  X.  V ) ) )
9925ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  X.  { Y }
)  C_  M )  /\  z  e.  ( U  X.  { Z }
) )  ->  K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> B )
10049, 18cnprest 17353 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( II  tX  II )  e.  Top  /\  ( U  X.  V
)  C_  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( z  e.  ( ( int `  (
II  tX  II )
) `  ( U  X.  V ) )  /\  K : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> B ) )  ->  ( K  e.  ( ( ( II 
tX  II )  CnP 
C ) `  z
)  <->  ( K  |`  ( U  X.  V
) )  e.  ( ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  V ) )  CnP  C ) `  z ) ) )
10190, 91, 98, 99, 100syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  X.  { Y }
)  C_  M )  /\  z  e.  ( U  X.  { Z }
) )  ->  ( K  e.  ( (
( II  tX  II )  CnP  C ) `  z )  <->  ( K  |`  ( U  X.  V
) )  e.  ( ( ( ( II 
tX  II )t  ( U  X.  V ) )  CnP  C ) `  z ) ) )
10289, 101mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  X.  { Y }
)  C_  M )  /\  z  e.  ( U  X.  { Z }
) )  ->  K  e.  ( ( ( II 
tX  II )  CnP 
C ) `  z
) )
10315, 102ssrabdv 3422 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( U  X.  { Z } )  C_  { z  e.  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) )  |  K  e.  ( ( ( II 
tX  II )  CnP 
C ) `  z
) } )
104103, 40syl6sseqr 3395 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( U  X.  { Y } ) 
C_  M )  -> 
( U  X.  { Z } )  C_  M
)
105104ex 424 1  |-  ( ph  ->  ( ( U  X.  { Y } )  C_  M  ->  ( U  X.  { Z } )  C_  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    C_ wss 3320   {csn 3814   U.cuni 4015    e. cmpt 4266    X. cxp 4876    |` cres 4880    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   iota_crio 6542   0cc0 8990   1c1 8991   [,]cicc 10919   ↾t crest 13648   Topctop 16958  TopOnctopon 16959   intcnt 17081    Cn ccn 17288    CnP ccnp 17289    tX ctx 17592   IIcii 18905   CovMap ccvm 24942
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  25001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-cmp 17450  df-con 17475  df-lly 17529  df-nlly 17530  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-ii 18907  df-htpy 18995  df-phtpy 18996  df-phtpc 19017  df-pcon 24908  df-scon 24909  df-cvm 24943
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