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Theorem cvmlift2lem9 25000
 Description: Lemma for cvmlift2 25005. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b
cvmlift2.f CovMap
cvmlift2.g
cvmlift2.p
cvmlift2.i
cvmlift2.h
cvmlift2.k
cvmlift2lem10.s t t
cvmlift2lem9.1
cvmlift2lem9.2
cvmlift2lem9.3
cvmlift2lem9.4
cvmlift2lem9.5 t
cvmlift2lem9.6 t
cvmlift2lem9.7
cvmlift2lem9.8
cvmlift2lem9.9
cvmlift2lem9.10
cvmlift2lem9.11 t
cvmlift2lem9.w
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem9 t
Distinct variable groups:   ,,,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,,   ,,,,   ,   ,,,,,,,   ,,   ,,,,,,   ,,,,,,,,   ,   ,,,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,,,,,)   (,)   (,,)   (,)   ()   (,,,,,,,,)   (,,,,,,)   ()   ()   (,,,,,,,)

Proof of Theorem cvmlift2lem9
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2
2 iitop 18912 . . 3
3 iiuni 18913 . . 3
42, 2, 3, 3txunii 17627 . 2
5 cvmlift2lem10.s . 2 t t
6 cvmlift2.f . 2 CovMap
7 cvmlift2.g . . 3
8 cvmlift2.p . . 3
9 cvmlift2.i . . 3
10 cvmlift2.h . . 3
11 cvmlift2.k . . 3
121, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem5 24996 . 2
131, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem7 24998 . . 3
1413, 7eqeltrd 2512 . 2
152, 2txtopi 17624 . . 3
1615a1i 11 . 2
17 cvmlift2lem9.3 . . . . 5
18 elssuni 4045 . . . . . 6
1918, 3syl6sseqr 3397 . . . . 5
2017, 19syl 16 . . . 4
21 cvmlift2lem9.7 . . . 4
2220, 21sseldd 3351 . . 3
23 cvmlift2lem9.4 . . . . 5
24 elssuni 4045 . . . . . 6
2524, 3syl6sseqr 3397 . . . . 5
2623, 25syl 16 . . . 4
27 cvmlift2lem9.8 . . . 4
2826, 27sseldd 3351 . . 3
29 opelxpi 4912 . . 3
3022, 28, 29syl2anc 644 . 2
31 cvmlift2lem9.2 . 2
3212, 22, 28fovrnd 6220 . . . 4
33 fvco3 5802 . . . . . . . 8
3412, 30, 33syl2anc 644 . . . . . . 7
3513fveq1d 5732 . . . . . . 7
3634, 35eqtr3d 2472 . . . . . 6
37 df-ov 6086 . . . . . . 7
3837fveq2i 5733 . . . . . 6
39 df-ov 6086 . . . . . 6
4036, 38, 393eqtr4g 2495 . . . . 5
41 cvmlift2lem9.1 . . . . 5
4240, 41eqeltrd 2512 . . . 4
43 cvmlift2lem9.w . . . . 5
445, 1, 43cvmsiota 24966 . . . 4 CovMap
456, 31, 32, 42, 44syl13anc 1187 . . 3
4637eleq1i 2501 . . . 4
4746anbi2i 677 . . 3
4845, 47sylib 190 . 2
49 xpss12 4983 . . 3
5020, 26, 49syl2anc 644 . 2
51 snidg 3841 . . . . . . 7
5251ad2antrl 710 . . . . . 6
53 simprr 735 . . . . . 6
54 ovres 6215 . . . . . 6
5552, 53, 54syl2anc 644 . . . . 5
56 eqid 2438 . . . . . . . 8 t t
572a1i 11 . . . . . . . . . 10
58 snex 4407 . . . . . . . . . . 11
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10
6023adantr 453 . . . . . . . . . 10
61 txrest 17665 . . . . . . . . . 10 t t t
6257, 57, 59, 60, 61syl22anc 1186 . . . . . . . . 9 t t t
63 iitopon 18911 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
6420sselda 3350 . . . . . . . . . . . . 13
6564adantrr 699 . . . . . . . . . . . 12
66 restsn2 17237 . . . . . . . . . . . 12 TopOn t
6763, 65, 66sylancr 646 . . . . . . . . . . 11 t
68 pwsn 4011 . . . . . . . . . . . 12
69 indiscon 17483 . . . . . . . . . . . 12
7068, 69eqeltri 2508 . . . . . . . . . . 11
7167, 70syl6eqel 2526 . . . . . . . . . 10 t
72 cvmlift2lem9.6 . . . . . . . . . . 11 t
7372adantr 453 . . . . . . . . . 10 t
74 txcon 17723 . . . . . . . . . 10 t t t t
7571, 73, 74syl2anc 644 . . . . . . . . 9 t t
7662, 75eqeltrd 2512 . . . . . . . 8 t
771, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 24997 . . . . . . . . . . . 12 t
7865, 77syldan 458 . . . . . . . . . . 11 t
7926adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
80 xpss2 4987 . . . . . . . . . . . . 13
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . 12
8265snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14
83 xpss1 4986 . . . . . . . . . . . . . 14
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
854restuni 17228 . . . . . . . . . . . . 13 t
8615, 84, 85sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12 t
8781, 86sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . 11 t
88 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12 t t
8988cnrest 17351 . . . . . . . . . . 11 t t t t
9078, 87, 89syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 t t
91 resabs1 5177 . . . . . . . . . . 11
9281, 91syl 16 . . . . . . . . . 10
9315a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
94 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . 14
9558, 94xpex 4992 . . . . . . . . . . . . 13
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
97 restabs 17231 . . . . . . . . . . . 12 t t t
9893, 81, 96, 97syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11 t t t
9998oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10 t t t
10090, 92, 993eltr3d 2518 . . . . . . . . 9 t
101 cvmtop1 24949 . . . . . . . . . . . . 13 CovMap
1026, 101syl 16 . . . . . . . . . . . 12
103102adantr 453 . . . . . . . . . . 11
1041toptopon 17000 . . . . . . . . . . 11 TopOn
105103, 104sylib 190 . . . . . . . . . 10 TopOn
106 df-ima 4893 . . . . . . . . . . 11
107 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . 15
108107snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14
109 xpss1 4986 . . . . . . . . . . . . . 14
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
111 imass2 5242 . . . . . . . . . . . . 13
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . 12
113 cvmlift2lem9.9 . . . . . . . . . . . . . . 15
114 imaco 5377 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115 cnvco 5058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11613cnveqd 5050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117115, 116syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118117imaeq1d 5204 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119114, 118syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15
120113, 119sseqtr4d 3387 . . . . . . . . . . . . . 14
121 ffun 5595 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12212, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
123 fdm 5597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12412, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12550, 124sseqtr4d 3387 . . . . . . . . . . . . . . 15
126 funimass3 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15
127122, 125, 126syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14
128120, 127mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13
129128adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
130112, 129sstrd 3360 . . . . . . . . . . 11
131106, 130syl5eqssr 3395 . . . . . . . . . 10
132 cnvimass 5226 . . . . . . . . . . . 12
133 cvmcn 24951 . . . . . . . . . . . . . . 15 CovMap
1346, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
135 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15
1361, 135cnf 17312 . . . . . . . . . . . . . 14
137134, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
138 fdm 5597 . . . . . . . . . . . . 13
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . 12
140132, 139syl5sseq 3398 . . . . . . . . . . 11
141140adantr 453 . . . . . . . . . 10
142 cnrest2 17352 . . . . . . . . . 10 TopOn t t t
143105, 131, 141, 142syl3anc 1185 . . . . . . . . 9 t t t
144100, 143mpbid 203 . . . . . . . 8 t t
1455cvmsss 24956 . . . . . . . . . . . 12
14631, 145syl 16 . . . . . . . . . . 11
14745simpld 447 . . . . . . . . . . 11
148146, 147sseldd 3351 . . . . . . . . . 10
149 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . 12
150147, 149syl 16 . . . . . . . . . . 11
1515cvmsuni 24958 . . . . . . . . . . . 12
15231, 151syl 16 . . . . . . . . . . 11
153150, 152sseqtrd 3386 . . . . . . . . . 10
1545cvmsrcl 24953 . . . . . . . . . . . . 13
15531, 154syl 16 . . . . . . . . . . . 12
156 cnima 17331 . . . . . . . . . . . 12
157134, 155, 156syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
158 restopn2 17243 . . . . . . . . . . 11 t
159102, 157, 158syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 t
160148, 153, 159mpbir2and 890 . . . . . . . . 9 t
161160adantr 453 . . . . . . . 8 t
1625cvmscld 24962 . . . . . . . . . 10 CovMap t
1636, 31, 147, 162syl3anc 1185 . . . . . . . . 9 t
164163adantr 453 . . . . . . . 8 t
165 cvmlift2lem9.10 . . . . . . . . . . 11
166165adantr 453 . . . . . . . . . 10
167 opelxpi 4912 . . . . . . . . . 10
16852, 166, 167syl2anc 644 . . . . . . . . 9
16981, 84sstrd 3360 . . . . . . . . . 10
1704restuni 17228 . . . . . . . . . 10 t
17115, 169, 170sylancr 646 . . . . . . . . 9 t
172168, 171eleqtrd 2514 . . . . . . . 8 t
173 df-ov 6086 . . . . . . . . . 10
174 ovres 6215 . . . . . . . . . . . 12
17552, 166, 174syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
176 snidg 3841 . . . . . . . . . . . . . 14
177165, 176syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
178177adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
179 ovres 6215 . . . . . . . . . . . 12
180107, 178, 179syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
181175, 180eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10
182173, 181syl5eqr 2484 . . . . . . . . 9
183 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 t t
1842a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
185 snex 4407 . . . . . . . . . . . . . . . 16
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
187 txrest 17665 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t t
188184, 184, 17, 186, 187syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14 t t t
189 cvmlift2lem9.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
19026, 165sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
191 restsn2 17237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn t
19263, 190, 191sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t
193 pwsn 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
194 indiscon 17483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
195193, 194eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16
196192, 195syl6eqel 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
197 txcon 17723 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t t t
198189, 196, 197syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14 t t
199188, 198eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13 t
200 cvmlift2lem9.11 . . . . . . . . . . . . . 14 t
201102, 104sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
202 df-ima 4893 . . . . . . . . . . . . . . . 16
203165snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
204 xpss2 4987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
205203, 204syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
206 imass2 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
207205, 206syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
208207, 128sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . 16
209202, 208syl5eqssr 3395 . . . . . . . . . . . . . . 15
210 cnrest2 17352 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn t t t
211201, 209, 140, 210syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14 t t t
212200, 211mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13 t t
213 opelxpi 4912 . . . . . . . . . . . . . . 15
21421, 177, 213syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14
215190snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16
216 xpss12 4983 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21720, 215, 216syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
2184restuni 17228 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
21915, 217, 218sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14 t
220214, 219eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . 13 t
221 df-ov 6086 . . . . . . . . . . . . . . 15
222 ovres 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22321, 177, 222syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
224 snidg 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22521, 224syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
226 ovres 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
227225, 165, 226syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
228223, 227eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15
229221, 228syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . 14
230 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t t
231 snex 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
232231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
233 txrest 17665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 t t t
234184, 184, 232, 23, 233syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 t t t
235 restsn2 17237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TopOn t
23663, 22, 235sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 t
237 pwsn 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
238 indiscon 17483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
239237, 238eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
240236, 239syl6eqel 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 t
241 txcon 17723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 t t t t
242240, 72, 241syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 t t
243234, 242eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t
2441, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 24997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 t
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