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Theorem cvmlift3lem2 25009
Description: Lemma for cvmlift2 25005. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )
Distinct variable groups:    z, f,
g    f, J, g    f, F, g, z    B, f, g, z    f, X, g, z    f, G, g, z    C, f, g, z    ph, f    f, K, g, z    P, f, g, z    f, O, g, z    f, Y, g, z
Allowed substitution hints:    ph( z, g)    J( z)

Proof of Theorem cvmlift3lem2
Dummy variables  w  a  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
21adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  K  e. SCon )
3 sconpcon 24916 . . . 4  |-  ( K  e. SCon  ->  K  e. PCon )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  K  e. PCon )
5 cvmlift3.o . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
65adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  O  e.  Y )
7 simpr 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  X  e.  Y )
8 cvmlift3.y . . . 4  |-  Y  = 
U. K
98pconcn 24913 . . 3  |-  ( ( K  e. PCon  /\  O  e.  Y  /\  X  e.  Y )  ->  E. a  e.  ( II  Cn  K
) ( ( a `
 0 )  =  O  /\  ( a `
 1 )  =  X ) )
104, 6, 7, 9syl3anc 1185 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E. a  e.  ( II  Cn  K
) ( ( a `
 0 )  =  O  /\  ( a `
 1 )  =  X ) )
11 cvmlift3.b . . . . . . . . 9  |-  B  = 
U. C
12 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
13 cvmlift3.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
1413ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
15 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
a  e.  ( II 
Cn  K ) )
16 cvmlift3.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
1716ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
18 cnco 17332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  a
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
1915, 17, 18syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( G  o.  a
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
20 cvmlift3.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
2120ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  P  e.  B )
22 simprrl 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( a `  0
)  =  O )
2322fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( G `  (
a `  0 )
)  =  ( G `
 O ) )
24 iiuni 18913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
2524, 8cnf 17312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( II  Cn  K )  ->  a : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
2615, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
a : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
27 0elunit 11017 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
28 fvco3 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  a ) `  0 )  =  ( G `  (
a `  0 )
) )
2926, 27, 28sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( G  o.  a ) `  0
)  =  ( G `
 ( a ` 
0 ) ) )
30 cvmlift3.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
3130ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
3223, 29, 313eqtr4rd 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( F `  P
)  =  ( ( G  o.  a ) `
 0 ) )
3311, 12, 14, 19, 21, 32cvmliftiota 24990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  0 )  =  P ) )
3433simp1d 970 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C ) )
3524, 11cnf 17312 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B )
37 1elunit 11018 . . . . . 6  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
38 ffvelrn 5870 . . . . . 6  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  e.  B )
3936, 37, 38sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  e.  B
)
40 simprrr 743 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( a `  1
)  =  X )
41 eqidd 2439 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  -> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
42 fveq1 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  0 )  =  ( a ` 
0 ) )
4342eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  0
)  =  O  <->  ( a `  0 )  =  O ) )
44 fveq1 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  1 )  =  ( a ` 
1 ) )
4544eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  1
)  =  X  <->  ( a `  1 )  =  X ) )
46 coeq2 5033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  a  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  a ) )
4746eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  a  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a ) ) )
4847anbi1d 687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) )
4948riotabidv 6553 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  a  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) )
5049fveq1d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
5150eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  <->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
5243, 45, 513anbi123d 1255 . . . . . . 7  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  <->  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) ) )
5352rspcev 3054 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
5415, 22, 40, 41, 53syl13anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
5513ad4antr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
561ad4antr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  K  e. SCon )
57 cvmlift3.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
5857ad4antr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
595ad4antr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  O  e.  Y )
6016ad4antr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J
) )
6120ad4antr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  P  e.  B )
6230ad4antr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  O ) )
6315ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  a  e.  ( II  Cn  K
) )
6422ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
a `  0 )  =  O )
65 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  h  e.  ( II  Cn  K
) )
66 simprr1 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
h `  0 )  =  O )
6740ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
a `  1 )  =  X )
68 simprr2 1007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
h `  1 )  =  X )
6967, 68eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
a `  1 )  =  ( h ` 
1 ) )
7011, 8, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 69cvmlift3lem1 25008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
71 simprr3 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )
7270, 71eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
a `  0 )  =  O  /\  (
a `  1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( (
h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )
7372rexlimdvaa 2833 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  ( a  e.  ( II  Cn  K )  /\  ( ( a `
 0 )  =  O  /\  ( a `
 1 )  =  X ) ) )  /\  w  e.  B
)  ->  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) )
7473ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) )
75 eqeq2 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) )
76753anbi3d 1261 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) ) )
7776rexbidv 2728 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) ) ) )
78 eqeq1 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
z  =  w  <->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) )
7978imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w )  <->  ( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
8079ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  ( A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  z  =  w )  <->  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
8177, 80anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  ->  (
( E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) )  <->  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  (
II  Cn  K )
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) ) ) )
8281rspcev 3054 . . . . 5  |-  ( ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  e.  B  /\  ( E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  a )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  (
II  Cn  K )
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  a )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  =  w ) ) )  ->  E. z  e.  B  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) ) )
8339, 54, 74, 82syl12anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  E. z  e.  B  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) ) )
84 fveq1 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  0 )  =  ( h ` 
0 ) )
8584eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  0
)  =  O  <->  ( h `  0 )  =  O ) )
86 fveq1 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  1 )  =  ( h ` 
1 ) )
8786eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  1
)  =  X  <->  ( h `  1 )  =  X ) )
88 coeq2 5033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  h ) )
8988eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h ) ) )
9089anbi1d 687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) )
9190riotabidv 6553 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) )
9291fveq1d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
9392eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )
9485, 87, 933anbi123d 1255 . . . . . . 7  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
9594cbvrexv 2935 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ( II 
Cn  K ) ( ( f `  0
)  =  O  /\  ( f `  1
)  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )
96 eqeq2 2447 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) )
97963anbi3d 1261 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w ) ) )
9897rexbidv 2728 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  ( E. h  e.  (
II  Cn  K )
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
9995, 98syl5bb 250 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  w ) ) )
10099reu8 3132 . . . 4  |-  ( E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z )  <->  E. z  e.  B  ( E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  /\  A. w  e.  B  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  w )  ->  z  =  w ) ) )
10183, 100sylibr 205 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
a  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X ) ) )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )
102101rexlimdvaa 2833 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( E. a  e.  (
II  Cn  K )
( ( a ` 
0 )  =  O  /\  ( a ` 
1 )  =  X )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
10310, 102mpd 15 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   E!wreu 2709   U.cuni 4017    o. ccom 4884   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   iota_crio 6544   0cc0 8992   1c1 8993   [,]cicc 10921    Cn ccn 17290  𝑛Locally cnlly 17530   IIcii 18907  PConcpcon 24908  SConcscon 24909   CovMap ccvm 24944
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem3  25010  cvmlift3lem4  25011
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-cmp 17452  df-con 17477  df-lly 17531  df-nlly 17532  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-ii 18909  df-htpy 18997  df-phtpy 18998  df-phtpc 19019  df-pco 19032  df-pcon 24910  df-scon 24911  df-cvm 24945
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