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Theorem cvmlift3lem4 24966
Description: Lemma for cvmlift2 24960. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
cvmlift3.h  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) )
Distinct variable groups:    z, f, A    f, g, z, x   
f, J    x, g, J    f, F, g    x, z, F    f, H, g, x, z    B, f, g, x, z    f, X, g, x, z    f, G, g, x, z    C, f, g, x, z    ph, f, x    f, K, g, x, z    P, f, g, x, z    f, O, g, x, z    f, Y, g, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, g)    A( x, g)    J( z)

Proof of Theorem cvmlift3lem4
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . . . 5  |-  B  = 
U. C
2 cvmlift3.y . . . . 5  |-  Y  = 
U. K
3 cvmlift3.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
4 cvmlift3.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
5 cvmlift3.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
6 cvmlift3.o . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
7 cvmlift3.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
8 cvmlift3.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
9 cvmlift3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
10 cvmlift3.h . . . . 5  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem3 24965 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : Y --> B )
1211ffvelrnda 5833 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( H `  X )  e.  B )
13 eleq1 2468 . . 3  |-  ( ( H `  X )  =  A  ->  (
( H `  X
)  e.  B  <->  A  e.  B ) )
1412, 13syl5ibcom 212 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  ->  A  e.  B )
)
15 eqid 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
163ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
17 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  K
) )
187ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J
) )
19 cnco 17288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  f
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
2017, 18, 19syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( G  o.  f )  e.  ( II  Cn  J ) )
218ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  P  e.  B )
22 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( f `  0 )  =  O )
2322fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( G `  ( f `  0
) )  =  ( G `  O ) )
24 iiuni 18868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
2524, 2cnf 17268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( II  Cn  K )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
2617, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> Y )
27 0elunit 10975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
28 fvco3 5763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  f ) `  0 )  =  ( G `  (
f `  0 )
) )
2926, 27, 28sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( ( G  o.  f ) `  0 )  =  ( G `  (
f `  0 )
) )
309ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  O ) )
3123, 29, 303eqtr4rd 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( F `  P )  =  ( ( G  o.  f
) `  0 )
)
321, 15, 16, 20, 21, 31cvmliftiota 24945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  e.  ( II 
Cn  C )  /\  ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) )  =  ( G  o.  f )  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
0 )  =  P ) )
3332simp1d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C
) )
3424, 1cnf 17268 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
36 1elunit 10976 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
37 ffvelrn 5831 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  e.  B )
3835, 36, 37sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  e.  B )
39 eleq1 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A  -> 
( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  e.  B  <->  A  e.  B ) )
4038, 39syl5ibcom 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A  ->  A  e.  B )
)
4140expr 599 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( f `  0
)  =  O  -> 
( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A  ->  A  e.  B
) ) )
4241a1dd 44 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( f `  0
)  =  O  -> 
( ( f ` 
1 )  =  X  ->  ( ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A  ->  A  e.  B )
) ) )
43423impd 1167 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A )  ->  A  e.  B ) )
4443rexlimdva 2794 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A )  ->  A  e.  B ) )
45 eqeq2 2417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( f `  1
)  =  x  <->  ( f `  1 )  =  X ) )
46453anbi2d 1259 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
4746rexbidv 2691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
4847riotabidv 6514 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  x  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  =  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
49 riotaex 6516 . . . . . . . 8  |-  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  e.  _V
5048, 10, 49fvmpt 5769 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Y  ->  ( H `  X )  =  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
5150adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( H `  X )  =  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
5251eqeq1d 2416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  <->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  =  A ) )
5352adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  ( ph  /\  X  e.  Y ) )  -> 
( ( H `  X )  =  A  <-> 
( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )  =  A ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cvmlift3lem2 24964 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )
55 eqeq2 2417 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A ) )
56553anbi3d 1260 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) )
5756rexbidv 2691 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A ) ) )
5857riota2 6535 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  E! z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
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1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A )  <->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
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iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  =  A ) )
5954, 58sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  ( ph  /\  X  e.  Y ) )  -> 
( E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A )  <-> 
( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
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g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )  =  A ) )
6053, 59bitr4d 248 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  ( ph  /\  X  e.  Y ) )  -> 
( ( H `  X )  =  A  <->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A ) ) )
6160expcom 425 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( H `  X
)  =  A  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) ) )
6214, 44, 61pm5.21ndd 344 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2671   E!wreu 2672   U.cuni 3979    e. cmpt 4230    o. ccom 4845   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   iota_crio 6505   0cc0 8950   1c1 8951   [,]cicc 10879    Cn ccn 17246  𝑛Locally cnlly 17485   IIcii 18862  PConcpcon 24863  SConcscon 24864   CovMap ccvm 24899
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem5  24967  cvmlift3lem6  24968  cvmlift3lem7  24969  cvmlift3lem9  24971
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-ec 6870  df-map 6983  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-sum 12439  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-cmp 17408  df-con 17432  df-lly 17486  df-nlly 17487  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-ii 18864  df-htpy 18952  df-phtpy 18953  df-phtpc 18974  df-pco 18987  df-pcon 24865  df-scon 24866  df-cvm 24900
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