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Theorem cvmlift3lem4 25040
Description: Lemma for cvmlift2 25034. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
cvmlift3.h  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) )
Distinct variable groups:    z, f, A    f, g, z, x   
f, J    x, g, J    f, F, g    x, z, F    f, H, g, x, z    B, f, g, x, z    f, X, g, x, z    f, G, g, x, z    C, f, g, x, z    ph, f, x    f, K, g, x, z    P, f, g, x, z    f, O, g, x, z    f, Y, g, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, g)    A( x, g)    J( z)

Proof of Theorem cvmlift3lem4
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . . . 5  |-  B  = 
U. C
2 cvmlift3.y . . . . 5  |-  Y  = 
U. K
3 cvmlift3.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
4 cvmlift3.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
5 cvmlift3.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
6 cvmlift3.o . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
7 cvmlift3.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
8 cvmlift3.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
9 cvmlift3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
10 cvmlift3.h . . . . 5  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem3 25039 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : Y --> B )
1211ffvelrnda 5899 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( H `  X )  e.  B )
13 eleq1 2502 . . 3  |-  ( ( H `  X )  =  A  ->  (
( H `  X
)  e.  B  <->  A  e.  B ) )
1412, 13syl5ibcom 213 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  ->  A  e.  B )
)
15 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
163ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
17 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  K
) )
187ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J
) )
19 cnco 17361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  f
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
2017, 18, 19syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( G  o.  f )  e.  ( II  Cn  J ) )
218ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  P  e.  B )
22 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( f `  0 )  =  O )
2322fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( G `  ( f `  0
) )  =  ( G `  O ) )
24 iiuni 18942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
2524, 2cnf 17341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( II  Cn  K )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
2617, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> Y )
27 0elunit 11046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
28 fvco3 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  f ) `  0 )  =  ( G `  (
f `  0 )
) )
2926, 27, 28sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( ( G  o.  f ) `  0 )  =  ( G `  (
f `  0 )
) )
309ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  O ) )
3123, 29, 303eqtr4rd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( F `  P )  =  ( ( G  o.  f
) `  0 )
)
321, 15, 16, 20, 21, 31cvmliftiota 25019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  e.  ( II 
Cn  C )  /\  ( F  o.  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) )  =  ( G  o.  f )  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
0 )  =  P ) )
3332simp1d 970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C
) )
3424, 1cnf 17341 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  ( II  Cn  C )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1
) --> B )
36 1elunit 11047 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
37 ffvelrn 5897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  e.  B )
3835, 36, 37sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) ) `  1 )  e.  B )
39 eleq1 2502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A  -> 
( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  e.  B  <->  A  e.  B ) )
4038, 39syl5ibcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( f `  0
)  =  O ) )  ->  ( (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A  ->  A  e.  B )
)
4140expr 600 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( f `  0
)  =  O  -> 
( ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A  ->  A  e.  B
) ) )
4241a1dd 45 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( f `  0
)  =  O  -> 
( ( f ` 
1 )  =  X  ->  ( ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A  ->  A  e.  B )
) ) )
43423impd 1168 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  Y )  /\  f  e.  ( II  Cn  K
) )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A )  ->  A  e.  B ) )
4443rexlimdva 2836 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A )  ->  A  e.  B ) )
45 eqeq2 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( f `  1
)  =  x  <->  ( f `  1 )  =  X ) )
46453anbi2d 1260 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
4746rexbidv 2732 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
4847riotabidv 6580 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  x  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  =  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
49 riotaex 6582 . . . . . . . 8  |-  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  e.  _V
5048, 10, 49fvmpt 5835 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Y  ->  ( H `  X )  =  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
5150adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( H `  X )  =  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) ) )
5251eqeq1d 2450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  <->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  =  A ) )
5352adantl 454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  ( ph  /\  X  e.  Y ) )  -> 
( ( H `  X )  =  A  <-> 
( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )  =  A ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cvmlift3lem2 25038 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E! z  e.  B  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f `  0 )  =  O  /\  (
f `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )
55 eqeq2 2451 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A ) )
56553anbi3d 1261 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) )
5756rexbidv 2732 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A ) ) )
5857riota2 6601 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  E! z  e.  B  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
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1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A )  <->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
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iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  z ) )  =  A ) )
5954, 58sylan2 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  ( ph  /\  X  e.  Y ) )  -> 
( E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A )  <-> 
( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
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g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) )  =  A ) )
6053, 59bitr4d 249 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  ( ph  /\  X  e.  Y ) )  -> 
( ( H `  X )  =  A  <->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  A ) ) )
6160expcom 426 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( H `  X
)  =  A  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) ) )
6214, 44, 61pm5.21ndd 345 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  A  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   E.wrex 2712   E!wreu 2713   U.cuni 4039    e. cmpt 4291    o. ccom 4911   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   iota_crio 6571   0cc0 9021   1c1 9022   [,]cicc 10950    Cn ccn 17319  𝑛Locally cnlly 17559   IIcii 18936  PConcpcon 24937  SConcscon 24938   CovMap ccvm 24973
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem5  25041  cvmlift3lem6  25042  cvmlift3lem7  25043  cvmlift3lem9  25045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-ec 6936  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-sum 12511  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-cmp 17481  df-con 17506  df-lly 17560  df-nlly 17561  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-ii 18938  df-htpy 19026  df-phtpy 19027  df-phtpc 19048  df-pco 19061  df-pcon 24939  df-scon 24940  df-cvm 24974
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