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Theorem cvmlift3lem6 23855
Description: Lemma for cvmlift3 23859. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
cvmlift3.h  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
cvmlift3lem7.s  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmlift3lem7.1  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  A )
cvmlift3lem7.2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( S `
 A ) )
cvmlift3lem7.3  |-  ( ph  ->  M  C_  ( `' G " A ) )
cvmlift3lem7.w  |-  W  =  ( iota_ b  e.  T
( H `  X
)  e.  b )
cvmlift3lem6.x  |-  ( ph  ->  X  e.  M )
cvmlift3lem6.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  M )
cvmlift3lem6.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( II 
Cn  K ) )
cvmlift3lem6.r  |-  R  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  Q )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
cvmlift3lem6.1  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 )  =  O  /\  ( Q ` 
1 )  =  X  /\  ( R ` 
1 )  =  ( H `  X ) ) )
cvmlift3lem6.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( II 
Cn  ( Kt  M ) ) )
cvmlift3lem6.2  |-  ( ph  ->  ( ( N ` 
0 )  =  X  /\  ( N ` 
1 )  =  Z ) )
cvmlift3lem6.i  |-  I  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  ( g ` 
0 )  =  ( H `  X ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem6  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  e.  W )
Distinct variable groups:    b, c,
d, f, k, s, z, A    f, g, I, z    g, b, x, J, c, d, f, k, s    F, b, c, d, f, g, k, s    x, z, F    f, M, g, x    f, N, g    H, b, c, d, f, g, x, z    Q, f, g    S, b, f, x    B, b, d, f, g, x, z    R, g    X, b, c, d, f, g, x, z    G, b, c, d, f, g, k, x, z    T, b, c, d, s   
f, Z, g, x, z    C, b, c, d, f, g, k, s, x, z    ph, f, x    K, b, c, f, g, x, z    P, b, c, d, f, g, x, z    O, b, c, f, g, x, z    f, Y, g, x, z    W, c, d, f, x
Allowed substitution hints:    ph( z, g, k, s, b, c, d)    A( x, g)    B( k, s, c)    P( k, s)    Q( x, z, k, s, b, c, d)    R( x, z, f, k, s, b, c, d)    S( z, g, k, s, c, d)    T( x, z, f, g, k)    G( s)    H( k, s)    I( x, k, s, b, c, d)    J( z)    K( k, s, d)    M( z, k, s, b, c, d)    N( x, z, k, s, b, c, d)    O( k, s, d)    W( z, g, k, s, b)    X( k, s)    Y( k, s, b, c, d)    Z( k, s, b, c, d)

Proof of Theorem cvmlift3lem6
StepHypRef Expression
1 cvmlift3lem6.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( II 
Cn  K ) )
2 cvmlift3.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
3 scontop 23759 . . . . . . . 8  |-  ( K  e. SCon  ->  K  e.  Top )
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
5 cnrest2r 17015 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  (
II  Cn  ( Kt  M
) )  C_  (
II  Cn  K )
)
64, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( II  Cn  ( Kt  M ) )  C_  ( II  Cn  K
) )
7 cvmlift3lem6.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( II 
Cn  ( Kt  M ) ) )
86, 7sseldd 3181 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( II 
Cn  K ) )
9 cvmlift3lem6.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 )  =  O  /\  ( Q ` 
1 )  =  X  /\  ( R ` 
1 )  =  ( H `  X ) ) )
109simp2d 968 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q `  1
)  =  X )
11 cvmlift3lem6.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N ` 
0 )  =  X  /\  ( N ` 
1 )  =  Z ) )
1211simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  0
)  =  X )
1310, 12eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  1
)  =  ( N `
 0 ) )
141, 8, 13pcocn 18515 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q ( *p
`  K ) N )  e.  ( II 
Cn  K ) )
151, 8pco0 18512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `  0
)  =  ( Q `
 0 ) )
169simp1d 967 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  O )
1715, 16eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `  0
)  =  O )
181, 8pco1 18513 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `  1
)  =  ( N `
 1 ) )
1911simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  1
)  =  Z )
2018, 19eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `  1
)  =  Z )
21 cvmlift3.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  = 
U. C
22 cvmlift3lem6.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  Q )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
23 cvmlift3.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
24 cvmlift3.g . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
25 cnco 16995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  Q
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
261, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  o.  Q
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
27 cvmlift3.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
2816fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  ( Q `  0 )
)  =  ( G `
 O ) )
29 iiuni 18385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
30 cvmlift3.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  = 
U. K
3129, 30cnf 16976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q  e.  ( II  Cn  K )  ->  Q : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
321, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
33 0elunit 10754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
34 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  Q ) `  0 )  =  ( G `  ( Q `  0 )
) )
3532, 33, 34sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  Q ) `  0
)  =  ( G `
 ( Q ` 
0 ) ) )
36 cvmlift3.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
3728, 35, 363eqtr4rd 2326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( ( G  o.  Q ) `
 0 ) )
3821, 22, 23, 26, 27, 37cvmliftiota 23832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  R )  =  ( G  o.  Q )  /\  ( R ` 
0 )  =  P ) )
3938simp2d 968 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  o.  R
)  =  ( G  o.  Q ) )
40 cvmlift3lem6.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  ( g ` 
0 )  =  ( H `  X ) ) )
41 cnco 16995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  N
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
428, 24, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  o.  N
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
43 cvmlift3.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
44 cvmlift3.o . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
45 cvmlift3.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
4621, 30, 23, 2, 43, 44, 24, 27, 36, 45cvmlift3lem3 23852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  H : Y --> B )
47 cvmlift3lem7.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  C_  ( `' G " A ) )
48 cnvimass 5033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' G " A ) 
C_  dom  G
49 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. J  =  U. J
5030, 49cnf 16976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  ( K  Cn  J )  ->  G : Y --> U. J )
5124, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : Y --> U. J
)
52 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : Y --> U. J  ->  dom  G  =  Y )
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  G  =  Y )
5448, 53syl5sseq 3226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' G " A )  C_  Y
)
5547, 54sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  C_  Y )
56 cvmlift3lem6.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  M )
5755, 56sseldd 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
58 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H : Y --> B  /\  X  e.  Y )  ->  ( H `  X
)  e.  B )
5946, 57, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( H `  X
)  e.  B )
6012fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  ( N `  0 )
)  =  ( G `
 X ) )
6129, 30cnf 16976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( II  Cn  K )  ->  N : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
628, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
63 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  N ) `  0 )  =  ( G `  ( N `  0 )
) )
6462, 33, 63sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  N ) `  0
)  =  ( G `
 ( N ` 
0 ) ) )
65 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H : Y --> B  /\  X  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  H ) `  X
)  =  ( F `
 ( H `  X ) ) )
6646, 57, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  H ) `  X
)  =  ( F `
 ( H `  X ) ) )
6721, 30, 23, 2, 43, 44, 24, 27, 36, 45cvmlift3lem5 23854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
)  =  G )
6867fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  H ) `  X
)  =  ( G `
 X ) )
6966, 68eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  X )
)  =  ( G `
 X ) )
7060, 64, 693eqtr4rd 2326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  X )
)  =  ( ( G  o.  N ) `
 0 ) )
7121, 40, 23, 42, 59, 70cvmliftiota 23832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  I )  =  ( G  o.  N )  /\  ( I ` 
0 )  =  ( H `  X ) ) )
7271simp2d 968 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  o.  I
)  =  ( G  o.  N ) )
7339, 72oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  R ) ( *p
`  J ) ( F  o.  I ) )  =  ( ( G  o.  Q ) ( *p `  J
) ( G  o.  N ) ) )
7438simp1d 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  ( II 
Cn  C ) )
7571simp1d 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  C ) )
769simp3d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R `  1
)  =  ( H `
 X ) )
7771simp3d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  ( H `
 X ) )
7876, 77eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R `  1
)  =  ( I `
 0 ) )
79 cvmcn 23793 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
8023, 79syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C  Cn  J ) )
8174, 75, 78, 80copco 18516 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  o.  ( R ( *p `  C ) I ) )  =  ( ( F  o.  R ) ( *p `  J
) ( F  o.  I ) ) )
821, 8, 13, 24copco 18516 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  =  ( ( G  o.  Q ) ( *p `  J
) ( G  o.  N ) ) )
8373, 81, 823eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  o.  ( R ( *p `  C ) I ) )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) ) )
8474, 75pco0 18512 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R ( *p `  C ) I ) `  0
)  =  ( R `
 0 ) )
8538simp3d 969 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R `  0
)  =  P )
8684, 85eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R ( *p `  C ) I ) `  0
)  =  P )
8774, 75, 78pcocn 18515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R ( *p
`  C ) I )  e.  ( II 
Cn  C ) )
88 cnco 16995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Q ( *p
`  K ) N )  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
8914, 24, 88syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
9017fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( Q ( *p
`  K ) N ) `  0 ) )  =  ( G `
 O ) )
9129, 30cnf 16976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q ( *p `  K ) N )  e.  ( II  Cn  K )  ->  ( Q ( *p `  K ) N ) : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
9214, 91syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q ( *p
`  K ) N ) : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
93 fvco3 5596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Q ( *p
`  K ) N ) : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  ( Q
( *p `  K
) N ) ) `
 0 )  =  ( G `  (
( Q ( *p
`  K ) N ) `  0 ) ) )
9492, 33, 93sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) ) `  0 )  =  ( G `  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `  0
) ) )
9590, 94, 363eqtr4rd 2326 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) ) `
 0 ) )
9621cvmlift 23830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )  /\  ( P  e.  B  /\  ( F `
 P )  =  ( ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) ) `  0 ) ) )  ->  E! g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) )
9723, 89, 27, 95, 96syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E! g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
98 coeq2 4842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( R ( *p `  C ) I )  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  ( R ( *p `  C ) I ) ) )
9998eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( R ( *p `  C ) I )  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  <->  ( F  o.  ( R ( *p
`  C ) I ) )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) ) ) )
100 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( R ( *p `  C ) I )  ->  (
g `  0 )  =  ( ( R ( *p `  C
) I ) ` 
0 ) )
101100eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( R ( *p `  C ) I )  ->  (
( g `  0
)  =  P  <->  ( ( R ( *p `  C ) I ) `
 0 )  =  P ) )
10299, 101anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( R ( *p `  C ) I )  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  ( R ( *p `  C ) I ) )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( ( R ( *p `  C ) I ) `
 0 )  =  P ) ) )
103102riota2 6327 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R ( *p
`  C ) I )  e.  ( II 
Cn  C )  /\  E! g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  ->  (
( ( F  o.  ( R ( *p `  C ) I ) )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( ( R ( *p `  C ) I ) `  0
)  =  P )  <-> 
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  =  ( R ( *p `  C ) I ) ) )
10487, 97, 103syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  o.  ( R ( *p `  C ) I ) )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( ( R ( *p `  C ) I ) `
 0 )  =  P )  <->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) )  =  ( R ( *p
`  C ) I ) ) )
10583, 86, 104mpbi2and 887 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  =  ( R ( *p `  C ) I ) )
106105fveq1d 5527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( R ( *p
`  C ) I ) `  1 ) )
10774, 75pco1 18513 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R ( *p `  C ) I ) `  1
)  =  ( I `
 1 ) )
108106, 107eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( I `  1 ) )
109 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
f `  0 )  =  ( ( Q ( *p `  K
) N ) ` 
0 ) )
110109eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
( f `  0
)  =  O  <->  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `
 0 )  =  O ) )
111 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
f `  1 )  =  ( ( Q ( *p `  K
) N ) ` 
1 ) )
112111eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
( f `  1
)  =  Z  <->  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `
 1 )  =  Z ) )
113 coeq2 4842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) ) )
114113eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) ) ) )
115114anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) ) )
116115riotabidv 6306 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) ) )
117116fveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
118117eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( I `  1 )  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( I `  1 ) ) )
119110, 112, 1183anbi123d 1252 . . . . 5  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  Z  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( I `  1 ) )  <->  ( ( ( Q ( *p `  K ) N ) `
 0 )  =  O  /\  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `
 1 )  =  Z  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( I `
 1 ) ) ) )
120119rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( ( Q ( *p
`  K ) N )  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( ( Q ( *p `  K
) N ) ` 
0 )  =  O  /\  ( ( Q ( *p `  K
) N ) ` 
1 )  =  Z  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( I `  1 ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  Z  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( I `
 1 ) ) )
12114, 17, 20, 108, 120syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  Z  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( I `  1 ) ) )
122 cvmlift3lem6.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  M )
12355, 122sseldd 3181 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  Y )
12421, 30, 23, 2, 43, 44, 24, 27, 36, 45cvmlift3lem4 23853 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Z  e.  Y )  ->  (
( H `  Z
)  =  ( I `
 1 )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  Z  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( I `
 1 ) ) ) )
125123, 124mpdan 649 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Z )  =  ( I `  1 )  <->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  Z  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( I `  1 ) ) ) )
126121, 125mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  ( I `
 1 ) )
127 iicon 18391 . . . . 5  |-  II  e.  Con
128127a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  II  e.  Con )
129 cvmtop1 23791 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
13023, 129syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Top )
13121toptopon 16671 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  Top  <->  C  e.  (TopOn `  B ) )
132130, 131sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  (TopOn `  B ) )
13372rneqd 4906 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  ( F  o.  I )  =  ran  ( G  o.  N
) )
134 rnco2 5180 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( F  o.  I )  =  ( F " ran  I )
135 rnco2 5180 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( G  o.  N )  =  ( G " ran  N )
136133, 134, 1353eqtr3g 2338 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F " ran  I )  =  ( G " ran  N
) )
137 iitopon 18383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
138137a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
13930toptopon 16671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
1404, 139sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
141 resttopon 16892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  M  C_  Y )  ->  ( Kt  M )  e.  (TopOn `  M ) )
142140, 55, 141syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Kt  M )  e.  (TopOn `  M ) )
143 cnf2 16979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( Kt  M )  e.  (TopOn `  M )  /\  N  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) )  ->  N : ( 0 [,] 1 ) --> M )
144138, 142, 7, 143syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N : ( 0 [,] 1 ) --> M )
145 frn 5395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N : ( 0 [,] 1 ) --> M  ->  ran  N  C_  M )
146144, 145syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  N  C_  M
)
147146, 47sstrd 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  N  C_  ( `' G " A ) )
148 ffun 5391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : Y --> U. J  ->  Fun  G )
14951, 148syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  G )
150147, 48syl6ss 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  N  C_  dom  G )
151 funimass3 5641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  G  /\  ran  N 
C_  dom  G )  ->  ( ( G " ran  N )  C_  A  <->  ran 
N  C_  ( `' G " A ) ) )
152149, 150, 151syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G " ran  N )  C_  A  <->  ran 
N  C_  ( `' G " A ) ) )
153147, 152mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G " ran  N )  C_  A )
154136, 153eqsstrd 3212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F " ran  I )  C_  A
)
15521, 49cnf 16976 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> U. J )
15680, 155syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : B --> U. J
)
157 ffun 5391 . . . . . . . . 9  |-  ( F : B --> U. J  ->  Fun  F )
158156, 157syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Fun  F )
15929, 21cnf 16976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( II  Cn  C )  ->  I : ( 0 [,] 1 ) --> B )
16075, 159syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I : ( 0 [,] 1 ) --> B )
161 frn 5395 . . . . . . . . . 10  |-  ( I : ( 0 [,] 1 ) --> B  ->  ran  I  C_  B )
162160, 161syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  I  C_  B
)
163 fdm 5393 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : B --> U. J  ->  dom  F  =  B )
164156, 163syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  B )
165162, 164sseqtr4d 3215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  I  C_  dom  F )
166 funimass3 5641 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  ran  I  C_  dom  F )  ->  ( ( F
" ran  I )  C_  A  <->  ran  I  C_  ( `' F " A ) ) )
167158, 165, 166syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F " ran  I )  C_  A  <->  ran  I  C_  ( `' F " A ) ) )
168154, 167mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  I  C_  ( `' F " A ) )
169 cnvimass 5033 . . . . . . 7  |-  ( `' F " A ) 
C_  dom  F
170169, 164syl5sseq 3226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F " A )  C_  B
)
171 cnrest2 17014 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  I  C_  ( `' F " A )  /\  ( `' F " A ) 
C_  B )  -> 
( I  e.  ( II  Cn  C )  <-> 
I  e.  ( II 
Cn  ( Ct  ( `' F " A ) ) ) ) )
172132, 168, 170, 171syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  C )  <-> 
I  e.  ( II 
Cn  ( Ct  ( `' F " A ) ) ) ) )
17375, 172mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  ( Ct  ( `' F " A ) ) ) )
174 cvmlift3lem7.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  ( S `
 A ) )
175 cvmlift3lem7.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
176175cvmsss 23798 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( S `  A )  ->  T  C_  C )
177174, 176syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  C_  C )
178 cvmlift3lem7.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  A )
17969, 178eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  X )
)  e.  A )
180 cvmlift3lem7.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( iota_ b  e.  T
( H `  X
)  e.  b )
181175, 21, 180cvmsiota 23808 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( T  e.  ( S `  A )  /\  ( H `  X )  e.  B  /\  ( F `  ( H `  X ) )  e.  A ) )  -> 
( W  e.  T  /\  ( H `  X
)  e.  W ) )
18223, 174, 59, 179, 181syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( W  e.  T  /\  ( H `  X
)  e.  W ) )
183182simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  T )
184177, 183sseldd 3181 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  C )
185 elssuni 3855 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  T  ->  W  C_ 
U. T )
186183, 185syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  C_  U. T )
187175cvmsuni 23800 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( S `  A )  ->  U. T  =  ( `' F " A ) )
188174, 187syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. T  =  ( `' F " A ) )
189186, 188sseqtrd 3214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  C_  ( `' F " A ) )
190175cvmsrcl 23795 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( S `  A )  ->  A  e.  J )
191174, 190syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  J )
192 cnima 16994 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  A  e.  J )  ->  ( `' F " A )  e.  C
)
19380, 191, 192syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F " A )  e.  C
)
194 restopn2 16908 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " A )  e.  C )  -> 
( W  e.  ( Ct  ( `' F " A ) )  <->  ( W  e.  C  /\  W  C_  ( `' F " A ) ) ) )
195130, 193, 194syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ( Ct  ( `' F " A ) )  <->  ( W  e.  C  /\  W  C_  ( `' F " A ) ) ) )
196184, 189, 195mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  ( Ct  ( `' F " A ) ) )
197175cvmscld 23804 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  A
)  /\  W  e.  T )  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " A ) ) ) )
19823, 174, 183, 197syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " A ) ) ) )
19933a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )
200182simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  X
)  e.  W )
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)  e.  W )
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203 1elunit 10755 . . 3  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
204 ffvelrn 5663 . . 3  |-  ( ( I : ( 0 [,] 1 ) --> W  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( I `  1 )  e.  W )
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)  e.  W )
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)  e.  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   0cc0 8737   1c1 8738   [,]cicc 10659   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753    Cn ccn 16954   Conccon 17137  𝑛Locally cnlly 17191    Homeo chmeo 17444   IIcii 18379   *pcpco 18498  PConcpcon 23750  SConcscon 23751   CovMap ccvm 23786
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem7  23856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-con 17138  df-lly 17192  df-nlly 17193  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-ii 18381  df-htpy 18468  df-phtpy 18469  df-phtpc 18490  df-pco 18503  df-pcon 23752  df-scon 23753  df-cvm 23787
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