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Theorem cvmlift3lem6 25011
Description: Lemma for cvmlift3 25015. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
cvmlift3.h  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
cvmlift3lem7.s  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmlift3lem7.1  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  A )
cvmlift3lem7.2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( S `
 A ) )
cvmlift3lem7.3  |-  ( ph  ->  M  C_  ( `' G " A ) )
cvmlift3lem7.w  |-  W  =  ( iota_ b  e.  T
( H `  X
)  e.  b )
cvmlift3lem6.x  |-  ( ph  ->  X  e.  M )
cvmlift3lem6.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  M )
cvmlift3lem6.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( II 
Cn  K ) )
cvmlift3lem6.r  |-  R  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  Q )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
cvmlift3lem6.1  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 )  =  O  /\  ( Q ` 
1 )  =  X  /\  ( R ` 
1 )  =  ( H `  X ) ) )
cvmlift3lem6.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( II 
Cn  ( Kt  M ) ) )
cvmlift3lem6.2  |-  ( ph  ->  ( ( N ` 
0 )  =  X  /\  ( N ` 
1 )  =  Z ) )
cvmlift3lem6.i  |-  I  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  ( g ` 
0 )  =  ( H `  X ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem6  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  e.  W )
Distinct variable groups:    b, c,
d, f, k, s, z, A    f, g, I, z    g, b, x, J, c, d, f, k, s    F, b, c, d, f, g, k, s    x, z, F    f, M, g, x    f, N, g    H, b, c, d, f, g, x, z    Q, f, g    S, b, f, x    B, b, d, f, g, x, z    R, g    X, b, c, d, f, g, x, z    G, b, c, d, f, g, k, x, z    T, b, c, d, s   
f, Z, g, x, z    C, b, c, d, f, g, k, s, x, z    ph, f, x    K, b, c, f, g, x, z    P, b, c, d, f, g, x, z    O, b, c, f, g, x, z    f, Y, g, x, z    W, c, d, f, x
Allowed substitution hints:    ph( z, g, k, s, b, c, d)    A( x, g)    B( k, s, c)    P( k, s)    Q( x, z, k, s, b, c, d)    R( x, z, f, k, s, b, c, d)    S( z, g, k, s, c, d)    T( x, z, f, g, k)    G( s)    H( k, s)    I( x, k, s, b, c, d)    J( z)    K( k, s, d)    M( z, k, s, b, c, d)    N( x, z, k, s, b, c, d)    O( k, s, d)    W( z, g, k, s, b)    X( k, s)    Y( k, s, b, c, d)    Z( k, s, b, c, d)

Proof of Theorem cvmlift3lem6
StepHypRef Expression
1 cvmlift3lem6.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( II 
Cn  K ) )
2 cvmlift3.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
3 scontop 24915 . . . . . . . 8  |-  ( K  e. SCon  ->  K  e.  Top )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
5 cnrest2r 17351 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  (
II  Cn  ( Kt  M
) )  C_  (
II  Cn  K )
)
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( II  Cn  ( Kt  M ) )  C_  ( II  Cn  K
) )
7 cvmlift3lem6.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( II 
Cn  ( Kt  M ) ) )
86, 7sseldd 3349 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( II 
Cn  K ) )
9 cvmlift3lem6.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 )  =  O  /\  ( Q ` 
1 )  =  X  /\  ( R ` 
1 )  =  ( H `  X ) ) )
109simp2d 970 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q `  1
)  =  X )
11 cvmlift3lem6.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N ` 
0 )  =  X  /\  ( N ` 
1 )  =  Z ) )
1211simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  0
)  =  X )
1310, 12eqtr4d 2471 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  1
)  =  ( N `
 0 ) )
141, 8, 13pcocn 19042 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q ( *p
`  K ) N )  e.  ( II 
Cn  K ) )
151, 8pco0 19039 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `  0
)  =  ( Q `
 0 ) )
169simp1d 969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  O )
1715, 16eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `  0
)  =  O )
181, 8pco1 19040 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `  1
)  =  ( N `
 1 ) )
1911simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  1
)  =  Z )
2018, 19eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `  1
)  =  Z )
21 cvmlift3.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  = 
U. C
22 cvmlift3lem6.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  Q )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
23 cvmlift3.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
24 cvmlift3.g . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
25 cnco 17330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  Q
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
261, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  o.  Q
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
27 cvmlift3.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
2816fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  ( Q `  0 )
)  =  ( G `
 O ) )
29 iiuni 18911 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
30 cvmlift3.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  = 
U. K
3129, 30cnf 17310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q  e.  ( II  Cn  K )  ->  Q : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
321, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
33 0elunit 11015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
34 fvco3 5800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  Q ) `  0 )  =  ( G `  ( Q `  0 )
) )
3532, 33, 34sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  Q ) `  0
)  =  ( G `
 ( Q ` 
0 ) ) )
36 cvmlift3.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
3728, 35, 363eqtr4rd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( ( G  o.  Q ) `
 0 ) )
3821, 22, 23, 26, 27, 37cvmliftiota 24988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  R )  =  ( G  o.  Q )  /\  ( R ` 
0 )  =  P ) )
3938simp2d 970 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  o.  R
)  =  ( G  o.  Q ) )
40 cvmlift3lem6.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  N )  /\  ( g ` 
0 )  =  ( H `  X ) ) )
41 cnco 17330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  N
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
428, 24, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  o.  N
)  e.  ( II 
Cn  J ) )
43 cvmlift3.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
44 cvmlift3.o . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
45 cvmlift3.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
4621, 30, 23, 2, 43, 44, 24, 27, 36, 45cvmlift3lem3 25008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  H : Y --> B )
47 cvmlift3lem7.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  C_  ( `' G " A ) )
48 cnvimass 5224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' G " A ) 
C_  dom  G
49 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. J  =  U. J
5030, 49cnf 17310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  ( K  Cn  J )  ->  G : Y --> U. J )
5124, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : Y --> U. J
)
52 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : Y --> U. J  ->  dom  G  =  Y )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  G  =  Y )
5448, 53syl5sseq 3396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' G " A )  C_  Y
)
5547, 54sstrd 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  C_  Y )
56 cvmlift3lem6.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  M )
5755, 56sseldd 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
5846, 57ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( H `  X
)  e.  B )
5912fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  ( N `  0 )
)  =  ( G `
 X ) )
6029, 30cnf 17310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( II  Cn  K )  ->  N : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
618, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
62 fvco3 5800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  N ) `  0 )  =  ( G `  ( N `  0 )
) )
6361, 33, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  N ) `  0
)  =  ( G `
 ( N ` 
0 ) ) )
64 fvco3 5800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H : Y --> B  /\  X  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  H ) `  X
)  =  ( F `
 ( H `  X ) ) )
6546, 57, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  H ) `  X
)  =  ( F `
 ( H `  X ) ) )
6621, 30, 23, 2, 43, 44, 24, 27, 36, 45cvmlift3lem5 25010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
)  =  G )
6766fveq1d 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  H ) `  X
)  =  ( G `
 X ) )
6865, 67eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  X )
)  =  ( G `
 X ) )
6959, 63, 683eqtr4rd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  X )
)  =  ( ( G  o.  N ) `
 0 ) )
7021, 40, 23, 42, 58, 69cvmliftiota 24988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  I )  =  ( G  o.  N )  /\  ( I ` 
0 )  =  ( H `  X ) ) )
7170simp2d 970 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  o.  I
)  =  ( G  o.  N ) )
7239, 71oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  R ) ( *p
`  J ) ( F  o.  I ) )  =  ( ( G  o.  Q ) ( *p `  J
) ( G  o.  N ) ) )
7338simp1d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  ( II 
Cn  C ) )
7470simp1d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  C ) )
759simp3d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R `  1
)  =  ( H `
 X ) )
7670simp3d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  ( H `
 X ) )
7775, 76eqtr4d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R `  1
)  =  ( I `
 0 ) )
78 cvmcn 24949 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
7923, 78syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C  Cn  J ) )
8073, 74, 77, 79copco 19043 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  o.  ( R ( *p `  C ) I ) )  =  ( ( F  o.  R ) ( *p `  J
) ( F  o.  I ) ) )
811, 8, 13, 24copco 19043 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  =  ( ( G  o.  Q ) ( *p `  J
) ( G  o.  N ) ) )
8272, 80, 813eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  o.  ( R ( *p `  C ) I ) )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) ) )
8373, 74pco0 19039 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R ( *p `  C ) I ) `  0
)  =  ( R `
 0 ) )
8438simp3d 971 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R `  0
)  =  P )
8583, 84eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R ( *p `  C ) I ) `  0
)  =  P )
8673, 74, 77pcocn 19042 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R ( *p
`  C ) I )  e.  ( II 
Cn  C ) )
87 cnco 17330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Q ( *p
`  K ) N )  e.  ( II 
Cn  K )  /\  G  e.  ( K  Cn  J ) )  -> 
( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
8814, 24, 87syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
8917fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  (
( Q ( *p
`  K ) N ) `  0 ) )  =  ( G `
 O ) )
9029, 30cnf 17310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q ( *p `  K ) N )  e.  ( II  Cn  K )  ->  ( Q ( *p `  K ) N ) : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
9114, 90syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q ( *p
`  K ) N ) : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
92 fvco3 5800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Q ( *p
`  K ) N ) : ( 0 [,] 1 ) --> Y  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( G  o.  ( Q
( *p `  K
) N ) ) `
 0 )  =  ( G `  (
( Q ( *p
`  K ) N ) `  0 ) ) )
9391, 33, 92sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) ) `  0 )  =  ( G `  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `  0
) ) )
9489, 93, 363eqtr4rd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) ) `
 0 ) )
9521cvmlift 24986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )  /\  ( P  e.  B  /\  ( F `
 P )  =  ( ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) ) `  0 ) ) )  ->  E! g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) )
9623, 88, 27, 94, 95syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E! g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
97 coeq2 5031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( R ( *p `  C ) I )  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  ( R ( *p `  C ) I ) ) )
9897eqeq1d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( R ( *p `  C ) I )  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  <->  ( F  o.  ( R ( *p
`  C ) I ) )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) ) ) )
99 fveq1 5727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( R ( *p `  C ) I )  ->  (
g `  0 )  =  ( ( R ( *p `  C
) I ) ` 
0 ) )
10099eqeq1d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( R ( *p `  C ) I )  ->  (
( g `  0
)  =  P  <->  ( ( R ( *p `  C ) I ) `
 0 )  =  P ) )
10198, 100anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( R ( *p `  C ) I )  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  ( R ( *p `  C ) I ) )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( ( R ( *p `  C ) I ) `
 0 )  =  P ) ) )
102101riota2 6572 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R ( *p
`  C ) I )  e.  ( II 
Cn  C )  /\  E! g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  ->  (
( ( F  o.  ( R ( *p `  C ) I ) )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( ( R ( *p `  C ) I ) `  0
)  =  P )  <-> 
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  =  ( R ( *p `  C ) I ) ) )
10386, 96, 102syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  o.  ( R ( *p `  C ) I ) )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( ( R ( *p `  C ) I ) `
 0 )  =  P )  <->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) )  =  ( R ( *p
`  C ) I ) ) )
10482, 85, 103mpbi2and 888 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  =  ( R ( *p `  C ) I ) )
105104fveq1d 5730 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( ( R ( *p
`  C ) I ) `  1 ) )
10673, 74pco1 19040 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R ( *p `  C ) I ) `  1
)  =  ( I `
 1 ) )
107105, 106eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( I `  1 ) )
108 fveq1 5727 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
f `  0 )  =  ( ( Q ( *p `  K
) N ) ` 
0 ) )
109108eqeq1d 2444 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
( f `  0
)  =  O  <->  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `
 0 )  =  O ) )
110 fveq1 5727 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
f `  1 )  =  ( ( Q ( *p `  K
) N ) ` 
1 ) )
111110eqeq1d 2444 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
( f `  1
)  =  Z  <->  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `
 1 )  =  Z ) )
112 coeq2 5031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) ) )
113112eqeq2d 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) ) ) )
114113anbi1d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) ) )
115114riotabidv 6551 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) ) )
116115fveq1d 5730 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
117116eqeq1d 2444 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( I `  1 )  <-> 
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( I `  1 ) ) )
118109, 111, 1173anbi123d 1254 . . . . 5  |-  ( f  =  ( Q ( *p `  K ) N )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  Z  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( I `  1 ) )  <->  ( ( ( Q ( *p `  K ) N ) `
 0 )  =  O  /\  ( ( Q ( *p `  K ) N ) `
 1 )  =  Z  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K
) N ) )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( I `
 1 ) ) ) )
119118rspcev 3052 . . . 4  |-  ( ( ( Q ( *p
`  K ) N )  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( ( Q ( *p `  K
) N ) ` 
0 )  =  O  /\  ( ( Q ( *p `  K
) N ) ` 
1 )  =  Z  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  ( Q ( *p `  K ) N ) )  /\  ( g `
 0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( I `  1 ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  Z  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( I `
 1 ) ) )
12014, 17, 20, 107, 119syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  Z  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( I `  1 ) ) )
121 cvmlift3lem6.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  M )
12255, 121sseldd 3349 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  Y )
12321, 30, 23, 2, 43, 44, 24, 27, 36, 45cvmlift3lem4 25009 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Z  e.  Y )  ->  (
( H `  Z
)  =  ( I `
 1 )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  Z  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( I `
 1 ) ) ) )
124122, 123mpdan 650 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Z )  =  ( I `  1 )  <->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  Z  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( I `  1 ) ) ) )
125120, 124mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  ( I `
 1 ) )
126 iicon 18917 . . . . 5  |-  II  e.  Con
127126a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  II  e.  Con )
128 cvmtop1 24947 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
12923, 128syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Top )
13021toptopon 16998 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  Top  <->  C  e.  (TopOn `  B ) )
131129, 130sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  (TopOn `  B ) )
13271rneqd 5097 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  ( F  o.  I )  =  ran  ( G  o.  N
) )
133 rnco2 5377 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( F  o.  I )  =  ( F " ran  I )
134 rnco2 5377 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( G  o.  N )  =  ( G " ran  N )
135132, 133, 1343eqtr3g 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F " ran  I )  =  ( G " ran  N
) )
136 iitopon 18909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
13830toptopon 16998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
1394, 138sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
140 resttopon 17225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  M  C_  Y )  ->  ( Kt  M )  e.  (TopOn `  M ) )
141139, 55, 140syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Kt  M )  e.  (TopOn `  M ) )
142 cnf2 17313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( Kt  M )  e.  (TopOn `  M )  /\  N  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) )  ->  N : ( 0 [,] 1 ) --> M )
143137, 141, 7, 142syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N : ( 0 [,] 1 ) --> M )
144 frn 5597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N : ( 0 [,] 1 ) --> M  ->  ran  N  C_  M )
145143, 144syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  N  C_  M
)
146145, 47sstrd 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  N  C_  ( `' G " A ) )
147 ffun 5593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : Y --> U. J  ->  Fun  G )
14851, 147syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  G )
149146, 48syl6ss 3360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  N  C_  dom  G )
150 funimass3 5846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  G  /\  ran  N 
C_  dom  G )  ->  ( ( G " ran  N )  C_  A  <->  ran 
N  C_  ( `' G " A ) ) )
151148, 149, 150syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G " ran  N )  C_  A  <->  ran 
N  C_  ( `' G " A ) ) )
152146, 151mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G " ran  N )  C_  A )
153135, 152eqsstrd 3382 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F " ran  I )  C_  A
)
15421, 49cnf 17310 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> U. J )
15579, 154syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : B --> U. J
)
156 ffun 5593 . . . . . . . . 9  |-  ( F : B --> U. J  ->  Fun  F )
157155, 156syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Fun  F )
15829, 21cnf 17310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( II  Cn  C )  ->  I : ( 0 [,] 1 ) --> B )
15974, 158syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I : ( 0 [,] 1 ) --> B )
160 frn 5597 . . . . . . . . . 10  |-  ( I : ( 0 [,] 1 ) --> B  ->  ran  I  C_  B )
161159, 160syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  I  C_  B
)
162 fdm 5595 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : B --> U. J  ->  dom  F  =  B )
163155, 162syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  B )
164161, 163sseqtr4d 3385 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  I  C_  dom  F )
165 funimass3 5846 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  ran  I  C_  dom  F )  ->  ( ( F
" ran  I )  C_  A  <->  ran  I  C_  ( `' F " A ) ) )
166157, 164, 165syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F " ran  I )  C_  A  <->  ran  I  C_  ( `' F " A ) ) )
167153, 166mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  I  C_  ( `' F " A ) )
168 cnvimass 5224 . . . . . . 7  |-  ( `' F " A ) 
C_  dom  F
169168, 163syl5sseq 3396 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F " A )  C_  B
)
170 cnrest2 17350 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  I  C_  ( `' F " A )  /\  ( `' F " A ) 
C_  B )  -> 
( I  e.  ( II  Cn  C )  <-> 
I  e.  ( II 
Cn  ( Ct  ( `' F " A ) ) ) ) )
171131, 167, 169, 170syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  C )  <-> 
I  e.  ( II 
Cn  ( Ct  ( `' F " A ) ) ) ) )
17274, 171mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  ( Ct  ( `' F " A ) ) ) )
173 cvmlift3lem7.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  ( S `
 A ) )
174 cvmlift3lem7.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
175174cvmsss 24954 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( S `  A )  ->  T  C_  C )
176173, 175syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  C_  C )
177 cvmlift3lem7.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  A )
17868, 177eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  X )
)  e.  A )
179 cvmlift3lem7.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( iota_ b  e.  T
( H `  X
)  e.  b )
180174, 21, 179cvmsiota 24964 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( T  e.  ( S `  A )  /\  ( H `  X )  e.  B  /\  ( F `  ( H `  X ) )  e.  A ) )  -> 
( W  e.  T  /\  ( H `  X
)  e.  W ) )
18123, 173, 58, 178, 180syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( W  e.  T  /\  ( H `  X
)  e.  W ) )
182181simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  T )
183176, 182sseldd 3349 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  C )
184 elssuni 4043 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  T  ->  W  C_ 
U. T )
185182, 184syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  C_  U. T )
186174cvmsuni 24956 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( S `  A )  ->  U. T  =  ( `' F " A ) )
187173, 186syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. T  =  ( `' F " A ) )
188185, 187sseqtrd 3384 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  C_  ( `' F " A ) )
189174cvmsrcl 24951 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( S `  A )  ->  A  e.  J )
190173, 189syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  J )
191 cnima 17329 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  A  e.  J )  ->  ( `' F " A )  e.  C
)
19279, 190, 191syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F " A )  e.  C
)
193 restopn2 17241 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " A )  e.  C )  -> 
( W  e.  ( Ct  ( `' F " A ) )  <->  ( W  e.  C  /\  W  C_  ( `' F " A ) ) ) )
194129, 192, 193syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ( Ct  ( `' F " A ) )  <->  ( W  e.  C  /\  W  C_  ( `' F " A ) ) ) )
195183, 188, 194mpbir2and 889 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  ( Ct  ( `' F " A ) ) )
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)  /\  W  e.  T )  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " A ) ) ) )
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199181simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  X
)  e.  W )
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202 1elunit 11016 . . 3  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
203 ffvelrn 5868 . . 3  |-  ( ( I : ( 0 [,] 1 ) --> W  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( I `  1 )  e.  W )
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)  e.  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   E!wreu 2707   {crab 2709    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U.cuni 4015    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881    o. ccom 4882   Fun wfun 5448   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   iota_crio 6542   0cc0 8990   1c1 8991   [,]cicc 10919   ↾t crest 13648   Topctop 16958  TopOnctopon 16959   Clsdccld 17080    Cn ccn 17288   Conccon 17474  𝑛Locally cnlly 17528    Homeo chmeo 17785   IIcii 18905   *pcpco 19025  PConcpcon 24906  SConcscon 24907   CovMap ccvm 24942
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem7  25012
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-cmp 17450  df-con 17475  df-lly 17529  df-nlly 17530  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-ii 18907  df-htpy 18995  df-phtpy 18996  df-phtpc 19017  df-pco 19030  df-pcon 24908  df-scon 24909  df-cvm 24943
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