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Theorem cvmlift3lem7 23856
Description: Lemma for cvmlift3 23859. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
cvmlift3.h  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
cvmlift3lem7.s  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmlift3lem7.1  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  A )
cvmlift3lem7.2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( S `
 A ) )
cvmlift3lem7.3  |-  ( ph  ->  M  C_  ( `' G " A ) )
cvmlift3lem7.w  |-  W  =  ( iota_ b  e.  T
( H `  X
)  e.  b )
cvmlift3lem7.7  |-  ( ph  ->  ( Kt  M )  e. PCon )
cvmlift3lem7.4  |-  ( ph  ->  V  e.  K )
cvmlift3lem7.5  |-  ( ph  ->  V  C_  M )
cvmlift3lem7.6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem7  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `
 X ) )
Distinct variable groups:    b, c,
d, f, k, s, z, A    f, g,
z, b, x    J, b    g, c, x, J, d, f, k, s    F, b, c, d, f, g, k, s    x, z, F    f, M, g, x    H, b, c, d, f, g, x, z    S, b, f, x    B, b, d, f, g, x, z    X, b, c, d, f, g, x, z    G, b, c, d, f, g, k, x, z    T, b, c, d, s    C, b, c, d, f, g, k, s, x, z    ph, f, x    K, b, c, f, g, x, z    P, b, c, d, f, g, x, z    O, b, c, f, g, x, z    f, Y, g, x, z    W, c, d, f, x
Allowed substitution hints:    ph( z, g, k, s, b, c, d)    A( x, g)    B( k, s, c)    P( k, s)    S( z, g, k, s, c, d)    T( x, z, f, g, k)    G( s)    H( k, s)    J( z)    K( k, s, d)    M( z, k, s, b, c, d)    O( k, s, d)    V( x, z, f, g, k, s, b, c, d)    W( z, g, k, s, b)    X( k, s)    Y( k, s, b, c, d)

Proof of Theorem cvmlift3lem7
Dummy variables  a 
y  h  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . . 4  |-  B  = 
U. C
2 cvmlift3.y . . . 4  |-  Y  = 
U. K
3 cvmlift3lem7.s . . . 4  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
4 cvmlift3.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
5 cvmlift3.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
6 cvmlift3.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
7 cvmlift3.o . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
8 cvmlift3.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
9 cvmlift3.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
10 cvmlift3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
11 cvmlift3.h . . . . 5  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
121, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem3 23852 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : Y --> B )
131, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem5 23854 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
)  =  G )
1413, 8eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
)  e.  ( K  Cn  J ) )
15 scontop 23759 . . . . 5  |-  ( K  e. SCon  ->  K  e.  Top )
165, 15syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
17 cvmlift3lem7.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  C_  ( `' G " A ) )
18 cnvimass 5033 . . . . . . 7  |-  ( `' G " A ) 
C_  dom  G
19 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
202, 19cnf 16976 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( K  Cn  J )  ->  G : Y --> U. J )
21 fdm 5393 . . . . . . . 8  |-  ( G : Y --> U. J  ->  dom  G  =  Y )
228, 20, 213syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  G  =  Y )
2318, 22syl5sseq 3226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' G " A )  C_  Y
)
2417, 23sstrd 3189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  C_  Y )
25 cvmlift3lem7.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  C_  M )
26 cvmlift3lem7.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2725, 26sseldd 3181 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  M )
2824, 27sseldd 3181 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
29 cvmlift3lem7.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  ( S `
 A ) )
30 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( H : Y --> B  /\  X  e.  Y )  ->  ( H `  X
)  e.  B )
3112, 28, 30syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  X
)  e.  B )
32 fvco3 5596 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : Y --> B  /\  X  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  H ) `  X
)  =  ( F `
 ( H `  X ) ) )
3312, 28, 32syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  H ) `  X
)  =  ( F `
 ( H `  X ) ) )
3413fveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  H ) `  X
)  =  ( G `
 X ) )
3533, 34eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  X )
)  =  ( G `
 X ) )
36 cvmlift3lem7.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  A )
3735, 36eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  X )
)  e.  A )
38 cvmlift3lem7.w . . . . . 6  |-  W  =  ( iota_ b  e.  T
( H `  X
)  e.  b )
393, 1, 38cvmsiota 23808 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( T  e.  ( S `  A )  /\  ( H `  X )  e.  B  /\  ( F `  ( H `  X ) )  e.  A ) )  -> 
( W  e.  T  /\  ( H `  X
)  e.  W ) )
404, 29, 31, 37, 39syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  e.  T  /\  ( H `  X
)  e.  W ) )
41 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H `
 X )  =  ( H `  X
)
421, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem4 23853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  ( H `
 X )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) ) ) )
4341, 42mpbii 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) ) )
4428, 43mpdan 649 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X ) ) )
4544adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) ) )
46 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  0 )  =  ( h ` 
0 ) )
4746eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  0
)  =  O  <->  ( h `  0 )  =  O ) )
48 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  1 )  =  ( h ` 
1 ) )
4948eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  1
)  =  X  <->  ( h `  1 )  =  X ) )
50 coeq2 4842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  h ) )
5150eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h ) ) )
5251anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) )
5352riotabidv 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) )
54 coeq2 4842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  g  ->  ( F  o.  a )  =  ( F  o.  g ) )
5554eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  g  ->  (
( F  o.  a
)  =  ( G  o.  h )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h ) ) )
56 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  g  ->  (
a `  0 )  =  ( g ` 
0 ) )
5756eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  g  ->  (
( a `  0
)  =  P  <->  ( g `  0 )  =  P ) )
5855, 57anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  g  ->  (
( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) )
5958cbvriotav 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  (
a `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
6053, 59syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  (
a `  0 )  =  P ) ) )
6160fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ a  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
6261eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X )  <-> 
( ( iota_ a  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( a `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X ) ) )
6347, 49, 623anbi123d 1252 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X ) )  <->  ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ a  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) ) ) )
6463cbvrexv 2765 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  e.  ( II 
Cn  K ) ( ( f `  0
)  =  O  /\  ( f `  1
)  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X ) )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  (
a `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X ) ) )
6545, 64sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ a  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) ) )
66 cvmlift3lem7.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Kt  M )  e. PCon )
6766adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Kt  M )  e. PCon )
682restuni 16893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  M  C_  Y )  ->  M  =  U. ( Kt  M ) )
6916, 24, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =  U. ( Kt  M ) )
7027, 69eleqtrd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  U. ( Kt  M ) )
7170adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  X  e.  U. ( Kt  M ) )
7269eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  M  <->  y  e.  U. ( Kt  M ) ) )
7372biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  e.  U. ( Kt  M ) )
74 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. ( Kt  M )  =  U. ( Kt  M )
7574pconcn 23755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Kt  M )  e. PCon  /\  X  e.  U. ( Kt  M )  /\  y  e.  U. ( Kt  M ) )  ->  E. n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ( ( n `  0
)  =  X  /\  ( n `  1
)  =  y ) )
7667, 71, 73, 75syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  E. n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ( ( n `  0
)  =  X  /\  ( n `  1
)  =  y ) )
77 reeanv 2707 . . . . . . . 8  |-  ( E. h  e.  ( II 
Cn  K ) E. n  e.  ( II 
Cn  ( Kt  M ) ) ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) )  <->  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  E. n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ( ( n `  0
)  =  X  /\  ( n `  1
)  =  y ) ) )
784ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
795ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  K  e. SCon )
806ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
817ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  O  e.  Y
)
828ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
839ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  P  e.  B
)
8410ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  O ) )
8536ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  ( G `  X )  e.  A
)
8629ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  T  e.  ( S `  A ) )
8717ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  M  C_  ( `' G " A ) )
8827ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  X  e.  M
)
89 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  y  e.  M
)
90 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  h  e.  ( II  Cn  K ) )
91 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ a  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) ) )
92 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) )
93 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) )
9454eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  g  ->  (
( F  o.  a
)  =  ( G  o.  n )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  n ) ) )
9556eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  g  ->  (
( a `  0
)  =  ( H `
 X )  <->  ( g `  0 )  =  ( H `  X
) ) )
9694, 95anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  g  ->  (
( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  n )  /\  ( a ` 
0 )  =  ( H `  X ) )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  n
)  /\  ( g `  0 )  =  ( H `  X
) ) ) )
9796cbvriotav 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  n )  /\  (
a `  0 )  =  ( H `  X ) ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  n
)  /\  ( g `  0 )  =  ( H `  X
) ) )
981, 2, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 11, 3, 85, 86, 87, 38, 88, 89, 90, 59, 91, 92, 93, 97cvmlift3lem6 23855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  ( H `  y )  e.  W
)
9998ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  (
h  e.  ( II 
Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  ->  ( (
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  (
a `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X ) )  /\  ( ( n `  0 )  =  X  /\  (
n `  1 )  =  y ) )  ->  ( H `  y )  e.  W
) )
10099rexlimdvva 2674 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( E. h  e.  (
II  Cn  K ) E. n  e.  (
II  Cn  ( Kt  M
) ) ( ( ( h `  0
)  =  O  /\  ( h `  1
)  =  X  /\  ( ( iota_ a  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( a `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X ) )  /\  ( ( n `  0 )  =  X  /\  (
n `  1 )  =  y ) )  ->  ( H `  y )  e.  W
) )
10177, 100syl5bir 209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ a  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  E. n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ( ( n `  0
)  =  X  /\  ( n `  1
)  =  y ) )  ->  ( H `  y )  e.  W
) )
10265, 76, 101mp2and 660 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( H `  y )  e.  W )
103102ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  M  ( H `  y )  e.  W )
104 ffun 5391 . . . . . . 7  |-  ( H : Y --> B  ->  Fun  H )
10512, 104syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Fun  H )
106 fdm 5393 . . . . . . . 8  |-  ( H : Y --> B  ->  dom  H  =  Y )
10712, 106syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  H  =  Y )
10824, 107sseqtr4d 3215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  C_  dom  H )
109 funimass4 5573 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  H  /\  M  C_ 
dom  H )  -> 
( ( H " M )  C_  W  <->  A. y  e.  M  ( H `  y )  e.  W ) )
110105, 108, 109syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( H " M )  C_  W  <->  A. y  e.  M  ( H `  y )  e.  W ) )
111103, 110mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H " M
)  C_  W )
1121, 2, 3, 4, 12, 14, 16, 28, 29, 40, 24, 111cvmlift2lem9a 23834 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  |`  M )  e.  ( ( Kt  M )  Cn  C ) )
11374cncnpi 17007 . . 3  |-  ( ( ( H  |`  M )  e.  ( ( Kt  M )  Cn  C )  /\  X  e.  U. ( Kt  M ) )  -> 
( H  |`  M )  e.  ( ( ( Kt  M )  CnP  C
) `  X )
)
114112, 70, 113syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  |`  M )  e.  ( ( ( Kt  M )  CnP  C
) `  X )
)
115 cvmlift3lem7.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  K )
1162ssntr 16795 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  M  C_  Y )  /\  ( V  e.  K  /\  V  C_  M ) )  ->  V  C_  (
( int `  K
) `  M )
)
11716, 24, 115, 25, 116syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  C_  ( ( int `  K ) `  M ) )
118117, 26sseldd 3181 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( ( int `  K ) `
 M ) )
1192, 1cnprest 17017 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  M  C_  Y )  /\  ( X  e.  ( ( int `  K
) `  M )  /\  H : Y --> B ) )  ->  ( H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  X )  <-> 
( H  |`  M )  e.  ( ( ( Kt  M )  CnP  C
) `  X )
) )
12016, 24, 118, 12, 119syl22anc 1183 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( ( K  CnP  C
) `  X )  <->  ( H  |`  M )  e.  ( ( ( Kt  M )  CnP  C ) `
 X ) ) )
121114, 120mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `
 X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   0cc0 8737   1c1 8738   ↾t crest 13325   Topctop 16631   intcnt 16754    Cn ccn 16954    CnP ccnp 16955  𝑛Locally cnlly 17191    Homeo chmeo 17444   IIcii 18379  PConcpcon 23750  SConcscon 23751   CovMap ccvm 23786
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem8  23857
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-con 17138  df-lly 17192  df-nlly 17193  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-ii 18381  df-htpy 18468  df-phtpy 18469  df-phtpc 18490  df-pco 18503  df-pcon 23752  df-scon 23753  df-cvm 23787
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