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Theorem cvmlift3lem7 25004
Description: Lemma for cvmlift3 25007. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b  |-  B  = 
U. C
cvmlift3.y  |-  Y  = 
U. K
cvmlift3.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmlift3.k  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
cvmlift3.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
cvmlift3.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmlift3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
cvmlift3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmlift3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
cvmlift3.h  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
cvmlift3lem7.s  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmlift3lem7.1  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  A )
cvmlift3lem7.2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( S `
 A ) )
cvmlift3lem7.3  |-  ( ph  ->  M  C_  ( `' G " A ) )
cvmlift3lem7.w  |-  W  =  ( iota_ b  e.  T
( H `  X
)  e.  b )
cvmlift3lem7.7  |-  ( ph  ->  ( Kt  M )  e. PCon )
cvmlift3lem7.4  |-  ( ph  ->  V  e.  K )
cvmlift3lem7.5  |-  ( ph  ->  V  C_  M )
cvmlift3lem7.6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem7  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `
 X ) )
Distinct variable groups:    b, c,
d, f, k, s, z, A    f, g,
z, b, x    J, b    g, c, x, J, d, f, k, s    F, b, c, d, f, g, k, s    x, z, F    f, M, g, x    H, b, c, d, f, g, x, z    S, b, f, x    B, b, d, f, g, x, z    X, b, c, d, f, g, x, z    G, b, c, d, f, g, k, x, z    T, b, c, d, s    C, b, c, d, f, g, k, s, x, z    ph, f, x    K, b, c, f, g, x, z    P, b, c, d, f, g, x, z    O, b, c, f, g, x, z    f, Y, g, x, z    W, c, d, f, x
Allowed substitution hints:    ph( z, g, k, s, b, c, d)    A( x, g)    B( k, s, c)    P( k, s)    S( z, g, k, s, c, d)    T( x, z, f, g, k)    G( s)    H( k, s)    J( z)    K( k, s, d)    M( z, k, s, b, c, d)    O( k, s, d)    V( x, z, f, g, k, s, b, c, d)    W( z, g, k, s, b)    X( k, s)    Y( k, s, b, c, d)

Proof of Theorem cvmlift3lem7
Dummy variables  a 
y  h  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . . 4  |-  B  = 
U. C
2 cvmlift3.y . . . 4  |-  Y  = 
U. K
3 cvmlift3lem7.s . . . 4  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
4 cvmlift3.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
5 cvmlift3.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. SCon )
6 cvmlift3.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
7 cvmlift3.o . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
8 cvmlift3.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
9 cvmlift3.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
10 cvmlift3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 O ) )
11 cvmlift3.h . . . . 5  |-  H  =  ( x  e.  Y  |->  ( iota_ z  e.  B E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  x  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  z ) ) )
121, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem3 25000 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : Y --> B )
131, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem5 25002 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
)  =  G )
1413, 8eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
)  e.  ( K  Cn  J ) )
15 scontop 24907 . . . . 5  |-  ( K  e. SCon  ->  K  e.  Top )
165, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
17 cvmlift3lem7.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  C_  ( `' G " A ) )
18 cnvimass 5216 . . . . . . 7  |-  ( `' G " A ) 
C_  dom  G
19 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
202, 19cnf 17302 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( K  Cn  J )  ->  G : Y --> U. J )
21 fdm 5587 . . . . . . . 8  |-  ( G : Y --> U. J  ->  dom  G  =  Y )
228, 20, 213syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  G  =  Y )
2318, 22syl5sseq 3388 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' G " A )  C_  Y
)
2417, 23sstrd 3350 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  C_  Y )
25 cvmlift3lem7.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  C_  M )
26 cvmlift3lem7.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2725, 26sseldd 3341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  M )
2824, 27sseldd 3341 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
29 cvmlift3lem7.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  ( S `
 A ) )
3012, 28ffvelrnd 5863 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  X
)  e.  B )
31 fvco3 5792 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : Y --> B  /\  X  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  H ) `  X
)  =  ( F `
 ( H `  X ) ) )
3212, 28, 31syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  H ) `  X
)  =  ( F `
 ( H `  X ) ) )
3313fveq1d 5722 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  H ) `  X
)  =  ( G `
 X ) )
3432, 33eqtr3d 2469 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  X )
)  =  ( G `
 X ) )
35 cvmlift3lem7.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  A )
3634, 35eqeltrd 2509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  ( H `  X )
)  e.  A )
37 cvmlift3lem7.w . . . . . 6  |-  W  =  ( iota_ b  e.  T
( H `  X
)  e.  b )
383, 1, 37cvmsiota 24956 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( T  e.  ( S `  A )  /\  ( H `  X )  e.  B  /\  ( F `  ( H `  X ) )  e.  A ) )  -> 
( W  e.  T  /\  ( H `  X
)  e.  W ) )
394, 29, 30, 36, 38syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  e.  T  /\  ( H `  X
)  e.  W ) )
40 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H `
 X )  =  ( H `  X
)
411, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem4 25001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  (
( H `  X
)  =  ( H `
 X )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) ) ) )
4240, 41mpbii 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  Y )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) ) )
4328, 42mpdan 650 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X ) ) )
4443adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  O  /\  ( f `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ g  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) ) )
45 fveq1 5719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  0 )  =  ( h ` 
0 ) )
4645eqeq1d 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  0
)  =  O  <->  ( h `  0 )  =  O ) )
47 fveq1 5719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  1 )  =  ( h ` 
1 ) )
4847eqeq1d 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  1
)  =  X  <->  ( h `  1 )  =  X ) )
49 coeq2 5023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  h  ->  ( G  o.  f )  =  ( G  o.  h ) )
5049eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  h  ->  (
( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h ) ) )
5150anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) )
5251riotabidv 6543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) )
53 coeq2 5023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  g  ->  ( F  o.  a )  =  ( F  o.  g ) )
5453eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  g  ->  (
( F  o.  a
)  =  ( G  o.  h )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h ) ) )
55 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  g  ->  (
a `  0 )  =  ( g ` 
0 ) )
5655eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  g  ->  (
( a `  0
)  =  P  <->  ( g `  0 )  =  P ) )
5754, 56anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  g  ->  (
( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) )
5857cbvriotav 6553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  (
a `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  h )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
5952, 58syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  ( iota_ g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  ( G  o.  f )  /\  ( g `  0
)  =  P ) )  =  ( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  (
a `  0 )  =  P ) ) )
6059fveq1d 5722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( (
iota_ a  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
) )
6160eqeq1d 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X )  <-> 
( ( iota_ a  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( a `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X ) ) )
6246, 48, 613anbi123d 1254 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  O  /\  ( f ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f )  /\  (
g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X ) )  <->  ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ a  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) ) ) )
6362cbvrexv 2925 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  e.  ( II 
Cn  K ) ( ( f `  0
)  =  O  /\  ( f `  1
)  =  X  /\  ( ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  f
)  /\  ( g `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X ) )  <->  E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  (
a `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X ) ) )
6444, 63sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ a  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) ) )
65 cvmlift3lem7.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Kt  M )  e. PCon )
6665adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Kt  M )  e. PCon )
672restuni 17218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  M  C_  Y )  ->  M  =  U. ( Kt  M ) )
6816, 24, 67syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =  U. ( Kt  M ) )
6927, 68eleqtrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  U. ( Kt  M ) )
7069adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  X  e.  U. ( Kt  M ) )
7168eleq2d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  M  <->  y  e.  U. ( Kt  M ) ) )
7271biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  e.  U. ( Kt  M ) )
73 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  U. ( Kt  M )  =  U. ( Kt  M )
7473pconcn 24903 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Kt  M )  e. PCon  /\  X  e.  U. ( Kt  M )  /\  y  e.  U. ( Kt  M ) )  ->  E. n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ( ( n `  0
)  =  X  /\  ( n `  1
)  =  y ) )
7566, 70, 72, 74syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  E. n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ( ( n `  0
)  =  X  /\  ( n `  1
)  =  y ) )
76 reeanv 2867 . . . . . . . 8  |-  ( E. h  e.  ( II 
Cn  K ) E. n  e.  ( II 
Cn  ( Kt  M ) ) ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) )  <->  ( E. h  e.  ( II  Cn  K ) ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  E. n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ( ( n `  0
)  =  X  /\  ( n `  1
)  =  y ) ) )
774ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
785ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  K  e. SCon )
796ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally PCon )
807ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  O  e.  Y
)
818ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  G  e.  ( K  Cn  J ) )
829ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  P  e.  B
)
8310ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  O ) )
8435ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  ( G `  X )  e.  A
)
8529ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  T  e.  ( S `  A ) )
8617ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  M  C_  ( `' G " A ) )
8727ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  X  e.  M
)
88 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  y  e.  M
)
89 simplrl 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  h  e.  ( II  Cn  K ) )
90 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ a  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) ) )
91 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) )
92 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) )
9353eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  g  ->  (
( F  o.  a
)  =  ( G  o.  n )  <->  ( F  o.  g )  =  ( G  o.  n ) ) )
9455eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  g  ->  (
( a `  0
)  =  ( H `
 X )  <->  ( g `  0 )  =  ( H `  X
) ) )
9593, 94anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  g  ->  (
( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  n )  /\  ( a ` 
0 )  =  ( H `  X ) )  <->  ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  n
)  /\  ( g `  0 )  =  ( H `  X
) ) ) )
9695cbvriotav 6553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  n )  /\  (
a `  0 )  =  ( H `  X ) ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  ( G  o.  n
)  /\  ( g `  0 )  =  ( H `  X
) ) )
971, 2, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 11, 3, 84, 85, 86, 37, 87, 88, 89, 58, 90, 91, 92, 96cvmlift3lem6 25003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  ( h  e.  ( II  Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  /\  ( ( ( h `  0 )  =  O  /\  (
h `  1 )  =  X  /\  (
( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  ( ( n `
 0 )  =  X  /\  ( n `
 1 )  =  y ) ) )  ->  ( H `  y )  e.  W
)
9897ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  (
h  e.  ( II 
Cn  K )  /\  n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ) )  ->  ( (
( ( h ` 
0 )  =  O  /\  ( h ` 
1 )  =  X  /\  ( ( iota_ a  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  (
a `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X ) )  /\  ( ( n `  0 )  =  X  /\  (
n `  1 )  =  y ) )  ->  ( H `  y )  e.  W
) )
9998rexlimdvva 2829 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( E. h  e.  (
II  Cn  K ) E. n  e.  (
II  Cn  ( Kt  M
) ) ( ( ( h `  0
)  =  O  /\  ( h `  1
)  =  X  /\  ( ( iota_ a  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h
)  /\  ( a `  0 )  =  P ) ) ` 
1 )  =  ( H `  X ) )  /\  ( ( n `  0 )  =  X  /\  (
n `  1 )  =  y ) )  ->  ( H `  y )  e.  W
) )
10076, 99syl5bir 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( E. h  e.  ( II  Cn  K
) ( ( h `
 0 )  =  O  /\  ( h `
 1 )  =  X  /\  ( (
iota_ a  e.  (
II  Cn  C )
( ( F  o.  a )  =  ( G  o.  h )  /\  ( a ` 
0 )  =  P ) ) `  1
)  =  ( H `
 X ) )  /\  E. n  e.  ( II  Cn  ( Kt  M ) ) ( ( n `  0
)  =  X  /\  ( n `  1
)  =  y ) )  ->  ( H `  y )  e.  W
) )
10164, 75, 100mp2and 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( H `  y )  e.  W )
102101ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  M  ( H `  y )  e.  W )
103 ffun 5585 . . . . . . 7  |-  ( H : Y --> B  ->  Fun  H )
10412, 103syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Fun  H )
105 fdm 5587 . . . . . . . 8  |-  ( H : Y --> B  ->  dom  H  =  Y )
10612, 105syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  H  =  Y )
10724, 106sseqtr4d 3377 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  C_  dom  H )
108 funimass4 5769 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  H  /\  M  C_ 
dom  H )  -> 
( ( H " M )  C_  W  <->  A. y  e.  M  ( H `  y )  e.  W ) )
109104, 107, 108syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( H " M )  C_  W  <->  A. y  e.  M  ( H `  y )  e.  W ) )
110102, 109mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H " M
)  C_  W )
1111, 2, 3, 4, 12, 14, 16, 28, 29, 39, 24, 110cvmlift2lem9a 24982 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  |`  M )  e.  ( ( Kt  M )  Cn  C ) )
11273cncnpi 17334 . . 3  |-  ( ( ( H  |`  M )  e.  ( ( Kt  M )  Cn  C )  /\  X  e.  U. ( Kt  M ) )  -> 
( H  |`  M )  e.  ( ( ( Kt  M )  CnP  C
) `  X )
)
113111, 69, 112syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  |`  M )  e.  ( ( ( Kt  M )  CnP  C
) `  X )
)
114 cvmlift3lem7.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  K )
1152ssntr 17114 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  M  C_  Y )  /\  ( V  e.  K  /\  V  C_  M ) )  ->  V  C_  (
( int `  K
) `  M )
)
11616, 24, 114, 25, 115syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  C_  ( ( int `  K ) `  M ) )
117116, 26sseldd 3341 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( ( int `  K ) `
 M ) )
1182, 1cnprest 17345 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  M  C_  Y )  /\  ( X  e.  ( ( int `  K
) `  M )  /\  H : Y --> B ) )  ->  ( H  e.  ( ( K  CnP  C ) `  X )  <-> 
( H  |`  M )  e.  ( ( ( Kt  M )  CnP  C
) `  X )
) )
11916, 24, 117, 12, 118syl22anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( ( K  CnP  C
) `  X )  <->  ( H  |`  M )  e.  ( ( ( Kt  M )  CnP  C ) `
 X ) ) )
120113, 119mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( K  CnP  C ) `
 X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   U.cuni 4007    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   dom cdm 4870    |` cres 4872   "cima 4873    o. ccom 4874   Fun wfun 5440   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   iota_crio 6534   0cc0 8982   1c1 8983   ↾t crest 13640   Topctop 16950   intcnt 17073    Cn ccn 17280    CnP ccnp 17281  𝑛Locally cnlly 17520    Homeo chmeo 17777   IIcii 18897  PConcpcon 24898  SConcscon 24899   CovMap ccvm 24934
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem8  25005
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-cmp 17442  df-con 17467  df-lly 17521  df-nlly 17522  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-ii 18899  df-htpy 18987  df-phtpy 18988  df-phtpc 19009  df-pco 19022  df-pcon 24900  df-scon 24901  df-cvm 24935
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