Theorem cvmliftiota 24949

Description: Write out a function H that is the unique lift of F. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftiota.b	|- B = U. C
cvmliftiota.h	|- H = ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = G /\ ( f ` 0 ) = P ) )
cvmliftiota.f	|- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
cvmliftiota.g	|- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
cvmliftiota.p	|- ( ph -> P e. B )
cvmliftiota.e	|- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
cvmliftiota	|- ( ph -> ( H e. ( II Cn C ) /\ ( F o. H ) = G /\ ( H ` 0 ) = P ) )

Distinct variable groups:   C, f   f, F   f, G   P, f

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   H( f)   J( f)

Proof of Theorem cvmliftiota

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftiota.h	. . . 4 |- H = ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = G /\ ( f ` 0 ) = P ) )
2		coeq2 4998	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( F o. f ) = ( F o. g ) )
3	2	eqeq1d 2420	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( ( F o. f ) = G <-> ( F o. g ) = G ) )
4		fveq1 5694	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( f ` 0 ) = ( g ` 0 ) )
5	4	eqeq1d 2420	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( ( f ` 0 ) = P <-> ( g ` 0 ) = P ) )
6	3, 5	anbi12d 692	. . . . 5 |- ( f = g -> ( ( ( F o. f ) = G /\ ( f ` 0 ) = P ) <-> ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) ) )
7	6	cbvriotav 6528	. . . 4 |- ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = G /\ ( f ` 0 ) = P ) ) = ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) )
8	1, 7	eqtri 2432	. . 3 |- H = ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) )
9		cvmliftiota.f	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
10		cvmliftiota.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
11		cvmliftiota.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. B )
12		cvmliftiota.e	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` 0 ) )
13		cvmliftiota.b	. . . . . 6 |- B = U. C
14	13	cvmlift 24947	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ G e. ( II Cn J ) ) /\ ( P e. B /\ ( F ` P ) = ( G ` 0 ) ) ) -> E! g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) )
15	9, 10, 11, 12, 14	syl22anc 1185	. . . 4 |- ( ph -> E! g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) )
16		riotacl2 6530	. . . 4 |- ( E! g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) -> ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) ) e. { g e. ( II Cn C ) | ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) } )
17	15, 16	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) ) e. { g e. ( II Cn C ) | ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) } )
18	8, 17	syl5eqel 2496	. 2 |- ( ph -> H e. { g e. ( II Cn C ) | ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) } )
19		coeq2 4998	. . . . . 6 |- ( g = H -> ( F o. g ) = ( F o. H ) )
20	19	eqeq1d 2420	. . . . 5 |- ( g = H -> ( ( F o. g ) = G <-> ( F o. H ) = G ) )
21		fveq1 5694	. . . . . 6 |- ( g = H -> ( g ` 0 ) = ( H ` 0 ) )
22	21	eqeq1d 2420	. . . . 5 |- ( g = H -> ( ( g ` 0 ) = P <-> ( H ` 0 ) = P ) )
23	20, 22	anbi12d 692	. . . 4 |- ( g = H -> ( ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) <-> ( ( F o. H ) = G /\ ( H ` 0 ) = P ) ) )
24	23	elrab 3060	. . 3 |- ( H e. { g e. ( II Cn C ) | ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) } <-> ( H e. ( II Cn C ) /\ ( ( F o. H ) = G /\ ( H ` 0 ) = P ) ) )
25		3anass 940	. . 3 |- ( ( H e. ( II Cn C ) /\ ( F o. H ) = G /\ ( H ` 0 ) = P ) <-> ( H e. ( II Cn C ) /\ ( ( F o. H ) = G /\ ( H ` 0 ) = P ) ) )
26	24, 25	bitr4i 244	. 2 |- ( H e. { g e. ( II Cn C ) | ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) } <-> ( H e. ( II Cn C ) /\ ( F o. H ) = G /\ ( H ` 0 ) = P ) )
27	18, 26	sylib 189	1 |- ( ph -> ( H e. ( II Cn C ) /\ ( F o. H ) = G /\ ( H ` 0 ) = P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   E!wreu 2676   {crab 2678   U.cuni 3983   o. ccom 4849   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   iota_crio 6509   0cc0 8954   Cn ccn 17250   IIcii 18866   CovMap ccvm 24903

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem2  24952  cvmlift2lem3  24953  cvmliftphtlem  24965  cvmliftpht  24966  cvmlift3lem2  24968  cvmlift3lem4  24970  cvmlift3lem5  24971  cvmlift3lem6  24972

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-ec 6874  df-map 6987  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-sum 12443  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-cmp 17412  df-con 17436  df-lly 17490  df-nlly 17491  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-ii 18868  df-htpy 18956  df-phtpy 18957  df-phtpc 18978  df-pcon 24869  df-scon 24870  df-cvm 24904