Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftiota Unicode version

Theorem cvmliftiota 24767
Description: Write out a function  H that is the unique lift of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftiota.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftiota.h  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
cvmliftiota.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftiota.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftiota.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftiota.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftiota  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H ` 
0 )  =  P ) )
Distinct variable groups:    C, f    f, F    f, G    P, f
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    H( f)    J( f)

Proof of Theorem cvmliftiota
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftiota.h . . . 4  |-  H  =  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
2 coeq2 4971 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  ( F  o.  f )  =  ( F  o.  g ) )
32eqeq1d 2395 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( F  o.  f
)  =  G  <->  ( F  o.  g )  =  G ) )
4 fveq1 5667 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  0 )  =  ( g ` 
0 ) )
54eqeq1d 2395 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  0
)  =  P  <->  ( g `  0 )  =  P ) )
63, 5anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g `
 0 )  =  P ) ) )
76cbvriotav 6497 . . . 4  |-  ( iota_ f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  (
f `  0 )  =  P ) )  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
81, 7eqtri 2407 . . 3  |-  H  =  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
9 cvmliftiota.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
10 cvmliftiota.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
11 cvmliftiota.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
12 cvmliftiota.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
13 cvmliftiota.b . . . . . 6  |-  B  = 
U. C
1413cvmlift 24765 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  G  e.  ( II  Cn  J ) )  /\  ( P  e.  B  /\  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) ) )  ->  E! g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g `
 0 )  =  P ) )
159, 10, 11, 12, 14syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )
16 riotacl2 6499 . . . 4  |-  ( E! g  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  g
)  =  G  /\  ( g `  0
)  =  P )  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g `
 0 )  =  P ) )  e. 
{ g  e.  ( II  Cn  C )  |  ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g `
 0 )  =  P ) } )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) )  e.  {
g  e.  ( II 
Cn  C )  |  ( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P ) } )
188, 17syl5eqel 2471 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  { g  e.  ( II  Cn  C )  |  ( ( F  o.  g
)  =  G  /\  ( g `  0
)  =  P ) } )
19 coeq2 4971 . . . . . 6  |-  ( g  =  H  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  H ) )
2019eqeq1d 2395 . . . . 5  |-  ( g  =  H  ->  (
( F  o.  g
)  =  G  <->  ( F  o.  H )  =  G ) )
21 fveq1 5667 . . . . . 6  |-  ( g  =  H  ->  (
g `  0 )  =  ( H ` 
0 ) )
2221eqeq1d 2395 . . . . 5  |-  ( g  =  H  ->  (
( g `  0
)  =  P  <->  ( H `  0 )  =  P ) )
2320, 22anbi12d 692 . . . 4  |-  ( g  =  H  ->  (
( ( F  o.  g )  =  G  /\  ( g ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H `
 0 )  =  P ) ) )
2423elrab 3035 . . 3  |-  ( H  e.  { g  e.  ( II  Cn  C
)  |  ( ( F  o.  g )  =  G  /\  (
g `  0 )  =  P ) }  <->  ( H  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H `  0 )  =  P ) ) )
25 3anass 940 . . 3  |-  ( ( H  e.  ( II 
Cn  C )  /\  ( F  o.  H
)  =  G  /\  ( H `  0 )  =  P )  <->  ( H  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H `  0 )  =  P ) ) )
2624, 25bitr4i 244 . 2  |-  ( H  e.  { g  e.  ( II  Cn  C
)  |  ( ( F  o.  g )  =  G  /\  (
g `  0 )  =  P ) }  <->  ( H  e.  ( II  Cn  C
)  /\  ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H ` 
0 )  =  P ) )
2718, 26sylib 189 1  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  H )  =  G  /\  ( H ` 
0 )  =  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E!wreu 2651   {crab 2653   U.cuni 3957    o. ccom 4822   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   iota_crio 6478   0cc0 8923    Cn ccn 17210   IIcii 18776   CovMap ccvm 24721
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem2  24770  cvmlift2lem3  24771  cvmliftphtlem  24783  cvmliftpht  24784  cvmlift3lem2  24786  cvmlift3lem4  24788  cvmlift3lem5  24789  cvmlift3lem6  24790
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-ec 6843  df-map 6956  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-cmp 17372  df-con 17396  df-lly 17450  df-nlly 17451  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-ii 18778  df-htpy 18866  df-phtpy 18867  df-phtpc 18888  df-pcon 24687  df-scon 24688  df-cvm 24722
  Copyright terms: Public domain W3C validator