Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem14 Structured version   Unicode version

Theorem cvmliftlem14 24989
Description: Lemma for cvmlift 24991. Putting the results of cvmliftlem11 24987, cvmliftlem13 24988 and cvmliftmo 24976 together, we have that  K is a continuous function, satisfies  F  o.  K  =  G and  K ( 0 )  =  P, and is equal to any other function which also has these properties, so it follows that  K is the unique lift of  G. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftlem.x  |-  X  = 
U. J
cvmliftlem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftlem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftlem.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftlem.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
cvmliftlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cvmliftlem.t  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
cvmliftlem.a  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
cvmliftlem.l  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
cvmliftlem.q  |-  Q  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
cvmliftlem.k  |-  K  = 
U_ k  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  k
)
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem14  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
Distinct variable groups:    v, b,
z, B    f, b,
j, k, m, s, u, x, F, v, z    z, L    f, K    P, b, f, k, m, u, v, x, z    C, b, f, j, k, s, u, v, z    ph, f, j, s, x, z    N, b, k, m, u, v, x, z    S, b, f, j, k, s, u, v, x, z   
j, X    G, b,
f, j, k, m, s, u, v, x, z    T, b, j, k, m, s, u, v, x, z    J, b, f, j, k, s, u, v, x, z    Q, b, k, m, u, v, x, z
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k, m, b)    B( x, u, f, j, k, m, s)    C( x, m)    P( j, s)    Q( f, j, s)    S( m)    T( f)    J( m)    K( x, z, v, u, j, k, m, s, b)    L( x, v, u, f, j, k, m, s, b)    N( f, j, s)    X( x, z, v, u, f, k, m, s, b)

Proof of Theorem cvmliftlem14
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . 5  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
2 cvmliftlem.b . . . . 5  |-  B  = 
U. C
3 cvmliftlem.x . . . . 5  |-  X  = 
U. J
4 cvmliftlem.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
5 cvmliftlem.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
6 cvmliftlem.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
7 cvmliftlem.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
8 cvmliftlem.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
9 cvmliftlem.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
10 cvmliftlem.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
11 cvmliftlem.l . . . . 5  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
12 cvmliftlem.q . . . . 5  |-  Q  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
13 cvmliftlem.k . . . . 5  |-  K  = 
U_ k  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  k
)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cvmliftlem11 24987 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  ( II  Cn  C )  /\  ( F  o.  K )  =  G ) )
1514simpld 447 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( II 
Cn  C ) )
1614simprd 451 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  K
)  =  G )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cvmliftlem13 24988 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  0
)  =  P )
18 coeq2 5034 . . . . . 6  |-  ( f  =  K  ->  ( F  o.  f )  =  ( F  o.  K ) )
1918eqeq1d 2446 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  (
( F  o.  f
)  =  G  <->  ( F  o.  K )  =  G ) )
20 fveq1 5730 . . . . . 6  |-  ( f  =  K  ->  (
f `  0 )  =  ( K ` 
0 ) )
2120eqeq1d 2446 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  (
( f `  0
)  =  P  <->  ( K `  0 )  =  P ) )
2219, 21anbi12d 693 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  (
( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P )  <->  ( ( F  o.  K )  =  G  /\  ( K `
 0 )  =  P ) ) )
2322rspcev 3054 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( II 
Cn  C )  /\  ( ( F  o.  K )  =  G  /\  ( K ` 
0 )  =  P ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
2415, 16, 17, 23syl12anc 1183 . 2  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
25 iiuni 18916 . . 3  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
26 iicon 18922 . . . 4  |-  II  e.  Con
2726a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  II  e.  Con )
28 iinllycon 24946 . . . 4  |-  II  e. 𝑛Locally  Con
2928a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  II  e. 𝑛Locally  Con )
30 0elunit 11020 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )
322, 25, 4, 27, 29, 31, 5, 6, 7cvmliftmo 24976 . 2  |-  ( ph  ->  E* f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
33 reu5 2923 . 2  |-  ( E! f  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  f
)  =  G  /\  ( f `  0
)  =  P )  <-> 
( E. f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P )  /\  E* f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  (
f `  0 )  =  P ) ) )
3424, 32, 33sylanbrc 647 1  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   E!wreu 2709   E*wrmo 2710   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   <.cop 3819   U.cuni 4017   U_ciun 4095    e. cmpt 4269    _I cid 4496    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   ran crn 4882    |` cres 4883   "cima 4884    o. ccom 4885   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   1stc1st 6350   2ndc2nd 6351   iota_crio 6545   0cc0 8995   1c1 8996    - cmin 9296    / cdiv 9682   NNcn 10005   (,)cioo 10921   [,]cicc 10924   ...cfz 11048    seq cseq 11328   ↾t crest 13653   topGenctg 13670    Cn ccn 17293   Conccon 17479  𝑛Locally cnlly 17533    Homeo chmeo 17790   IIcii 18910   CovMap ccvm 24947
This theorem is referenced by:  cvmliftlem15  24990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-nei 17167  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-con 17480  df-lly 17534  df-nlly 17535  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-ii 18912  df-htpy 19000  df-phtpy 19001  df-phtpc 19022  df-pcon 24913  df-scon 24914  df-cvm 24948
  Copyright terms: Public domain W3C validator