Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem15 Structured version   Unicode version

Theorem cvmliftlem15 24990
Description: Lemma for cvmlift 24991. Discharge the assumptions of cvmliftlem14 24989. The set of all open subsets 
u of the unit interval such that  G " u is contained in an even covering of some open set in  J is a cover of  II by the definition of a covering map, so by the Lebesgue number lemma lebnumii 18996, there is a subdivision of the unit interval into  N equal parts such that each part is entirely contained within one such open set of  J. Then using finite choice ac6sfi 7354 to uniformly select one such subset and one even covering of each subset, we are ready to finish the proof with cvmliftlem14 24989. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftlem.x  |-  X  = 
U. J
cvmliftlem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftlem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftlem.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftlem.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem15  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
Distinct variable groups:    v, B    f, k, s, u, v, F    P, f, k, u, v    C, f, k, s, u, v    ph, f,
s    S, f, k, s, u, v    f, G, k, s, u, v   
f, J, k, s, u, v
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k)    B( u, f, k, s)    P( s)    X( v, u, f, k, s)

Proof of Theorem cvmliftlem15
Dummy variables  b 
y  z  a  c  g  j  m  n  t  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3430 . . 3  |-  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  II
2 cvmliftlem.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
32adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
4 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 iiuni 18916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
6 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  = 
U. J
75, 6cnf 17315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( II  Cn  J )  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
84, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
98ffvelrnda 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( G `  x )  e.  X )
10 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
1110, 6cvmcov 24955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( G `  x )  e.  X )  ->  E. j  e.  J  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) )
123, 9, 11syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  E. j  e.  J  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) )
134ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  G  e.  ( II  Cn  J
) )
14 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  j  e.  J )
15 cnima 17334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  ( II 
Cn  J )  /\  j  e.  J )  ->  ( `' G "
j )  e.  II )
1613, 14, 15syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( `' G " j )  e.  II )
17 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) )
18 simprrl 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  j )
198ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  G :
( 0 [,] 1
) --> X )
20 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : ( 0 [,] 1 ) --> X  ->  G  Fn  ( 0 [,] 1 ) )
21 elpreima 5853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  ( 0 [,] 1 )  ->  (
x  e.  ( `' G " j )  <-> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( G `  x )  e.  j ) ) )
2219, 20, 213syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' G "
j )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  ( G `  x )  e.  j ) ) )
2317, 18, 22mpbir2and 890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( `' G " j ) )
24 simprrr 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( S `  j )  =/=  (/) )
25 ffun 5596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : ( 0 [,] 1 ) --> X  ->  Fun  G )
26 funimacnv 5528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
G  ->  ( G " ( `' G "
j ) )  =  ( j  i^i  ran  G ) )
2719, 25, 263syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
j ) )  =  ( j  i^i  ran  G ) )
28 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  i^i  ran  G )  C_  j
2927, 28syl6eqss 3400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
j ) )  C_  j )
3029ralrimivw 2792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  A. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j )
31 r19.2z 3719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S `  j
)  =/=  (/)  /\  A. s  e.  ( S `  j ) ( G
" ( `' G " j ) )  C_  j )  ->  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j )
3224, 30, 31syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j )
33 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  (
x  e.  u  <->  x  e.  ( `' G " j ) ) )
34 imaeq2 5202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  ( G " u )  =  ( G " ( `' G " j ) ) )
3534sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  (
( G " u
)  C_  j  <->  ( G " ( `' G "
j ) )  C_  j ) )
3635rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  ( E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j  <->  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j ) )
3733, 36anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  (
( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )  <->  ( x  e.  ( `' G " j )  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j ) ) )
3837rspcev 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' G "
j )  e.  II  /\  ( x  e.  ( `' G " j )  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j ) )  ->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )
)
3916, 23, 32, 38syl12anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
4039expr 600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  j  e.  J )  ->  (
( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )
) )
4140reximdva 2820 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( E. j  e.  J  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  J  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )
) )
4212, 41mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  E. j  e.  J  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
43 r19.42v 2864 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j  e.  J  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  ( x  e.  u  /\  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
4443rexbii 2732 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  II  E. j  e.  J  (
x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
45 rexcom 2871 . . . . . . . 8  |-  ( E. j  e.  J  E. u  e.  II  (
x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  E. u  e.  II  E. j  e.  J  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
46 elunirab 4030 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } 
<->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j )
)
4744, 45, 463bitr4i 270 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  J  E. u  e.  II  (
x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }
)
4842, 47sylib 190 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } )
4948ex 425 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }
) )
5049ssrdv 3356 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } )
51 uniss 4038 . . . . . 6  |-  ( { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }  C_  II  ->  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  U. II )
521, 51mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  U. II )
5352, 5syl6sseqr 3397 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  ( 0 [,] 1 ) )
5450, 53eqssd 3367 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  =  U. {
u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }
)
55 lebnumii 18996 . . 3  |-  ( ( { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }  C_  II  /\  ( 0 [,] 1 )  = 
U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( 1 ... n
) E. v  e. 
{ u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j } 
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )
561, 54, 55sylancr 646 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v
)
57 fzfi 11316 . . . . 5  |-  ( 1 ... n )  e. 
Fin
58 imaeq2 5202 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  v  ->  ( G " u )  =  ( G " v
) )
5958sseq1d 3377 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  v  ->  (
( G " u
)  C_  j  <->  ( G " v )  C_  j
) )
60592rexbidv 2750 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j  <->  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
v )  C_  j
) )
6160rexrab 3100 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  <->  E. v  e.  II  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  /\  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )
)
62 vex 2961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  j  e. 
_V
63 vex 2961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  s  e. 
_V
6462, 63op1std 6360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  <. j ,  s
>.  ->  ( 1st `  u
)  =  j )
6564sseq2d 3378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  <. j ,  s
>.  ->  ( ( G
" v )  C_  ( 1st `  u )  <-> 
( G " v
)  C_  j )
)
6665rexiunxp 5018 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
v )  C_  ( 1st `  u )  <->  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
v )  C_  j
)
67 imass2 5243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) ) )  C_  ( G " v ) )
68 sstr2 3357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n ) ) ) 
C_  ( G "
v )  ->  (
( G " v
)  C_  ( 1st `  u )  ->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  (
( G " v
)  C_  ( 1st `  u )  ->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7069reximdv 2819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  ( E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
v )  C_  ( 1st `  u )  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7166, 70syl5bir 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7271impcom 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  /\  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
7372rexlimivw 2828 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  II  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  /\  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
7461, 73sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
7574ralimi 2783 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  A. k  e.  ( 1 ... n ) E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
76 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( g `  k )  ->  ( 1st `  u )  =  ( 1st `  (
g `  k )
) )
7776sseq2d 3378 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( g `  k )  ->  (
( G " (
( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u )  <->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )
7877ac6sfi 7354 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )  ->  E. g ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )
7957, 75, 78sylancr 646 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  E. g ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )
80 cvmliftlem.b . . . . . . 7  |-  B  = 
U. C
812ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
824ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  G  e.  ( II  Cn  J
) )
83 cvmliftlem.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
8483ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  P  e.  B )
85 cvmliftlem.e . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
8685ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  0 ) )
87 simplr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
88 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  g :
( 1 ... n
) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
89 sneq 3827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  a  ->  { j }  =  { a } )
90 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  a  ->  ( S `  j )  =  ( S `  a ) )
9189, 90xpeq12d 4906 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  a  ->  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  =  ( { a }  X.  ( S `  a )
) )
9291cbviunv 4132 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  =  U_ a  e.  J  ( {
a }  X.  ( S `  a )
)
93 feq3 5581 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  =  U_ a  e.  J  ( {
a }  X.  ( S `  a )
)  ->  ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  <->  g : ( 1 ... n ) -->
U_ a  e.  J  ( { a }  X.  ( S `  a ) ) ) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  <->  g : ( 1 ... n ) -->
U_ a  e.  J  ( { a }  X.  ( S `  a ) ) )
9588, 94sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  g :
( 1 ... n
) --> U_ a  e.  J  ( { a }  X.  ( S `  a ) ) )
96 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) )
97 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
98 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  ( G `  t )  =  ( G `  z ) )
9998fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  z  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 t ) )  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  z )
) )
10099cbvmptv 4303 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `  t ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 z ) ) )
101 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  b  ->  (
( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c  <->  ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )
102101cbvriotav 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c )  =  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b )
103 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
y `  ( (
w  -  1 )  /  n ) )  =  ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) ) )
104103eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b  <->  ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )
105104riotabidv 6554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w ) ) ( x `  ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) )
106102, 105syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c )  =  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w ) ) ( x `  ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) )
107106reseq2d 5149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) )  =  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
108107cnveqd 5051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) )  =  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
109108fveq1d 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 z ) )  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) )
110109mpteq2dv 4299 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( x `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
111100, 110syl5eq 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 t ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( x `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
112 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  m  ->  (
w  -  1 )  =  ( m  - 
1 ) )
113112oveq1d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  m  ->  (
( w  -  1 )  /  n )  =  ( ( m  -  1 )  /  n ) )
114 oveq1 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  m  ->  (
w  /  n )  =  ( m  /  n ) )
115113, 114oveq12d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  m  ->  (
( ( w  - 
1 )  /  n
) [,] ( w  /  n ) )  =  ( ( ( m  -  1 )  /  n ) [,] ( m  /  n
) ) )
116 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  m  ->  (
g `  w )  =  ( g `  m ) )
117116fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  m  ->  ( 2nd `  ( g `  w ) )  =  ( 2nd `  (
g `  m )
) )
118113fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  m  ->  (
x `  ( (
w  -  1 )  /  n ) )  =  ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) ) )
119118eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  m  ->  (
( x `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b  <->  ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )
120117, 119riotaeqbidv 6555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  m  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( x `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  m ) ) ( x `  ( ( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) )
121120reseq2d 5149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  m  ->  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )  =  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  m )
) ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
122121cnveqd 5051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  m  ->  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )  =  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  m )
) ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
123122fveq1d 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  m  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( x `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) )  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  m )
) ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) )
124115, 123mpteq12dv 4290 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  m  ->  (
z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( x `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  n ) [,] ( m  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
125111, 124cbvmpt2v 6155 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) )  =  ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )
126 seqeq2 11332 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `  t ) ) ) )  =  ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )  ->  seq  0 ( ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) ) )
127125, 126ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  seq  0
( ( y  e. 
_V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
128 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  ( 1 ... n
) (  seq  0
( ( y  e. 
_V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) ) `
 k )  = 
U_ k  e.  ( 1 ... n ) (  seq  0 ( ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  - 
1 )  /  n
) [,] ( w  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 t ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) ) `
 k )
12910, 80, 6, 81, 82, 84, 86, 87, 95, 96, 97, 127, 128cvmliftlem14 24989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
130129ex 425 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) )  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) ) )
131130exlimdv 1647 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. g ( g : ( 1 ... n
) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) )  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) ) )
13279, 131syl5 31 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) ) )
133132rexlimdva 2832 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( 1 ... n
) E. v  e. 
{ u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j } 
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v  ->  E! f  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  f
)  =  G  /\  ( f `  0
)  =  P ) ) )
13456, 133mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   E!wreu 2709   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   <.cop 3819   U.cuni 4017   U_ciun 4095    e. cmpt 4269    _I cid 4496    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   ran crn 4882    |` cres 4883   "cima 4884    o. ccom 4885   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   1stc1st 6350   2ndc2nd 6351   iota_crio 6545   Fincfn 7112   0cc0 8995   1c1 8996    - cmin 9296    / cdiv 9682   NNcn 10005   (,)cioo 10921   [,]cicc 10924   ...cfz 11048    seq cseq 11328   ↾t crest 13653   topGenctg 13670    Cn ccn 17293    Homeo chmeo 17790   IIcii 18910   CovMap ccvm 24947
This theorem is referenced by:  cvmlift  24991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-ec 6910  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-cmp 17455  df-con 17480  df-lly 17534  df-nlly 17535  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-ii 18912  df-htpy 19000  df-phtpy 19001  df-phtpc 19022  df-pcon 24913  df-scon 24914  df-cvm 24948
  Copyright terms: Public domain W3C validator