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Theorem cvmliftlem15 23829
Description: Lemma for cvmlift 23830. Discharge the assumptions of cvmliftlem14 23828. The set of all open subsets 
u of the unit interval such that  G " u is contained in an even covering of some open set in  J is a cover of  II by the definition of a covering map, so by the Lebesgue number lemma lebnumii 18464, there is a subdivision of the unit interval into  N equal parts such that each part is entirely contained within one such open set of  J. Then using finite choice ac6sfi 7101 to uniformly select one such subset and one even covering of each subset, we are ready to finish the proof with cvmliftlem14 23828. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftlem.x  |-  X  = 
U. J
cvmliftlem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftlem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftlem.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftlem.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem15  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
Distinct variable groups:    v, B    f, k, s, u, v, F    P, f, k, u, v    C, f, k, s, u, v    ph, f,
s    S, f, k, s, u, v    f, G, k, s, u, v   
f, J, k, s, u, v
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k)    B( u, f, k, s)    P( s)    X( v, u, f, k, s)

Proof of Theorem cvmliftlem15
Dummy variables  b 
y  z  a  c  g  j  m  n  t  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3258 . . 3  |-  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  II
2 cvmliftlem.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
32adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
4 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 iiuni 18385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
6 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  = 
U. J
75, 6cnf 16976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( II  Cn  J )  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
84, 7syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
9 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( G `  x )  e.  X
)
108, 9sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( G `  x )  e.  X )
11 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
1211, 6cvmcov 23794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( G `  x )  e.  X )  ->  E. j  e.  J  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) )
133, 10, 12syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  E. j  e.  J  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) )
144ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  G  e.  ( II  Cn  J
) )
15 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  j  e.  J )
16 cnima 16994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  ( II 
Cn  J )  /\  j  e.  J )  ->  ( `' G "
j )  e.  II )
1714, 15, 16syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( `' G " j )  e.  II )
18 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) )
19 simprrl 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  j )
208ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  G :
( 0 [,] 1
) --> X )
21 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : ( 0 [,] 1 ) --> X  ->  G  Fn  ( 0 [,] 1 ) )
22 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  ( 0 [,] 1 )  ->  (
x  e.  ( `' G " j )  <-> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( G `  x )  e.  j ) ) )
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' G "
j )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  ( G `  x )  e.  j ) ) )
2418, 19, 23mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( `' G " j ) )
25 simprrr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( S `  j )  =/=  (/) )
26 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : ( 0 [,] 1 ) --> X  ->  Fun  G )
27 funimacnv 5324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
G  ->  ( G " ( `' G "
j ) )  =  ( j  i^i  ran  G ) )
2820, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
j ) )  =  ( j  i^i  ran  G ) )
29 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  i^i  ran  G )  C_  j
3029a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( j  i^i  ran  G )  C_  j )
3128, 30eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
j ) )  C_  j )
3231ralrimivw 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  A. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j )
33 r19.2z 3543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S `  j
)  =/=  (/)  /\  A. s  e.  ( S `  j ) ( G
" ( `' G " j ) )  C_  j )  ->  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j )
3425, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j )
35 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  (
x  e.  u  <->  x  e.  ( `' G " j ) ) )
36 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  ( G " u )  =  ( G " ( `' G " j ) ) )
3736sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  (
( G " u
)  C_  j  <->  ( G " ( `' G "
j ) )  C_  j ) )
3837rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  ( E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j  <->  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j ) )
3935, 38anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  (
( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )  <->  ( x  e.  ( `' G " j )  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j ) ) )
4039rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' G "
j )  e.  II  /\  ( x  e.  ( `' G " j )  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j ) )  ->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )
)
4117, 24, 34, 40syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
4241expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  j  e.  J )  ->  (
( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )
) )
4342reximdva 2655 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( E. j  e.  J  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  J  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )
) )
4413, 43mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  E. j  e.  J  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
45 r19.42v 2694 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j  e.  J  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  ( x  e.  u  /\  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
4645rexbii 2568 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  II  E. j  e.  J  (
x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
47 rexcom 2701 . . . . . . . 8  |-  ( E. j  e.  J  E. u  e.  II  (
x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  E. u  e.  II  E. j  e.  J  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
48 elunirab 3840 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } 
<->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j )
)
4946, 47, 483bitr4i 268 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  J  E. u  e.  II  (
x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }
)
5044, 49sylib 188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } )
5150ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }
) )
5251ssrdv 3185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } )
53 uniss 3848 . . . . . 6  |-  ( { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }  C_  II  ->  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  U. II )
541, 53mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  U. II )
5554, 5syl6sseqr 3225 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  ( 0 [,] 1 ) )
5652, 55eqssd 3196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  =  U. {
u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }
)
57 lebnumii 18464 . . 3  |-  ( ( { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }  C_  II  /\  ( 0 [,] 1 )  = 
U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( 1 ... n
) E. v  e. 
{ u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j } 
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )
581, 56, 57sylancr 644 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v
)
59 fzfi 11034 . . . . 5  |-  ( 1 ... n )  e. 
Fin
60 imaeq2 5008 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  v  ->  ( G " u )  =  ( G " v
) )
6160sseq1d 3205 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  v  ->  (
( G " u
)  C_  j  <->  ( G " v )  C_  j
) )
62612rexbidv 2586 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j  <->  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
v )  C_  j
) )
6362rexrab 2929 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  <->  E. v  e.  II  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  /\  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )
)
64 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  j  e. 
_V
65 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  s  e. 
_V
6664, 65op1std 6130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  <. j ,  s
>.  ->  ( 1st `  u
)  =  j )
6766sseq2d 3206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  <. j ,  s
>.  ->  ( ( G
" v )  C_  ( 1st `  u )  <-> 
( G " v
)  C_  j )
)
6867rexiunxp 4826 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
v )  C_  ( 1st `  u )  <->  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
v )  C_  j
)
69 imass2 5049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) ) )  C_  ( G " v ) )
70 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n ) ) ) 
C_  ( G "
v )  ->  (
( G " v
)  C_  ( 1st `  u )  ->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  (
( G " v
)  C_  ( 1st `  u )  ->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7271reximdv 2654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  ( E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
v )  C_  ( 1st `  u )  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7368, 72syl5bir 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7473impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  /\  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
7574rexlimivw 2663 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  II  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  /\  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
7663, 75sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
7776ralimi 2618 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  A. k  e.  ( 1 ... n ) E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
78 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( g `  k )  ->  ( 1st `  u )  =  ( 1st `  (
g `  k )
) )
7978sseq2d 3206 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( g `  k )  ->  (
( G " (
( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u )  <->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )
8079ac6sfi 7101 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )  ->  E. g ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )
8159, 77, 80sylancr 644 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  E. g ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )
82 cvmliftlem.b . . . . . . 7  |-  B  = 
U. C
832ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
844ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  G  e.  ( II  Cn  J
) )
85 cvmliftlem.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
8685ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  P  e.  B )
87 cvmliftlem.e . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
8887ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  0 ) )
89 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
90 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  g :
( 1 ... n
) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
91 sneq 3651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  a  ->  { j }  =  { a } )
92 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  a  ->  ( S `  j )  =  ( S `  a ) )
9391, 92xpeq12d 4714 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  a  ->  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  =  ( { a }  X.  ( S `  a )
) )
9493cbviunv 3941 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  =  U_ a  e.  J  ( {
a }  X.  ( S `  a )
)
95 feq3 5377 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  =  U_ a  e.  J  ( {
a }  X.  ( S `  a )
)  ->  ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  <->  g : ( 1 ... n ) -->
U_ a  e.  J  ( { a }  X.  ( S `  a ) ) ) )
9694, 95ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  <->  g : ( 1 ... n ) -->
U_ a  e.  J  ( { a }  X.  ( S `  a ) ) )
9790, 96sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  g :
( 1 ... n
) --> U_ a  e.  J  ( { a }  X.  ( S `  a ) ) )
98 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) )
99 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
100 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  ( G `  t )  =  ( G `  z ) )
101100fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  z  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 t ) )  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  z )
) )
102101cbvmptv 4111 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `  t ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 z ) ) )
103 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  b  ->  (
( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c  <->  ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )
104103cbvriotav 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c )  =  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b )
105 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
y `  ( (
w  -  1 )  /  n ) )  =  ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) ) )
106105eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b  <->  ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )
107106riotabidv 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w ) ) ( x `  ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) )
108104, 107syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c )  =  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w ) ) ( x `  ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) )
109108reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) )  =  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
110109cnveqd 4857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) )  =  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
111110fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 z ) )  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) )
112111mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( x `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
113102, 112syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 t ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( x `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
114 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  m  ->  (
w  -  1 )  =  ( m  - 
1 ) )
115114oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  m  ->  (
( w  -  1 )  /  n )  =  ( ( m  -  1 )  /  n ) )
116 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  m  ->  (
w  /  n )  =  ( m  /  n ) )
117115, 116oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  m  ->  (
( ( w  - 
1 )  /  n
) [,] ( w  /  n ) )  =  ( ( ( m  -  1 )  /  n ) [,] ( m  /  n
) ) )
118 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  m  ->  (
g `  w )  =  ( g `  m ) )
119118fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  m  ->  ( 2nd `  ( g `  w ) )  =  ( 2nd `  (
g `  m )
) )
120115fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  m  ->  (
x `  ( (
w  -  1 )  /  n ) )  =  ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) ) )
121120eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  m  ->  (
( x `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b  <->  ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )
122119, 121riotaeqbidv 6307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  m  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( x `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  m ) ) ( x `  ( ( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) )
123122reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  m  ->  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )  =  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  m )
) ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
124123cnveqd 4857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  m  ->  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )  =  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  m )
) ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
125124fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  m  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( x `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) )  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  m )
) ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) )
126117, 125mpteq12dv 4098 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  m  ->  (
z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( x `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  n ) [,] ( m  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
127113, 126cbvmpt2v 5926 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) )  =  ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )
128 seqeq2 11050 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `  t ) ) ) )  =  ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )  ->  seq  0 ( ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) ) )
129127, 128ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  seq  0
( ( y  e. 
_V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
130 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  ( 1 ... n
) (  seq  0
( ( y  e. 
_V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) ) `
 k )  = 
U_ k  e.  ( 1 ... n ) (  seq  0 ( ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  - 
1 )  /  n
) [,] ( w  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 t ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) ) `
 k )
13111, 82, 6, 83, 84, 86, 88, 89, 97, 98, 99, 129, 130cvmliftlem14 23828 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
132131ex 423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) )  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) ) )
133132exlimdv 1664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. g ( g : ( 1 ... n
) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) )  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) ) )
13481, 133syl5 28 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) ) )
135134rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( 1 ... n
) E. v  e. 
{ u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j } 
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v  ->  E! f  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  f
)  =  G  /\  ( f `  0
)  =  P ) ) )
13658, 135mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827   U_ciun 3905    e. cmpt 4077    _I cid 4304    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   iota_crio 6297   Fincfn 6863   0cc0 8737   1c1 8738    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   ...cfz 10782    seq cseq 11046   ↾t crest 13325   topGenctg 13342    Cn ccn 16954    Homeo chmeo 17444   IIcii 18379   CovMap ccvm 23786
This theorem is referenced by:  cvmlift  23830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-con 17138  df-lly 17192  df-nlly 17193  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-ii 18381  df-htpy 18468  df-phtpy 18469  df-phtpc 18490  df-pcon 23752  df-scon 23753  df-cvm 23787
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