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Theorem cvmliftlem15 24942
Description: Lemma for cvmlift 24943. Discharge the assumptions of cvmliftlem14 24941. The set of all open subsets 
u of the unit interval such that  G " u is contained in an even covering of some open set in  J is a cover of  II by the definition of a covering map, so by the Lebesgue number lemma lebnumii 18948, there is a subdivision of the unit interval into  N equal parts such that each part is entirely contained within one such open set of  J. Then using finite choice ac6sfi 7314 to uniformly select one such subset and one even covering of each subset, we are ready to finish the proof with cvmliftlem14 24941. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftlem.x  |-  X  = 
U. J
cvmliftlem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftlem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftlem.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftlem.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem15  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
Distinct variable groups:    v, B    f, k, s, u, v, F    P, f, k, u, v    C, f, k, s, u, v    ph, f,
s    S, f, k, s, u, v    f, G, k, s, u, v   
f, J, k, s, u, v
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k)    B( u, f, k, s)    P( s)    X( v, u, f, k, s)

Proof of Theorem cvmliftlem15
Dummy variables  b 
y  z  a  c  g  j  m  n  t  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3392 . . 3  |-  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  II
2 cvmliftlem.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
32adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
4 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 iiuni 18868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
6 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  = 
U. J
75, 6cnf 17268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( II  Cn  J )  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
84, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
98ffvelrnda 5833 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( G `  x )  e.  X )
10 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
1110, 6cvmcov 24907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( G `  x )  e.  X )  ->  E. j  e.  J  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) )
123, 9, 11syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  E. j  e.  J  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) )
134ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  G  e.  ( II  Cn  J
) )
14 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  j  e.  J )
15 cnima 17287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  ( II 
Cn  J )  /\  j  e.  J )  ->  ( `' G "
j )  e.  II )
1613, 14, 15syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( `' G " j )  e.  II )
17 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) )
18 simprrl 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  j )
198ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  G :
( 0 [,] 1
) --> X )
20 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : ( 0 [,] 1 ) --> X  ->  G  Fn  ( 0 [,] 1 ) )
21 elpreima 5813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  ( 0 [,] 1 )  ->  (
x  e.  ( `' G " j )  <-> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( G `  x )  e.  j ) ) )
2219, 20, 213syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' G "
j )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  ( G `  x )  e.  j ) ) )
2317, 18, 22mpbir2and 889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( `' G " j ) )
24 simprrr 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( S `  j )  =/=  (/) )
25 ffun 5556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : ( 0 [,] 1 ) --> X  ->  Fun  G )
26 funimacnv 5488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
G  ->  ( G " ( `' G "
j ) )  =  ( j  i^i  ran  G ) )
2719, 25, 263syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
j ) )  =  ( j  i^i  ran  G ) )
28 inss1 3525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  i^i  ran  G )  C_  j
2927, 28syl6eqss 3362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
j ) )  C_  j )
3029ralrimivw 2754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  A. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j )
31 r19.2z 3681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S `  j
)  =/=  (/)  /\  A. s  e.  ( S `  j ) ( G
" ( `' G " j ) )  C_  j )  ->  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j )
3224, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j )
33 eleq2 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  (
x  e.  u  <->  x  e.  ( `' G " j ) ) )
34 imaeq2 5162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  ( G " u )  =  ( G " ( `' G " j ) ) )
3534sseq1d 3339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  (
( G " u
)  C_  j  <->  ( G " ( `' G "
j ) )  C_  j ) )
3635rexbidv 2691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  ( E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j  <->  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j ) )
3733, 36anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  (
( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )  <->  ( x  e.  ( `' G " j )  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j ) ) )
3837rspcev 3016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' G "
j )  e.  II  /\  ( x  e.  ( `' G " j )  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j ) )  ->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )
)
3916, 23, 32, 38syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
4039expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  j  e.  J )  ->  (
( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )
) )
4140reximdva 2782 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( E. j  e.  J  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  J  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )
) )
4212, 41mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  E. j  e.  J  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
43 r19.42v 2826 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j  e.  J  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  ( x  e.  u  /\  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
4443rexbii 2695 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  II  E. j  e.  J  (
x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
45 rexcom 2833 . . . . . . . 8  |-  ( E. j  e.  J  E. u  e.  II  (
x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  E. u  e.  II  E. j  e.  J  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
46 elunirab 3992 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } 
<->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j )
)
4744, 45, 463bitr4i 269 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  J  E. u  e.  II  (
x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }
)
4842, 47sylib 189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } )
4948ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }
) )
5049ssrdv 3318 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } )
51 uniss 4000 . . . . . 6  |-  ( { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }  C_  II  ->  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  U. II )
521, 51mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  U. II )
5352, 5syl6sseqr 3359 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  ( 0 [,] 1 ) )
5450, 53eqssd 3329 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  =  U. {
u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }
)
55 lebnumii 18948 . . 3  |-  ( ( { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }  C_  II  /\  ( 0 [,] 1 )  = 
U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( 1 ... n
) E. v  e. 
{ u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j } 
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )
561, 54, 55sylancr 645 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v
)
57 fzfi 11270 . . . . 5  |-  ( 1 ... n )  e. 
Fin
58 imaeq2 5162 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  v  ->  ( G " u )  =  ( G " v
) )
5958sseq1d 3339 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  v  ->  (
( G " u
)  C_  j  <->  ( G " v )  C_  j
) )
60592rexbidv 2713 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j  <->  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
v )  C_  j
) )
6160rexrab 3062 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  <->  E. v  e.  II  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  /\  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )
)
62 vex 2923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  j  e. 
_V
63 vex 2923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  s  e. 
_V
6462, 63op1std 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  <. j ,  s
>.  ->  ( 1st `  u
)  =  j )
6564sseq2d 3340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  <. j ,  s
>.  ->  ( ( G
" v )  C_  ( 1st `  u )  <-> 
( G " v
)  C_  j )
)
6665rexiunxp 4978 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
v )  C_  ( 1st `  u )  <->  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
v )  C_  j
)
67 imass2 5203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) ) )  C_  ( G " v ) )
68 sstr2 3319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n ) ) ) 
C_  ( G "
v )  ->  (
( G " v
)  C_  ( 1st `  u )  ->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  (
( G " v
)  C_  ( 1st `  u )  ->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7069reximdv 2781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  ( E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
v )  C_  ( 1st `  u )  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7166, 70syl5bir 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7271impcom 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  /\  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
7372rexlimivw 2790 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  II  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  /\  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
7461, 73sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
7574ralimi 2745 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  A. k  e.  ( 1 ... n ) E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
76 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( g `  k )  ->  ( 1st `  u )  =  ( 1st `  (
g `  k )
) )
7776sseq2d 3340 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( g `  k )  ->  (
( G " (
( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u )  <->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )
7877ac6sfi 7314 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )  ->  E. g ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )
7957, 75, 78sylancr 645 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  E. g ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )
80 cvmliftlem.b . . . . . . 7  |-  B  = 
U. C
812ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
824ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  G  e.  ( II  Cn  J
) )
83 cvmliftlem.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
8483ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  P  e.  B )
85 cvmliftlem.e . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
8685ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  0 ) )
87 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
88 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  g :
( 1 ... n
) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
89 sneq 3789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  a  ->  { j }  =  { a } )
90 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  a  ->  ( S `  j )  =  ( S `  a ) )
9189, 90xpeq12d 4866 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  a  ->  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  =  ( { a }  X.  ( S `  a )
) )
9291cbviunv 4094 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  =  U_ a  e.  J  ( {
a }  X.  ( S `  a )
)
93 feq3 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  =  U_ a  e.  J  ( {
a }  X.  ( S `  a )
)  ->  ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  <->  g : ( 1 ... n ) -->
U_ a  e.  J  ( { a }  X.  ( S `  a ) ) ) )
9492, 93ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  <->  g : ( 1 ... n ) -->
U_ a  e.  J  ( { a }  X.  ( S `  a ) ) )
9588, 94sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  g :
( 1 ... n
) --> U_ a  e.  J  ( { a }  X.  ( S `  a ) ) )
96 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) )
97 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
98 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  ( G `  t )  =  ( G `  z ) )
9998fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  z  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 t ) )  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  z )
) )
10099cbvmptv 4264 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `  t ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 z ) ) )
101 eleq2 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  b  ->  (
( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c  <->  ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )
102101cbvriotav 6524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c )  =  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b )
103 fveq1 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
y `  ( (
w  -  1 )  /  n ) )  =  ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) ) )
104103eleq1d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b  <->  ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )
105104riotabidv 6514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w ) ) ( x `  ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) )
106102, 105syl5eq 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c )  =  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w ) ) ( x `  ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) )
107106reseq2d 5109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) )  =  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
108107cnveqd 5011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) )  =  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
109108fveq1d 5693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 z ) )  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) )
110109mpteq2dv 4260 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( x `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
111100, 110syl5eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 t ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( x `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
112 oveq1 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  m  ->  (
w  -  1 )  =  ( m  - 
1 ) )
113112oveq1d 6059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  m  ->  (
( w  -  1 )  /  n )  =  ( ( m  -  1 )  /  n ) )
114 oveq1 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  m  ->  (
w  /  n )  =  ( m  /  n ) )
115113, 114oveq12d 6062 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  m  ->  (
( ( w  - 
1 )  /  n
) [,] ( w  /  n ) )  =  ( ( ( m  -  1 )  /  n ) [,] ( m  /  n
) ) )
116 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  m  ->  (
g `  w )  =  ( g `  m ) )
117116fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  m  ->  ( 2nd `  ( g `  w ) )  =  ( 2nd `  (
g `  m )
) )
118113fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  m  ->  (
x `  ( (
w  -  1 )  /  n ) )  =  ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) ) )
119118eleq1d 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  m  ->  (
( x `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b  <->  ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )
120117, 119riotaeqbidv 6515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  m  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( x `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  m ) ) ( x `  ( ( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) )
121120reseq2d 5109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  m  ->  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )  =  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  m )
) ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
122121cnveqd 5011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  m  ->  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )  =  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  m )
) ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
123122fveq1d 5693 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  m  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( x `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) )  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  m )
) ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) )
124115, 123mpteq12dv 4251 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  m  ->  (
z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( x `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  n ) [,] ( m  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
125111, 124cbvmpt2v 6115 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) )  =  ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )
126 seqeq2 11286 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `  t ) ) ) )  =  ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )  ->  seq  0 ( ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) ) )
127125, 126ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  seq  0
( ( y  e. 
_V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
128 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  ( 1 ... n
) (  seq  0
( ( y  e. 
_V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) ) `
 k )  = 
U_ k  e.  ( 1 ... n ) (  seq  0 ( ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  - 
1 )  /  n
) [,] ( w  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 t ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) ) `
 k )
12910, 80, 6, 81, 82, 84, 86, 87, 95, 96, 97, 127, 128cvmliftlem14 24941 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
130129ex 424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) )  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) ) )
131130exlimdv 1643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. g ( g : ( 1 ... n
) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) )  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) ) )
13279, 131syl5 30 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) ) )
133132rexlimdva 2794 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( 1 ... n
) E. v  e. 
{ u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j } 
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v  ->  E! f  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  f
)  =  G  /\  ( f `  0
)  =  P ) ) )
13456, 133mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671   E!wreu 2672   {crab 2674   _Vcvv 2920    \ cdif 3281    u. cun 3282    i^i cin 3283    C_ wss 3284   (/)c0 3592   ~Pcpw 3763   {csn 3778   <.cop 3781   U.cuni 3979   U_ciun 4057    e. cmpt 4230    _I cid 4457    X. cxp 4839   `'ccnv 4840   ran crn 4842    |` cres 4843   "cima 4844    o. ccom 4845   Fun wfun 5411    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    e. cmpt2 6046   1stc1st 6310   2ndc2nd 6311   iota_crio 6505   Fincfn 7072   0cc0 8950   1c1 8951    - cmin 9251    / cdiv 9637   NNcn 9960   (,)cioo 10876   [,]cicc 10879   ...cfz 11003    seq cseq 11282   ↾t crest 13607   topGenctg 13624    Cn ccn 17246    Homeo chmeo 17742   IIcii 18862   CovMap ccvm 24899
This theorem is referenced by:  cvmlift  24943
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-ec 6870  df-map 6983  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-sum 12439  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-cmp 17408  df-con 17432  df-lly 17486  df-nlly 17487  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-ii 18864  df-htpy 18952  df-phtpy 18953  df-phtpc 18974  df-pcon 24865  df-scon 24866  df-cvm 24900
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