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Theorem cvmliftlem15 24553
Description: Lemma for cvmlift 24554. Discharge the assumptions of cvmliftlem14 24552. The set of all open subsets 
u of the unit interval such that  G " u is contained in an even covering of some open set in  J is a cover of  II by the definition of a covering map, so by the Lebesgue number lemma lebnumii 18679, there is a subdivision of the unit interval into  N equal parts such that each part is entirely contained within one such open set of  J. Then using finite choice ac6sfi 7248 to uniformly select one such subset and one even covering of each subset, we are ready to finish the proof with cvmliftlem14 24552. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftlem.x  |-  X  = 
U. J
cvmliftlem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftlem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftlem.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftlem.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem15  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
Distinct variable groups:    v, B    f, k, s, u, v, F    P, f, k, u, v    C, f, k, s, u, v    ph, f,
s    S, f, k, s, u, v    f, G, k, s, u, v   
f, J, k, s, u, v
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k)    B( u, f, k, s)    P( s)    X( v, u, f, k, s)

Proof of Theorem cvmliftlem15
Dummy variables  b 
y  z  a  c  g  j  m  n  t  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3344 . . 3  |-  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  II
2 cvmliftlem.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
32adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
4 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 iiuni 18599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
6 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  = 
U. J
75, 6cnf 17193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( II  Cn  J )  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
84, 7syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
9 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  x  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( G `  x )  e.  X
)
108, 9sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( G `  x )  e.  X )
11 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
1211, 6cvmcov 24518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( G `  x )  e.  X )  ->  E. j  e.  J  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) )
133, 10, 12syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  E. j  e.  J  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) )
144ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  G  e.  ( II  Cn  J
) )
15 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  j  e.  J )
16 cnima 17211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  ( II 
Cn  J )  /\  j  e.  J )  ->  ( `' G "
j )  e.  II )
1714, 15, 16syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( `' G " j )  e.  II )
18 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( 0 [,] 1
) )
19 simprrl 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  j )
208ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  G :
( 0 [,] 1
) --> X )
21 ffn 5495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : ( 0 [,] 1 ) --> X  ->  G  Fn  ( 0 [,] 1 ) )
22 elpreima 5752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  ( 0 [,] 1 )  ->  (
x  e.  ( `' G " j )  <-> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( G `  x )  e.  j ) ) )
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' G "
j )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  ( G `  x )  e.  j ) ) )
2418, 19, 23mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( `' G " j ) )
25 simprrr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( S `  j )  =/=  (/) )
26 ffun 5497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : ( 0 [,] 1 ) --> X  ->  Fun  G )
27 funimacnv 5429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
G  ->  ( G " ( `' G "
j ) )  =  ( j  i^i  ran  G ) )
2820, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
j ) )  =  ( j  i^i  ran  G ) )
29 inss1 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  i^i  ran  G )  C_  j
3029a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( j  i^i  ran  G )  C_  j )
3128, 30eqsstrd 3298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
j ) )  C_  j )
3231ralrimivw 2712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  A. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j )
33 r19.2z 3632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S `  j
)  =/=  (/)  /\  A. s  e.  ( S `  j ) ( G
" ( `' G " j ) )  C_  j )  ->  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j )
3425, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j )
35 eleq2 2427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  (
x  e.  u  <->  x  e.  ( `' G " j ) ) )
36 imaeq2 5111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  ( G " u )  =  ( G " ( `' G " j ) ) )
3736sseq1d 3291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  (
( G " u
)  C_  j  <->  ( G " ( `' G "
j ) )  C_  j ) )
3837rexbidv 2649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  ( E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j  <->  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j ) )
3935, 38anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( `' G " j )  ->  (
( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )  <->  ( x  e.  ( `' G " j )  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j ) ) )
4039rspcev 2969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' G "
j )  e.  II  /\  ( x  e.  ( `' G " j )  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
( `' G "
j ) )  C_  j ) )  ->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )
)
4117, 24, 34, 40syl12anc 1181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  (
j  e.  J  /\  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) ) ) )  ->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
4241expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  j  e.  J )  ->  (
( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )
) )
4342reximdva 2740 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( E. j  e.  J  ( ( G `  x )  e.  j  /\  ( S `  j )  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  J  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j ) ( G " u
)  C_  j )
) )
4413, 43mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  E. j  e.  J  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
45 r19.42v 2779 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j  e.  J  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  ( x  e.  u  /\  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
4645rexbii 2653 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  II  E. j  e.  J  (
x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
47 rexcom 2786 . . . . . . . 8  |-  ( E. j  e.  J  E. u  e.  II  (
x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  E. u  e.  II  E. j  e.  J  ( x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j
) )
48 elunirab 3942 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } 
<->  E. u  e.  II  ( x  e.  u  /\  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j )
)
4946, 47, 483bitr4i 268 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  J  E. u  e.  II  (
x  e.  u  /\  E. s  e.  ( S `
 j ) ( G " u ) 
C_  j )  <->  x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }
)
5044, 49sylib 188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } )
5150ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  x  e.  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }
) )
5251ssrdv 3271 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } )
53 uniss 3950 . . . . . 6  |-  ( { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }  C_  II  ->  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  U. II )
541, 53mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  U. II )
5554, 5syl6sseqr 3311 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  C_  ( 0 [,] 1 ) )
5652, 55eqssd 3282 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  =  U. {
u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }
)
57 lebnumii 18679 . . 3  |-  ( ( { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j }  C_  II  /\  ( 0 [,] 1 )  = 
U. { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j } )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( 1 ... n
) E. v  e. 
{ u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j } 
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )
581, 56, 57sylancr 644 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v
)
59 fzfi 11198 . . . . 5  |-  ( 1 ... n )  e. 
Fin
60 imaeq2 5111 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  v  ->  ( G " u )  =  ( G " v
) )
6160sseq1d 3291 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  v  ->  (
( G " u
)  C_  j  <->  ( G " v )  C_  j
) )
62612rexbidv 2671 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j  <->  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
v )  C_  j
) )
6362rexrab 3015 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  <->  E. v  e.  II  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  /\  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )
)
64 vex 2876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  j  e. 
_V
65 vex 2876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  s  e. 
_V
6664, 65op1std 6257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  <. j ,  s
>.  ->  ( 1st `  u
)  =  j )
6766sseq2d 3292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  <. j ,  s
>.  ->  ( ( G
" v )  C_  ( 1st `  u )  <-> 
( G " v
)  C_  j )
)
6867rexiunxp 4929 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
v )  C_  ( 1st `  u )  <->  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
v )  C_  j
)
69 imass2 5152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) ) )  C_  ( G " v ) )
70 sstr2 3272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n ) ) ) 
C_  ( G "
v )  ->  (
( G " v
)  C_  ( 1st `  u )  ->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  (
( G " v
)  C_  ( 1st `  u )  ->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7271reximdv 2739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  ( E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
v )  C_  ( 1st `  u )  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7368, 72syl5bir 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) 
C_  v  ->  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) ) )
7473impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  /\  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
7574rexlimivw 2748 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  II  ( E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " v
)  C_  j  /\  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v )  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
7663, 75sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
7776ralimi 2703 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  A. k  e.  ( 1 ... n ) E. u  e.  U_  j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )
78 fveq2 5632 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( g `  k )  ->  ( 1st `  u )  =  ( 1st `  (
g `  k )
) )
7978sseq2d 3292 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( g `  k )  ->  (
( G " (
( ( k  - 
1 )  /  n
) [,] ( k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u )  <->  ( G " ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )
8079ac6sfi 7248 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) E. u  e.  U_  j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  u ) )  ->  E. g ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )
8159, 77, 80sylancr 644 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  E. g ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )
82 cvmliftlem.b . . . . . . 7  |-  B  = 
U. C
832ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
844ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  G  e.  ( II  Cn  J
) )
85 cvmliftlem.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
8685ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  P  e.  B )
87 cvmliftlem.e . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
8887ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  ( F `  P )  =  ( G `  0 ) )
89 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
90 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  g :
( 1 ... n
) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
91 sneq 3740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  a  ->  { j }  =  { a } )
92 fveq2 5632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  a  ->  ( S `  j )  =  ( S `  a ) )
9391, 92xpeq12d 4817 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  a  ->  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  =  ( { a }  X.  ( S `  a )
) )
9493cbviunv 4043 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  =  U_ a  e.  J  ( {
a }  X.  ( S `  a )
)
95 feq3 5482 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  =  U_ a  e.  J  ( {
a }  X.  ( S `  a )
)  ->  ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  <->  g : ( 1 ... n ) -->
U_ a  e.  J  ( { a }  X.  ( S `  a ) ) ) )
9694, 95ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( {
j }  X.  ( S `  j )
)  <->  g : ( 1 ... n ) -->
U_ a  e.  J  ( { a }  X.  ( S `  a ) ) )
9790, 96sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  g :
( 1 ... n
) --> U_ a  e.  J  ( { a }  X.  ( S `  a ) ) )
98 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) )
99 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
100 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  ( G `  t )  =  ( G `  z ) )
101100fveq2d 5636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  z  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 t ) )  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  z )
) )
102101cbvmptv 4213 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `  t ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 z ) ) )
103 eleq2 2427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  b  ->  (
( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c  <->  ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )
104103cbvriotav 6458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c )  =  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b )
105 fveq1 5631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
y `  ( (
w  -  1 )  /  n ) )  =  ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) ) )
106105eleq1d 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b  <->  ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )
107106riotabidv 6448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w ) ) ( x `  ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) )
108104, 107syl5eq 2410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c )  =  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w ) ) ( x `  ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) )
109108reseq2d 5058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) )  =  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
110109cnveqd 4960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) )  =  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
111110fveq1d 5634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 z ) )  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) )
112111mpteq2dv 4209 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( x `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
113102, 112syl5eq 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 t ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( x `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
114 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  m  ->  (
w  -  1 )  =  ( m  - 
1 ) )
115114oveq1d 5996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  m  ->  (
( w  -  1 )  /  n )  =  ( ( m  -  1 )  /  n ) )
116 oveq1 5988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  m  ->  (
w  /  n )  =  ( m  /  n ) )
117115, 116oveq12d 5999 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  m  ->  (
( ( w  - 
1 )  /  n
) [,] ( w  /  n ) )  =  ( ( ( m  -  1 )  /  n ) [,] ( m  /  n
) ) )
118 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  m  ->  (
g `  w )  =  ( g `  m ) )
119118fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  m  ->  ( 2nd `  ( g `  w ) )  =  ( 2nd `  (
g `  m )
) )
120115fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  m  ->  (
x `  ( (
w  -  1 )  /  n ) )  =  ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) ) )
121120eleq1d 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  m  ->  (
( x `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b  <->  ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )
122119, 121riotaeqbidv 6449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  m  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( x `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  m ) ) ( x `  ( ( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) )
123122reseq2d 5058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  m  ->  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )  =  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  m )
) ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
124123cnveqd 4960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  m  ->  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( x `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) )  =  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  m )
) ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) )
125124fveq1d 5634 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  m  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( x `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) )  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  (
g `  m )
) ( x `  ( ( m  - 
1 )  /  n
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) )
126117, 125mpteq12dv 4200 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  m  ->  (
z  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( x `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  n ) [,] ( m  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
127113, 126cbvmpt2v 6052 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) )  =  ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )
128 seqeq2 11214 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] ( w  /  n
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `  w
) ) ( y `
 ( ( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `  t ) ) ) )  =  ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )  ->  seq  0 ( ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) ) )
129127, 128ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  seq  0
( ( y  e. 
_V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  - 
1 )  /  n
) [,] ( m  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( g `
 m ) ) ( x `  (
( m  -  1 )  /  n ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
130 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  ( 1 ... n
) (  seq  0
( ( y  e. 
_V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  -  1 )  /  n ) [,] (
w  /  n ) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  (
g `  w )
) ( y `  ( ( w  - 
1 )  /  n
) )  e.  c ) ) `  ( G `  t )
) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) ) `
 k )  = 
U_ k  e.  ( 1 ... n ) (  seq  0 ( ( y  e.  _V ,  w  e.  NN  |->  ( t  e.  ( ( ( w  - 
1 )  /  n
) [,] ( w  /  n ) ) 
|->  ( `' ( F  |`  ( iota_ c  e.  ( 2nd `  ( g `
 w ) ) ( y `  (
( w  -  1 )  /  n ) )  e.  c ) ) `  ( G `
 t ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) ) `
 k )
13111, 82, 6, 83, 84, 86, 88, 89, 97, 98, 99, 129, 130cvmliftlem14 24552 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) ) )  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) )
132131ex 423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( g : ( 1 ... n ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) )  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) ) )
133132exlimdv 1641 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. g ( g : ( 1 ... n
) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) )  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( G "
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) ) )  C_  ( 1st `  ( g `  k ) ) )  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C
) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f `
 0 )  =  P ) ) )
13481, 133syl5 28 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n ) E. v  e.  { u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j
) ( G "
u )  C_  j }  ( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] ( k  /  n
) )  C_  v  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) ) )
135134rexlimdva 2752 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( 1 ... n
) E. v  e. 
{ u  e.  II  |  E. j  e.  J  E. s  e.  ( S `  j )
( G " u
)  C_  j } 
( ( ( k  -  1 )  /  n ) [,] (
k  /  n ) )  C_  v  ->  E! f  e.  ( II 
Cn  C ) ( ( F  o.  f
)  =  G  /\  ( f `  0
)  =  P ) ) )
13658, 135mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( II  Cn  C ) ( ( F  o.  f )  =  G  /\  ( f ` 
0 )  =  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1546    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   A.wral 2628   E.wrex 2629   E!wreu 2630   {crab 2632   _Vcvv 2873    \ cdif 3235    u. cun 3236    i^i cin 3237    C_ wss 3238   (/)c0 3543   ~Pcpw 3714   {csn 3729   <.cop 3732   U.cuni 3929   U_ciun 4007    e. cmpt 4179    _I cid 4407    X. cxp 4790   `'ccnv 4791   ran crn 4793    |` cres 4794   "cima 4795    o. ccom 4796   Fun wfun 5352    Fn wfn 5353   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    e. cmpt2 5983   1stc1st 6247   2ndc2nd 6248   iota_crio 6439   Fincfn 7006   0cc0 8884   1c1 8885    - cmin 9184    / cdiv 9570   NNcn 9893   (,)cioo 10809   [,]cicc 10812   ...cfz 10935    seq cseq 11210   ↾t crest 13535   topGenctg 13552    Cn ccn 17171    Homeo chmeo 17661   IIcii 18593   CovMap ccvm 24510
This theorem is referenced by:  cvmlift  24554
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-ec 6804  df-map 6917  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-sum 12367  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-cmp 17331  df-con 17355  df-lly 17409  df-nlly 17410  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-ii 18595  df-htpy 18683  df-phtpy 18684  df-phtpc 18705  df-pcon 24476  df-scon 24477  df-cvm 24511
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