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Theorem cvmliftlem6 23821
Description: Lemma for cvmlift 23830. Induction step for cvmliftlem7 23822. Assuming that  Q ( M  - 
1 ) is defined at  ( M  -  1 )  /  N and is a preimage of  G ( ( M  -  1 )  /  N ), the next segment  Q ( M ) is also defined and is a function on  W which is a lift  G for this segment. This follows explicitly from the definition  Q ( M )  =  `' ( F  |`  I )  o.  G since  G is in  1st `  ( F `  M ) for the entire interval so that  `' ( F  |`  I ) maps this into  I and  F  o.  Q maps back to  G. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftlem.x  |-  X  = 
U. J
cvmliftlem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftlem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftlem.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftlem.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
cvmliftlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cvmliftlem.t  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
cvmliftlem.a  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
cvmliftlem.l  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
cvmliftlem.q  |-  Q  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
cvmliftlem5.3  |-  W  =  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N ) )
cvmliftlem6.1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ( 1 ... N ) )
cvmliftlem6.2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( Q `  M ) : W --> B  /\  ( F  o.  ( Q `  M ) )  =  ( G  |`  W ) ) )
Distinct variable groups:    v, b,
z, B    j, b,
k, m, s, u, x, F, v, z   
z, L    M, b,
j, k, m, s, u, v, x, z    P, b, k, m, u, v, x, z    C, b, j, k, s, u, v, z    ph, j,
s, x, z    ps, z    N, b, k, m, u, v, x, z    S, b, j, k, s, u, v, x, z   
j, X    G, b,
j, k, m, s, u, v, x, z    T, b, j, k, m, s, u, v, x, z    J, b, j, k, s, u, v, x, z    Q, b, k, m, u, v, x, z   
k, W, m, x, z
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k, m, b)    ps( x, v, u, j, k, m, s, b)    B( x, u, j, k, m, s)    C( x, m)    P( j, s)    Q( j, s)    S( m)    J( m)    L( x, v, u, j, k, m, s, b)    N( j, s)    W( v, u, j, s, b)    X( x, z, v, u, k, m, s, b)

Proof of Theorem cvmliftlem6
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
2 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  = 
U. C
3 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. J
4 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
5 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
6 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
7 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
8 cvmliftlem.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
9 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
10 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
11 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
12 cvmliftlem6.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ( 1 ... N ) )
1312adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  M  e.  ( 1 ... N
) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13cvmliftlem1 23816 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( 2nd `  ( T `  M
) )  e.  ( S `  ( 1st `  ( T `  M
) ) ) )
151cvmsss 23798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd `  ( T `
 M ) )  e.  ( S `  ( 1st `  ( T `
 M ) ) )  ->  ( 2nd `  ( T `  M
) )  C_  C
)
1614, 15syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( 2nd `  ( T `  M
) )  C_  C
)
174adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
18 cvmliftlem6.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) )
1918adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) )
20 cvmcn 23793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
212, 3cnf 16976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> X )
2217, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  F : B
--> X )
23 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : B --> X  ->  F  Fn  B )
24 fniniseg 5646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  B  ->  (
( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } )  <->  ( (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  B  /\  ( F `  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) ) ) )
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } )  <-> 
( ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  B  /\  ( F `  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) ) ) ) )
2619, 25mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  B  /\  ( F `  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) ) )
2726simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  B )
2826simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( F `  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) )
29 cvmliftlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  =  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N ) )
30 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( 1 ... N )  ->  M  e.  NN )
3113, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  M  e.  NN )
3231nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  M  e.  RR )
33 peano2rem 9113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
358adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  N  e.  NN )
3634, 35nndivred 9794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  e.  RR )
3736rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  e. 
RR* )
3832, 35nndivred 9794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( M  /  N )  e.  RR )
3938rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( M  /  N )  e.  RR* )
4032ltm1d 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( M  -  1 )  < 
M )
4135nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  N  e.  RR )
4235nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  0  <  N )
43 ltdiv1 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( M  - 
1 )  <  M  <->  ( ( M  -  1 )  /  N )  <  ( M  /  N ) ) )
4434, 32, 41, 42, 43syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  <  M  <->  ( ( M  -  1 )  /  N )  < 
( M  /  N
) ) )
4540, 44mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  < 
( M  /  N
) )
4636, 38, 45ltled 8967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  <_ 
( M  /  N
) )
47 lbicc2 10752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  - 
1 )  /  N
)  e.  RR*  /\  ( M  /  N )  e. 
RR*  /\  ( ( M  -  1 )  /  N )  <_ 
( M  /  N
) )  ->  (
( M  -  1 )  /  N )  e.  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N
) ) )
4837, 39, 46, 47syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  e.  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N ) ) )
4948, 29syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  e.  W )
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 49cvmliftlem3 23818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  ( 1st `  ( T `
 M ) ) )
5128, 50eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( F `  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) ) )  e.  ( 1st `  ( T `
 M ) ) )
52 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  =  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )
531, 2, 52cvmsiota 23808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  (
( 2nd `  ( T `  M )
)  e.  ( S `
 ( 1st `  ( T `  M )
) )  /\  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  B  /\  ( F `  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) ) )  e.  ( 1st `  ( T `  M )
) ) )  -> 
( ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) )  /\  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) )
5417, 14, 27, 51, 53syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b )  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) )  /\  ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) )
5554simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) )
5616, 55sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  e.  C )
57 elssuni 3855 . . . . . . . 8  |-  ( (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b )  e.  C  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  C_  U. C )
5856, 57syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  C_  U. C )
5958, 2syl6sseqr 3225 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  C_  B )
601cvmsf1o 23803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( 2nd `  ( T `  M ) )  e.  ( S `  ( 1st `  ( T `  M ) ) )  /\  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) )  -> 
( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) -1-1-onto-> ( 1st `  ( T `
 M ) ) )
6117, 14, 55, 60syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) -1-1-onto-> ( 1st `  ( T `  M )
) )
62 f1ocnv 5485 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) : (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) -1-1-onto-> ( 1st `  ( T `  M
) )  ->  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) : ( 1st `  ( T `
 M ) ) -1-1-onto-> (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) )
63 f1of 5472 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( 1st `  ( T `  M )
)
-1-1-onto-> ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b )  ->  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( 1st `  ( T `  M
) ) --> ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) )
6461, 62, 633syl 18 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) : ( 1st `  ( T `
 M ) ) --> ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) )
65 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  z  e.  W )
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 65cvmliftlem3 23818 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( G `  z )  e.  ( 1st `  ( T `
 M ) ) )
67 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( 1st `  ( T `  M
) ) --> ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  /\  ( G `
 z )  e.  ( 1st `  ( T `  M )
) )  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) )  e.  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) )
6864, 66, 67syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
)  e.  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) )
6959, 68sseldd 3181 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
)  e.  B )
7069anassrs 629 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  z  e.  W
)  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
)  e.  B )
71 eqid 2283 . . . 4  |-  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )
7270, 71fmptd 5684 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) : W --> B )
7312, 30syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  NN )
74 cvmliftlem.q . . . . . 6  |-  Q  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
751, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 74, 29cvmliftlem5 23820 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( Q `
 M )  =  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )
7673, 75syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q `  M
)  =  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
7776feq1d 5379 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( Q `  M ) : W --> B 
<->  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) : W --> B ) )
7872, 77mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q `  M
) : W --> B )
79 fvres 5542 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  W  ->  (
( G  |`  W ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
8065, 79syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( G  |`  W ) `  z )  =  ( G `  z ) )
81 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) -1-1-onto-> ( 1st `  ( T `
 M ) )  /\  ( G `  z )  e.  ( 1st `  ( T `
 M ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( G `
 z ) )
8261, 66, 81syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( G `
 z ) )
83 fvres 5542 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) )  e.  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) ) )
8468, 83syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) ) )
8580, 82, 843eqtr2rd 2322 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( F `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( ( G  |`  W ) `  z ) )
8685anassrs 629 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  z  e.  W
)  ->  ( F `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( ( G  |`  W ) `  z ) )
8786mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  W  |->  ( F `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )  =  ( z  e.  W  |->  ( ( G  |`  W ) `
 z ) ) )
884, 20, 213syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : B --> X )
8988adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  F : B --> X )
9089feqmptd 5575 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  F  =  ( y  e.  B  |->  ( F `
 y ) ) )
91 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( y  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
)  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
9270, 76, 90, 91fmptco 5691 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F  o.  ( Q `  M )
)  =  ( z  e.  W  |->  ( F `
 ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) ) ) )
93 iiuni 18385 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
9493, 3cnf 16976 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( II  Cn  J )  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
955, 94syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
9695adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
971, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 29cvmliftlem2 23817 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  C_  ( 0 [,] 1 ) )
98 fssres 5408 . . . . 5  |-  ( ( G : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  W  C_  (
0 [,] 1 ) )  ->  ( G  |`  W ) : W --> X )
9996, 97, 98syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( G  |`  W ) : W --> X )
10099feqmptd 5575 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( G  |`  W )  =  ( z  e.  W  |->  ( ( G  |`  W ) `  z
) ) )
10187, 92, 1003eqtr4d 2325 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F  o.  ( Q `  M )
)  =  ( G  |`  W ) )
10278, 101jca 518 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( Q `  M ) : W --> B  /\  ( F  o.  ( Q `  M ) )  =  ( G  |`  W ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _I cid 4304    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   iota_crio 6297   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   ...cfz 10782    seq cseq 11046   ↾t crest 13325   topGenctg 13342    Cn ccn 16954    Homeo chmeo 17444   IIcii 18379   CovMap ccvm 23786
This theorem is referenced by:  cvmliftlem7  23822  cvmliftlem10  23825  cvmliftlem13  23827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-hmeo 17446  df-ii 18381  df-cvm 23787
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