Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem6 Unicode version

Theorem cvmliftlem6 24756
Description: Lemma for cvmlift 24765. Induction step for cvmliftlem7 24757. Assuming that  Q ( M  - 
1 ) is defined at  ( M  -  1 )  /  N and is a preimage of  G ( ( M  -  1 )  /  N ), the next segment  Q ( M ) is also defined and is a function on  W which is a lift  G for this segment. This follows explicitly from the definition  Q ( M )  =  `' ( F  |`  I )  o.  G since  G is in  1st `  ( F `  M ) for the entire interval so that  `' ( F  |`  I ) maps this into  I and  F  o.  Q maps back to  G. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftlem.x  |-  X  = 
U. J
cvmliftlem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftlem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftlem.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftlem.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
cvmliftlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cvmliftlem.t  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
cvmliftlem.a  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
cvmliftlem.l  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
cvmliftlem.q  |-  Q  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
cvmliftlem5.3  |-  W  =  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N ) )
cvmliftlem6.1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ( 1 ... N ) )
cvmliftlem6.2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( Q `  M ) : W --> B  /\  ( F  o.  ( Q `  M ) )  =  ( G  |`  W ) ) )
Distinct variable groups:    v, b,
z, B    j, b,
k, m, s, u, x, F, v, z   
z, L    M, b,
j, k, m, s, u, v, x, z    P, b, k, m, u, v, x, z    C, b, j, k, s, u, v, z    ph, j,
s, x, z    ps, z    N, b, k, m, u, v, x, z    S, b, j, k, s, u, v, x, z   
j, X    G, b,
j, k, m, s, u, v, x, z    T, b, j, k, m, s, u, v, x, z    J, b, j, k, s, u, v, x, z    Q, b, k, m, u, v, x, z   
k, W, m, x, z
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k, m, b)    ps( x, v, u, j, k, m, s, b)    B( x, u, j, k, m, s)    C( x, m)    P( j, s)    Q( j, s)    S( m)    J( m)    L( x, v, u, j, k, m, s, b)    N( j, s)    W( v, u, j, s, b)    X( x, z, v, u, k, m, s, b)

Proof of Theorem cvmliftlem6
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
2 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  = 
U. C
3 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. J
4 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
5 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
6 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
7 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
8 cvmliftlem.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
9 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
10 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
11 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
12 cvmliftlem6.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ( 1 ... N ) )
1312adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  M  e.  ( 1 ... N
) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13cvmliftlem1 24751 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( 2nd `  ( T `  M
) )  e.  ( S `  ( 1st `  ( T `  M
) ) ) )
151cvmsss 24733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd `  ( T `
 M ) )  e.  ( S `  ( 1st `  ( T `
 M ) ) )  ->  ( 2nd `  ( T `  M
) )  C_  C
)
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( 2nd `  ( T `  M
) )  C_  C
)
174adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
18 cvmliftlem6.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) )
1918adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) )
20 cvmcn 24728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
212, 3cnf 17232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> X )
2217, 20, 213syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  F : B
--> X )
23 ffn 5531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : B --> X  ->  F  Fn  B )
24 fniniseg 5790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  B  ->  (
( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } )  <->  ( (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  B  /\  ( F `  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) ) ) )
2522, 23, 243syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } )  <-> 
( ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  B  /\  ( F `  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) ) ) ) )
2619, 25mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  B  /\  ( F `  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) ) )
2726simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  B )
2826simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( F `  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) )
29 cvmliftlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  =  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N ) )
30 elfznn 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( 1 ... N )  ->  M  e.  NN )
3113, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  M  e.  NN )
3231nnred 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  M  e.  RR )
33 peano2rem 9299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
358adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  N  e.  NN )
3634, 35nndivred 9980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  e.  RR )
3736rexrd 9067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  e. 
RR* )
3832, 35nndivred 9980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( M  /  N )  e.  RR )
3938rexrd 9067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( M  /  N )  e.  RR* )
4032ltm1d 9875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( M  -  1 )  < 
M )
4135nnred 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  N  e.  RR )
4235nngt0d 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  0  <  N )
43 ltdiv1 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( M  - 
1 )  <  M  <->  ( ( M  -  1 )  /  N )  <  ( M  /  N ) ) )
4434, 32, 41, 42, 43syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  <  M  <->  ( ( M  -  1 )  /  N )  < 
( M  /  N
) ) )
4540, 44mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  < 
( M  /  N
) )
4636, 38, 45ltled 9153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  <_ 
( M  /  N
) )
47 lbicc2 10945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  - 
1 )  /  N
)  e.  RR*  /\  ( M  /  N )  e. 
RR*  /\  ( ( M  -  1 )  /  N )  <_ 
( M  /  N
) )  ->  (
( M  -  1 )  /  N )  e.  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N
) ) )
4837, 39, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  e.  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N ) ) )
4948, 29syl6eleqr 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( M  -  1 )  /  N )  e.  W )
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 49cvmliftlem3 24753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  ( 1st `  ( T `
 M ) ) )
5128, 50eqeltrd 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( F `  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) ) )  e.  ( 1st `  ( T `
 M ) ) )
52 eqid 2387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  =  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )
531, 2, 52cvmsiota 24743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  (
( 2nd `  ( T `  M )
)  e.  ( S `
 ( 1st `  ( T `  M )
) )  /\  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  B  /\  ( F `  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) ) )  e.  ( 1st `  ( T `  M )
) ) )  -> 
( ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) )  /\  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) )
5417, 14, 27, 51, 53syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b )  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) )  /\  ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) )
5554simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) )
5616, 55sseldd 3292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  e.  C )
57 elssuni 3985 . . . . . . . 8  |-  ( (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b )  e.  C  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  C_  U. C )
5856, 57syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  C_  U. C )
5958, 2syl6sseqr 3338 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  C_  B )
601cvmsf1o 24738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( 2nd `  ( T `  M ) )  e.  ( S `  ( 1st `  ( T `  M ) ) )  /\  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) )  -> 
( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) -1-1-onto-> ( 1st `  ( T `
 M ) ) )
6117, 14, 55, 60syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) -1-1-onto-> ( 1st `  ( T `  M )
) )
62 f1ocnv 5627 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) : (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) -1-1-onto-> ( 1st `  ( T `  M
) )  ->  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) : ( 1st `  ( T `
 M ) ) -1-1-onto-> (
iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) )
63 f1of 5614 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( 1st `  ( T `  M )
)
-1-1-onto-> ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b )  ->  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( 1st `  ( T `  M
) ) --> ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) )
6461, 62, 633syl 19 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) : ( 1st `  ( T `
 M ) ) --> ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) )
65 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  z  e.  W )
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 65cvmliftlem3 24753 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( G `  z )  e.  ( 1st `  ( T `
 M ) ) )
6764, 66ffvelrnd 5810 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
)  e.  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) )
6859, 67sseldd 3292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
)  e.  B )
6968anassrs 630 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  z  e.  W
)  ->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
)  e.  B )
70 eqid 2387 . . . 4  |-  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )
7169, 70fmptd 5832 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) : W --> B )
7212, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  NN )
73 cvmliftlem.q . . . . . 6  |-  Q  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
741, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 73, 29cvmliftlem5 24755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( Q `
 M )  =  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )
7572, 74syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q `  M
)  =  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
7675feq1d 5520 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( Q `  M ) : W --> B 
<->  ( z  e.  W  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) : W --> B ) )
7771, 76mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q `  M
) : W --> B )
78 fvres 5685 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  W  ->  (
( G  |`  W ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
7965, 78syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( G  |`  W ) `  z )  =  ( G `  z ) )
80 f1ocnvfv2 5954 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) : ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) -1-1-onto-> ( 1st `  ( T `
 M ) )  /\  ( G `  z )  e.  ( 1st `  ( T `
 M ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( G `
 z ) )
8161, 66, 80syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( G `
 z ) )
82 fvres 5685 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) )  e.  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) ) )
8367, 82syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) ) )
8479, 81, 833eqtr2rd 2426 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ps  /\  z  e.  W ) )  ->  ( F `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( ( G  |`  W ) `  z ) )
8584anassrs 630 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  z  e.  W
)  ->  ( F `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) )  =  ( ( G  |`  W ) `  z ) )
8685mpteq2dva 4236 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  W  |->  ( F `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `
 M ) ) ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `
 z ) ) ) )  =  ( z  e.  W  |->  ( ( G  |`  W ) `
 z ) ) )
874, 20, 213syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : B --> X )
8887adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  F : B --> X )
8988feqmptd 5718 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  F  =  ( y  e.  B  |->  ( F `
 y ) ) )
90 fveq2 5668 . . . 4  |-  ( y  =  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
)  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M
) ) ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) )
9169, 75, 89, 90fmptco 5840 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F  o.  ( Q `  M )
)  =  ( z  e.  W  |->  ( F `
 ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  M )
) ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  b ) ) `  ( G `  z )
) ) ) )
92 iiuni 18782 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
9392, 3cnf 17232 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( II  Cn  J )  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
945, 93syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
9594adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
961, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 29cvmliftlem2 24752 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  C_  ( 0 [,] 1 ) )
97 fssres 5550 . . . . 5  |-  ( ( G : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  W  C_  (
0 [,] 1 ) )  ->  ( G  |`  W ) : W --> X )
9895, 96, 97syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( G  |`  W ) : W --> X )
9998feqmptd 5718 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( G  |`  W )  =  ( z  e.  W  |->  ( ( G  |`  W ) `  z
) ) )
10086, 91, 993eqtr4d 2429 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F  o.  ( Q `  M )
)  =  ( G  |`  W ) )
10177, 100jca 519 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( Q `  M ) : W --> B  /\  ( F  o.  ( Q `  M ) )  =  ( G  |`  W ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   {crab 2653   _Vcvv 2899    \ cdif 3260    u. cun 3261    i^i cin 3262    C_ wss 3263   (/)c0 3571   ~Pcpw 3742   {csn 3757   <.cop 3760   U.cuni 3957   U_ciun 4035   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    _I cid 4434    X. cxp 4816   `'ccnv 4817   ran crn 4819    |` cres 4820   "cima 4821    o. ccom 4822    Fn wfn 5389   -->wf 5390   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    e. cmpt2 6022   1stc1st 6286   2ndc2nd 6287   iota_crio 6478   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   (,)cioo 10848   [,]cicc 10851   ...cfz 10975    seq cseq 11250   ↾t crest 13575   topGenctg 13592    Cn ccn 17210    Homeo chmeo 17706   IIcii 18776   CovMap ccvm 24721
This theorem is referenced by:  cvmliftlem7  24757  cvmliftlem10  24760  cvmliftlem13  24762
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-icc 10855  df-fz 10976  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-rest 13577  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-cn 17213  df-hmeo 17708  df-ii 18778  df-cvm 24722
  Copyright terms: Public domain W3C validator