Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem7 Unicode version

Theorem cvmliftlem7 23837
 Description: Lemma for cvmlift 23845. Prove by induction that every function is well-defined (we can immediately follow this theorem with cvmliftlem6 23836 to show functionality and lifting of ). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 t t
cvmliftlem.b
cvmliftlem.x
cvmliftlem.f CovMap
cvmliftlem.g
cvmliftlem.p
cvmliftlem.e
cvmliftlem.n
cvmliftlem.t
cvmliftlem.a
cvmliftlem.l
cvmliftlem.q
cvmliftlem5.3
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem7
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,,,,,   ,   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,,,,)   (,)   (,)   (,)   ()   ()   (,,,,,,,)   (,)   (,,,,)   (,,,,,,,)

Proof of Theorem cvmliftlem7
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssp1 10850 . . . 4
2 cvmliftlem.n . . . . . . . 8
32nncnd 9778 . . . . . . 7
43adantr 451 . . . . . 6
5 ax-1cn 8811 . . . . . 6
6 npcan 9076 . . . . . 6
74, 5, 6sylancl 643 . . . . 5
87oveq2d 5890 . . . 4
91, 8syl5sseq 3239 . . 3
10 simpr 447 . . . 4
11 elfzelz 10814 . . . . 5
122nnzd 10132 . . . . 5
13 elfzm1b 10876 . . . . 5
1411, 12, 13syl2anr 464 . . . 4
1510, 14mpbid 201 . . 3
169, 15sseldd 3194 . 2
17 elfznn0 10838 . . . 4
19 eleq1 2356 . . . . . . 7
20 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
21 oveq1 5881 . . . . . . . . 9
2220, 21fveq12d 5547 . . . . . . . 8
2321fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
2423sneqd 3666 . . . . . . . . 9
2524imaeq2d 5028 . . . . . . . 8
2622, 25eleq12d 2364 . . . . . . 7
2719, 26imbi12d 311 . . . . . 6
2827imbi2d 307 . . . . 5
29 eleq1 2356 . . . . . . 7
30 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
31 oveq1 5881 . . . . . . . . 9
3230, 31fveq12d 5547 . . . . . . . 8
3331fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
3433sneqd 3666 . . . . . . . . 9
3534imaeq2d 5028 . . . . . . . 8
3632, 35eleq12d 2364 . . . . . . 7
3729, 36imbi12d 311 . . . . . 6
3837imbi2d 307 . . . . 5
39 eleq1 2356 . . . . . . 7
40 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
41 oveq1 5881 . . . . . . . . 9
4240, 41fveq12d 5547 . . . . . . . 8
4341fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
4443sneqd 3666 . . . . . . . . 9
4544imaeq2d 5028 . . . . . . . 8
4642, 45eleq12d 2364 . . . . . . 7
4739, 46imbi12d 311 . . . . . 6
4847imbi2d 307 . . . . 5
49 eleq1 2356 . . . . . . 7
50 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
51 oveq1 5881 . . . . . . . . 9
5250, 51fveq12d 5547 . . . . . . . 8
5351fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
5453sneqd 3666 . . . . . . . . 9
5554imaeq2d 5028 . . . . . . . 8
5652, 55eleq12d 2364 . . . . . . 7
5749, 56imbi12d 311 . . . . . 6
5857imbi2d 307 . . . . 5
59 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11 t t
60 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11
61 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11
62 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11 CovMap
63 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11
64 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11
65 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11
66 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11
67 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11
68 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11
69 cvmliftlem.q . . . . . . . . . . 11
7059, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69cvmliftlem4 23834 . . . . . . . . . 10
7170a1i 10 . . . . . . . . 9
722nnne0d 9806 . . . . . . . . . 10
733, 72div0d 9551 . . . . . . . . 9
7471, 73fveq12d 5547 . . . . . . . 8
75 0nn0 9996 . . . . . . . . 9
76 fvsng 5730 . . . . . . . . 9
7775, 64, 76sylancr 644 . . . . . . . 8
7874, 77eqtrd 2328 . . . . . . 7
7973fveq2d 5545 . . . . . . . . 9
8065, 79eqtr4d 2331 . . . . . . . 8
81 cvmcn 23808 . . . . . . . . . . 11 CovMap
8262, 81syl 15 . . . . . . . . . 10
8360, 61cnf 16992 . . . . . . . . . 10
84 ffn 5405 . . . . . . . . . 10
8582, 83, 843syl 18 . . . . . . . . 9
86 fniniseg 5662 . . . . . . . . 9
8785, 86syl 15 . . . . . . . 8
8864, 80, 87mpbir2and 888 . . . . . . 7
8978, 88eqeltrd 2370 . . . . . 6
9089a1d 22 . . . . 5
91 id 19 . . . . . . . . . . . 12
92 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . . 12
9391, 92syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . 11
9493adantl 452 . . . . . . . . . 10
95 peano2fzr 10824 . . . . . . . . . . 11
9695ex 423 . . . . . . . . . 10
9794, 96syl 15 . . . . . . . . 9
9897imim1d 69 . . . . . . . 8
99 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15
100 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102100, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105103, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107105, 106syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10812adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109 elfz5 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110107, 108, 109syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111102, 110mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15
112 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113103nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115113, 5, 114sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116115fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117115oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118116, 117fveq12d 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119117fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
120119sneqd 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121120imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122118, 121eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123112, 122mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15
12459, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69, 99, 111, 123cvmliftlem6 23836 . . . . . . . . . . . . . 14
125124simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13
126103nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1272adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128126, 127nndivred 9810 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129128rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . 15
130 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131126, 130syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132131, 127nndivred 9810 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133132rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . 15
134126ltp1d 9703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135127nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136127nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137 ltdiv1 9636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
138126, 131, 135, 136, 137syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139134, 138mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140128, 132, 139ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . . 15
141 ubicc2 10769 . . . . . . . . . . . . . . 15
142129, 133, 140, 141syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14
143117oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14
144142, 143eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . 13
145 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13
146125, 144, 145syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
147124simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
148143reseq2d 4971 . . . . . . . . . . . . . . 15
149147, 148eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14
150149fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . 13
151143feq2d 5396 . . . . . . . . . . . . . . 15
152125, 151mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14
153 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . . . 14
154152, 142, 153syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
155 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . 14
156142, 155syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
157150, 154, 1563eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . 12
15885adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
159 fniniseg 5662 . . . . . . . . . . . . 13
160158, 159syl 15 . . . . . . . . . . . 12
161146, 157, 160mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11
162161expr 598 . . . . . . . . . 10
163162expr 598 . . . . . . . . 9
164163a2d 23 . . . . . . . 8
16598, 164syld 40 . . . . . . 7
166165expcom 424 . . . . . 6
167166a2d 23 . . . . 5
16828, 38, 48, 58, 90, 167nn0ind 10124 . . . 4
169168imp3a 420 . . 3
17018, 169mpcom 32 . 2
17116, 170syldan 456 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  crab 2560  cvv 2801   cdif 3162   cun 3163   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cpw 3638  csn 3653  cop 3656  cuni 3843  ciun 3921   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cid 4320   cxp 4703  ccnv 4704   crn 4706   cres 4707  cima 4708   ccom 4709   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  c1st 6136  c2nd 6137  crio 6313  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  cioo 10672  cicc 10675  cfz 10798   cseq 11062   ↾t crest 13341  ctg 13358   ccn 16970   chmeo 17460  cii 18395   CovMap ccvm 23801 This theorem is referenced by:  cvmliftlem8  23838  cvmliftlem9  23839  cvmliftlem10  23840  cvmliftlem13  23842 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-hmeo 17462  df-ii 18397  df-cvm 23802
 Copyright terms: Public domain W3C validator