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Theorem cvmliftlem7 23837
Description: Lemma for cvmlift 23845. Prove by induction that every  Q function is well-defined (we can immediately follow this theorem with cvmliftlem6 23836 to show functionality and lifting of  Q). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftlem.x  |-  X  = 
U. J
cvmliftlem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftlem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
cvmliftlem.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
cvmliftlem.e  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
cvmliftlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cvmliftlem.t  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
cvmliftlem.a  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
cvmliftlem.l  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
cvmliftlem.q  |-  Q  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
cvmliftlem5.3  |-  W  =  ( ( ( M  -  1 )  /  N ) [,] ( M  /  N ) )
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) )
Distinct variable groups:    v, b,
z, B    j, b,
k, m, s, u, x, F, v, z   
z, L    M, b,
j, k, m, s, u, v, x, z    P, b, k, m, u, v, x, z    C, b, j, k, s, u, v, z    ph, j,
s, x, z    N, b, k, m, u, v, x, z    S, b, j, k, s, u, v, x, z    j, X    G, b, j, k, m, s, u, v, x, z    T, b, j, k, m, s, u, v, x, z    J, b, j, k, s, u, v, x, z    Q, b, k, m, u, v, x, z    k, W, m, x, z
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k, m, b)    B( x, u, j, k, m, s)    C( x, m)    P( j, s)    Q( j, s)    S( m)    J( m)    L( x, v, u, j, k, m, s, b)    N( j, s)    W( v, u, j, s, b)    X( x, z, v, u, k, m, s, b)

Proof of Theorem cvmliftlem7
Dummy variables  y  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssp1 10850 . . . 4  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
2 cvmliftlem.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
32nncnd 9778 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
43adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
5 ax-1cn 8811 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
6 npcan 9076 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
74, 5, 6sylancl 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
87oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
0 ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
91, 8syl5sseq 3239 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
10 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  M  e.  ( 1 ... N
) )
11 elfzelz 10814 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 1 ... N )  ->  M  e.  ZZ )
122nnzd 10132 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
13 elfzm1b 10876 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( M  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
1411, 12, 13syl2anr 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( M  e.  ( 1 ... N )  <->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )
1510, 14mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
169, 15sseldd 3194 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
17 elfznn0 10838 . . . 4  |-  ( ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
1817adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
19 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  0  e.  ( 0 ... N
) ) )
20 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  ( Q `  y )  =  ( Q ` 
0 ) )
21 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  (
y  /  N )  =  ( 0  /  N ) )
2220, 21fveq12d 5547 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) ) )
2321fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
0  /  N ) ) )
2423sneqd 3666 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( 0  /  N ) ) } )
2524imaeq2d 5028 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) )
2622, 25eleq12d 2364 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  0 ) `  ( 0  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) ) )
2719, 26imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( y  =  0  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  0
) `  ( 0  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N
) ) } ) ) ) )
2827imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( y  =  0  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 0 ) `  ( 0  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) ) ) ) )
29 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( y  =  n  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  n  e.  ( 0 ... N
) ) )
30 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  n  ->  ( Q `  y )  =  ( Q `  n ) )
31 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  n  ->  (
y  /  N )  =  ( n  /  N ) )
3230, 31fveq12d 5547 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  n  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) ) )
3331fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  n  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
n  /  N ) ) )
3433sneqd 3666 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  n  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( n  /  N ) ) } )
3534imaeq2d 5028 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  n  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )
3632, 35eleq12d 2364 . . . . . . 7  |-  ( y  =  n  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )
3729, 36imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( y  =  n  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( n  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) ) )
3837imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( y  =  n  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) ) ) )
39 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )
40 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  ( Q `  y )  =  ( Q `  ( n  +  1
) ) )
41 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
y  /  N )  =  ( ( n  +  1 )  /  N ) )
4240, 41fveq12d 5547 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
4341fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
4443sneqd 3666 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } )
4544imaeq2d 5028 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) )
4642, 45eleq12d 2364 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
4739, 46imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) ) )
4847imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( y  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
49 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
y  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )
50 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  ( Q `  y )  =  ( Q `  ( M  -  1
) ) )
51 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
y  /  N )  =  ( ( M  -  1 )  /  N ) )
5250, 51fveq12d 5547 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  =  ( ( Q `  ( M  -  1
) ) `  (
( M  -  1 )  /  N ) ) )
5351fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  ( G `  ( y  /  N ) )  =  ( G `  (
( M  -  1 )  /  N ) ) )
5453sneqd 3666 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  { ( G `  ( y  /  N ) ) }  =  { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } )
5554imaeq2d 5028 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) )
5652, 55eleq12d 2364 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( ( Q `  y ) `  (
y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } )  <->  ( ( Q `  ( M  -  1 ) ) `
 ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
5749, 56imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 y ) `  ( y  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N ) ) } ) )  <->  ( ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) ) ) )
5857imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( y  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Q `  y
) `  ( y  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( y  /  N
) ) } ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
59 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
60 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  = 
U. C
61 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. J
62 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
63 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
64 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
65 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 0 ) )
66 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T : ( 1 ... N ) --> U_ j  e.  J  ( { j }  X.  ( S `  j ) ) )
67 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... N ) ( G " (
( ( k  - 
1 )  /  N
) [,] ( k  /  N ) ) )  C_  ( 1st `  ( T `  k
) ) )
68 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( topGen `  ran  (,) )
69 cvmliftlem.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  m  e.  NN  |->  ( z  e.  ( ( ( m  -  1 )  /  N ) [,] ( m  /  N
) )  |->  ( `' ( F  |`  ( iota_ b  e.  ( 2nd `  ( T `  m
) ) ( x `
 ( ( m  -  1 )  /  N ) )  e.  b ) ) `  ( G `  z ) ) ) ) ,  ( (  _I  |`  NN )  u.  { <. 0 ,  { <. 0 ,  P >. } >. } ) )
7059, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69cvmliftlem4 23834 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q `
 0 )  =  { <. 0 ,  P >. }
7170a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  { <. 0 ,  P >. } )
722nnne0d 9806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
733, 72div0d 9551 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  /  N
)  =  0 )
7471, 73fveq12d 5547 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) )  =  ( {
<. 0 ,  P >. } `  0 ) )
75 0nn0 9996 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
76 fvsng 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  P  e.  B )  ->  ( { <. 0 ,  P >. } `  0
)  =  P )
7775, 64, 76sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( { <. 0 ,  P >. } `  0
)  =  P )
7874, 77eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) )  =  P )
7973fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  (
0  /  N ) )  =  ( G `
 0 ) )
8065, 79eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( G `
 ( 0  /  N ) ) )
81 cvmcn 23808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
8262, 81syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C  Cn  J ) )
8360, 61cnf 16992 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> X )
84 ffn 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : B --> X  ->  F  Fn  B )
8582, 83, 843syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  B )
86 fniniseg 5662 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  B  ->  ( P  e.  ( `' F " { ( G `
 ( 0  /  N ) ) } )  <->  ( P  e.  B  /\  ( F `
 P )  =  ( G `  (
0  /  N ) ) ) ) )
8785, 86syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } )  <->  ( P  e.  B  /\  ( F `  P )  =  ( G `  ( 0  /  N
) ) ) ) )
8864, 80, 87mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) )
8978, 88eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 ) `  (
0  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) )
9089a1d 22 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 0 ) `  ( 0  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( 0  /  N ) ) } ) ) )
91 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e. 
NN0 )
92 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
9391, 92syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
9493adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
95 peano2fzr 10824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  n  e.  ( 0 ... N ) )
9695ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  ( 0 ... N
) ) )
9794, 96syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  ( 0 ... N
) ) )
9897imim1d 69 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) ) )
99 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  -  1 )  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) )
100 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )
101 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
n  +  1 )  <_  N )
102100, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  <_  N
)
103 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
104 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
105103, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN )
106 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
107105, 106syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
10812adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
109 elfz5 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( n  +  1 )  <_  N ) )
110107, 108, 109syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( n  + 
1 )  <_  N
) )
111102, 110mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( 1 ... N ) )
112 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )
113103nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  e.  CC )
114 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
115113, 5, 114sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
116115fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( Q `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( Q `  n ) )
117115oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N )  =  ( n  /  N ) )
118116, 117fveq12d 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) )  =  ( ( Q `  n
) `  ( n  /  N ) ) )
119117fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( G `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) )  =  ( G `  ( n  /  N ) ) )
120119sneqd 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  { ( G `
 ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) ) }  =  { ( G `
 ( n  /  N ) ) } )
121120imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( `' F " { ( G `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) ) } )  =  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N
) ) } ) )
122118, 121eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( ( Q `  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) `
 ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) ) } )  <-> 
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )
123112, 122mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) `  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) ) } ) )
12459, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69, 99, 111, 123cvmliftlem6 23836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) : ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) --> B  /\  ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G  |`  (
( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
125124simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( Q `  ( n  +  1
) ) : ( ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B )
126103nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  e.  RR )
1272adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  N  e.  NN )
128126, 127nndivred 9810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  e.  RR )
129128rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  e.  RR* )
130 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
131126, 130syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  RR )
132131, 127nndivred 9810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  RR )
133132rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  RR* )
134126ltp1d 9703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  n  <  (
n  +  1 ) )
135127nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  N  e.  RR )
136127nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  0  <  N
)
137 ltdiv1 9636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( n  +  1
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  ( n  <  ( n  +  1 )  <->  ( n  /  N )  <  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
138126, 131, 135, 136, 137syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  < 
( n  +  1 )  <->  ( n  /  N )  <  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )
139134, 138mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  <  (
( n  +  1 )  /  N ) )
140128, 132, 139ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( n  /  N )  <_  (
( n  +  1 )  /  N ) )
141 ubicc2 10769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  /  N
)  e.  RR*  /\  (
( n  +  1 )  /  N )  e.  RR*  /\  (
n  /  N )  <_  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  /  N
)  e.  ( ( n  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
142129, 133, 140, 141syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
143117oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
144142, 143eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
145 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  (
n  +  1 ) ) : ( ( ( ( n  + 
1 )  -  1 )  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B  /\  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )  ->  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  B )
146125, 144, 145syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  B
)
147124simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G  |`  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
148143reseq2d 4971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( G  |`  ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G  |`  ( (
n  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
149147, 148eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G  |`  ( ( n  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
150149fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1
) ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( ( G  |`  (
( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
151143feq2d 5396 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) : ( ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) --> B  <->  ( Q `  ( n  +  1 ) ) : ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B ) )
152125, 151mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( Q `  ( n  +  1
) ) : ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B )
153 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Q `  (
n  +  1 ) ) : ( ( n  /  N ) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) --> B  /\  ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )  ->  ( ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1 ) ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
154152, 142, 153syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( F  o.  ( Q `  ( n  +  1
) ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  =  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) )
155 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  /  N )  e.  ( ( n  /  N ) [,] ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  ->  (
( G  |`  (
( n  /  N
) [,] ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  =  ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) )
156142, 155syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( G  |`  ( ( n  /  N ) [,] (
( n  +  1 )  /  N ) ) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) )  =  ( G `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
157150, 154, 1563eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )
15885adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  F  Fn  B
)
159 fniniseg 5662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  B  ->  (
( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } )  <->  ( (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  B  /\  ( F `  ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) ) ) )
160158, 159syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( ( Q `  ( n  +  1 ) ) `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } )  <-> 
( ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  B  /\  ( F `  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( G `
 ( ( n  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
161146, 157, 160mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
n  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) )
162161expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( ( ( Q `
 n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } )  ->  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
163162expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } )  ->  (
( Q `  (
n  +  1 ) ) `  ( ( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) ) } ) ) ) )
164163a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) )
16598, 164syld 40 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  n ) `  (
n  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) )
166165expcom 424 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) `  ( ( n  + 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
167166a2d 23 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( n  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( Q `  n ) `  ( n  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( n  /  N ) ) } ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( Q `  ( n  +  1
) ) `  (
( n  +  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( n  +  1 )  /  N ) ) } ) ) ) ) )
16828, 38, 48, 58, 90, 167nn0ind 10124 . . . 4  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( Q `
 ( M  - 
1 ) ) `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  -  1 )  /  N ) ) } ) ) ) )
169168imp3a 420 . . 3  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) ) )
17018, 169mpcom 32 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) )
17116, 170syldan 456 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( Q `  ( M  -  1 ) ) `  ( ( M  -  1 )  /  N ) )  e.  ( `' F " { ( G `  ( ( M  - 
1 )  /  N
) ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   <.cop 3656   U.cuni 3843   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    _I cid 4320    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   iota_crio 6313   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675   ...cfz 10798    seq cseq 11062   ↾t crest 13341   topGenctg 13358    Cn ccn 16970    Homeo chmeo 17460   IIcii 18395   CovMap ccvm 23801
This theorem is referenced by:  cvmliftlem8  23838  cvmliftlem9  23839  cvmliftlem10  23840  cvmliftlem13  23842
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-hmeo 17462  df-ii 18397  df-cvm 23802
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