Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem8 Unicode version

Theorem cvmliftlem8 23838
 Description: Lemma for cvmlift 23845. The functions are continuous functions because they are defined as where is continuous and is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 t t
cvmliftlem.b
cvmliftlem.x
cvmliftlem.f CovMap
cvmliftlem.g
cvmliftlem.p
cvmliftlem.e
cvmliftlem.n
cvmliftlem.t
cvmliftlem.a
cvmliftlem.l
cvmliftlem.q
cvmliftlem5.3
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem8 t
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,,,,,   ,   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,,,,)   (,)   (,)   (,)   ()   ()   (,,,,,,,)   (,)   (,,,,)   (,,,,,,,)

Proof of Theorem cvmliftlem8
StepHypRef Expression
1 elfznn 10835 . . 3
2 cvmliftlem.1 . . . 4 t t
3 cvmliftlem.b . . . 4
4 cvmliftlem.x . . . 4
5 cvmliftlem.f . . . 4 CovMap
6 cvmliftlem.g . . . 4
7 cvmliftlem.p . . . 4
8 cvmliftlem.e . . . 4
9 cvmliftlem.n . . . 4
10 cvmliftlem.t . . . 4
11 cvmliftlem.a . . . 4
12 cvmliftlem.l . . . 4
13 cvmliftlem.q . . . 4
14 cvmliftlem5.3 . . . 4
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cvmliftlem5 23835 . . 3
161, 15sylan2 460 . 2
175adantr 451 . . . 4 CovMap
18 cvmtop1 23806 . . . 4 CovMap
19 cnrest2r 17031 . . . 4 t t t
2017, 18, 193syl 18 . . 3 t t t
21 retopon 18288 . . . . . 6 TopOn
2212, 21eqeltri 2366 . . . . 5 TopOn
23 simpr 447 . . . . . . 7
242, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 23, 14cvmliftlem2 23832 . . . . . 6
25 0re 8854 . . . . . . 7
26 1re 8853 . . . . . . 7
27 iccssre 10747 . . . . . . 7
2825, 26, 27mp2an 653 . . . . . 6
2924, 28syl6ss 3204 . . . . 5
30 resttopon 16908 . . . . 5 TopOn t TopOn
3122, 29, 30sylancr 644 . . . 4 t TopOn
32 eqid 2296 . . . . . . 7 t t
33 iitopon 18399 . . . . . . . 8 TopOn
3433a1i 10 . . . . . . 7 TopOn
356adantr 451 . . . . . . . . . 10
36 iiuni 18401 . . . . . . . . . . 11
3736, 4cnf 16992 . . . . . . . . . 10
3835, 37syl 15 . . . . . . . . 9
3938feqmptd 5591 . . . . . . . 8
4039, 35eqeltrrd 2371 . . . . . . 7
4132, 34, 24, 40cnmpt1res 17386 . . . . . 6 t
42 dfii2 18402 . . . . . . . . . 10 t
4312oveq1i 5884 . . . . . . . . . 10 t t
4442, 43eqtr4i 2319 . . . . . . . . 9 t
4544oveq1i 5884 . . . . . . . 8 t t t
46 retop 18286 . . . . . . . . . . 11
4712, 46eqeltri 2366 . . . . . . . . . 10
4847a1i 10 . . . . . . . . 9
49 ovex 5899 . . . . . . . . . 10
5049a1i 10 . . . . . . . . 9
51 restabs 16912 . . . . . . . . 9 t t t
5248, 24, 50, 51syl3anc 1182 . . . . . . . 8 t t t
5345, 52syl5eq 2340 . . . . . . 7 t t
5453oveq1d 5889 . . . . . 6 t t
5541, 54eleqtrd 2372 . . . . 5 t
56 cvmtop2 23807 . . . . . . . 8 CovMap
5717, 56syl 15 . . . . . . 7
584toptopon 16687 . . . . . . 7 TopOn
5957, 58sylib 188 . . . . . 6 TopOn
60 simprl 732 . . . . . . . . . 10
61 simprr 733 . . . . . . . . . 10
622, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 60, 14, 61cvmliftlem3 23833 . . . . . . . . 9
6362anassrs 629 . . . . . . . 8
64 eqid 2296 . . . . . . . 8
6563, 64fmptd 5700 . . . . . . 7
66 frn 5411 . . . . . . 7
6765, 66syl 15 . . . . . 6
682, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 23cvmliftlem1 23831 . . . . . . . 8
692cvmsrcl 23810 . . . . . . . 8
70 elssuni 3871 . . . . . . . 8
7168, 69, 703syl 18 . . . . . . 7
7271, 4syl6sseqr 3238 . . . . . 6
73 cnrest2 17030 . . . . . 6 TopOn t t t
7459, 67, 72, 73syl3anc 1182 . . . . 5 t t t
7555, 74mpbid 201 . . . 4 t t
762, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cvmliftlem7 23837 . . . . . . . . . 10
77 cvmcn 23808 . . . . . . . . . . . 12 CovMap
783, 4cnf 16992 . . . . . . . . . . . 12
7917, 77, 783syl 18 . . . . . . . . . . 11
80 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11
81 fniniseg 5662 . . . . . . . . . . 11
8279, 80, 813syl 18 . . . . . . . . . 10
8376, 82mpbid 201 . . . . . . . . 9
8483simpld 445 . . . . . . . 8
8583simprd 449 . . . . . . . . 9
861adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15
88 peano2rem 9129 . . . . . . . . . . . . . . 15
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
909adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
9189, 90nndivred 9810 . . . . . . . . . . . . 13
9291rexrd 8897 . . . . . . . . . . . 12
9387, 90nndivred 9810 . . . . . . . . . . . . 13
9493rexrd 8897 . . . . . . . . . . . 12
9587ltm1d 9705 . . . . . . . . . . . . . 14
9690nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15
9790nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 ltdiv1 9636 . . . . . . . . . . . . . . 15
9989, 87, 96, 97, 98syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14
10095, 99mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13
10191, 93, 100ltled 8983 . . . . . . . . . . . 12
102 lbicc2 10768 . . . . . . . . . . . 12
10392, 94, 101, 102syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
104103, 14syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . 10
1052, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 23, 14, 104cvmliftlem3 23833 . . . . . . . . 9
10685, 105eqeltrd 2370 . . . . . . . 8
107 eqid 2296 . . . . . . . . 9
1082, 3, 107cvmsiota 23823 . . . . . . . 8 CovMap
10917, 68, 84, 106, 108syl13anc 1184 . . . . . . 7
110109simpld 445 . . . . . 6
1112cvmshmeo 23817 . . . . . 6 t t
11268, 110, 111syl2anc 642 . . . . 5 t t
113 hmeocnvcn 17468 . . . . 5 t t t t
114112, 113syl 15 . . . 4 t t
11531, 75, 114cnmpt11f 17374 . . 3 t t
11620, 115sseldd 3194 . 2 t
11716, 116eqeltrd 2370 1 t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  crab 2560  cvv 2801   cdif 3162   cun 3163   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cpw 3638  csn 3653  cop 3656  cuni 3843  ciun 3921   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cid 4320   cxp 4703  ccnv 4704   crn 4706   cres 4707  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  c1st 6136  c2nd 6137  crio 6313  cr 8752  cc0 8753  c1 8754  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  cn 9762  cioo 10672  cicc 10675  cfz 10798   cseq 11062   ↾t crest 13341  ctg 13358  ctop 16647  TopOnctopon 16648   ccn 16970   chmeo 17460  cii 18395   CovMap ccvm 23801 This theorem is referenced by:  cvmliftlem10  23840 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-hmeo 17462  df-ii 18397  df-cvm 23802
 Copyright terms: Public domain W3C validator