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Theorem cvmliftmolem1 24968
Description: Lemma for cvmliftmo 24971. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftmo.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftmo.y  |-  Y  = 
U. K
cvmliftmo.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftmo.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Con )
cvmliftmo.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Con )
cvmliftmo.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmliftmoi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( K  Cn  C ) )
cvmliftmoi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( K  Cn  C ) )
cvmliftmoi.g  |-  ( ph  ->  ( F  o.  M
)  =  ( F  o.  N ) )
cvmliftmoi.p  |-  ( ph  ->  ( M `  O
)  =  ( N `
 O ) )
cvmliftmolem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmliftmolem.2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  T  e.  ( S `
 U ) )
cvmliftmolem.3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  T )
cvmliftmolem.4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  C_  ( `' M " W ) )
cvmliftmolem.5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Kt  I )  e.  Con )
cvmliftmolem.6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  X  e.  I )
cvmliftmolem.7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  Q  e.  I )
cvmliftmolem.8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  R  e.  I )
cvmliftmolem.9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F `  ( M `  X )
)  e.  U )
Assertion
Ref Expression
cvmliftmolem1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q  e.  dom  ( M  i^i  N )  ->  R  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, J, s, u, v    v, B    K, s    k, M, s, u, v    N, s    ph, s    k, F, s, u, v    S, s    U, k, s, u, v    T, s, u, v    u, W, v    Y, s
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k)    ps( v, u, k, s)    B( u, k, s)    Q( v, u, k, s)    R( v, u, k, s)    S( v, u, k)    T( k)    I( v, u, k, s)    K( v, u, k)    N( v, u, k)    O( v, u, k, s)    W( k, s)    X( v, u, k, s)    Y( v, u, k)

Proof of Theorem cvmliftmolem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftmoi.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  o.  M
)  =  ( F  o.  N ) )
21adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F  o.  M
)  =  ( F  o.  N ) )
32fveq1d 5730 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( F  o.  M ) `  R
)  =  ( ( F  o.  N ) `
 R ) )
4 cvmliftmolem.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  C_  ( `' M " W ) )
5 cvmliftmolem.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  R  e.  I )
64, 5sseldd 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  R  e.  ( `' M " W ) )
7 cvmliftmoi.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( K  Cn  C ) )
8 cvmliftmo.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  = 
U. K
9 cvmliftmo.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  = 
U. C
108, 9cnf 17310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( K  Cn  C )  ->  M : Y --> B )
117, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M : Y --> B )
12 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M : Y --> B  ->  M  Fn  Y )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  Fn  Y )
14 elpreima 5850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  Fn  Y  ->  ( R  e.  ( `' M " W )  <->  ( R  e.  Y  /\  ( M `  R )  e.  W ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( `' M " W )  <-> 
( R  e.  Y  /\  ( M `  R
)  e.  W ) ) )
1615simprbda 607 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( `' M " W ) )  ->  R  e.  Y )
176, 16syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  R  e.  Y )
18 fvco3 5800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M : Y --> B  /\  R  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  M ) `  R
)  =  ( F `
 ( M `  R ) ) )
1911, 18sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  e.  Y )  ->  (
( F  o.  M
) `  R )  =  ( F `  ( M `  R ) ) )
2017, 19syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( F  o.  M ) `  R
)  =  ( F `
 ( M `  R ) ) )
21 cvmliftmoi.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( K  Cn  C ) )
228, 9cnf 17310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( K  Cn  C )  ->  N : Y --> B )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N : Y --> B )
24 fvco3 5800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N : Y --> B  /\  R  e.  Y )  ->  ( ( F  o.  N ) `  R
)  =  ( F `
 ( N `  R ) ) )
2523, 24sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  e.  Y )  ->  (
( F  o.  N
) `  R )  =  ( F `  ( N `  R ) ) )
2617, 25syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( F  o.  N ) `  R
)  =  ( F `
 ( N `  R ) ) )
273, 20, 263eqtr3d 2476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F `  ( M `  R )
)  =  ( F `
 ( N `  R ) ) )
2827adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( F `  ( M `  R
) )  =  ( F `  ( N `
 R ) ) )
2915simplbda 608 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( `' M " W ) )  ->  ( M `  R )  e.  W
)
306, 29syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M `  R
)  e.  W )
3130adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( M `  R )  e.  W
)
32 fvres 5745 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  R )  e.  W  ->  (
( F  |`  W ) `
 ( M `  R ) )  =  ( F `  ( M `  R )
) )
3331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( F  |`  W ) `  ( M `  R ) )  =  ( F `
 ( M `  R ) ) )
345adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  R  e.  I )
35 fvres 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  I  ->  (
( N  |`  I ) `
 R )  =  ( N `  R
) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( N  |`  I ) `  R )  =  ( N `  R ) )
37 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( Kt  I )  =  U. ( Kt  I )
38 cvmliftmolem.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Kt  I )  e.  Con )
3938adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( Kt  I
)  e.  Con )
4021adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  N  e.  ( K  Cn  C ) )
41 cnvimass 5224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' M " W ) 
C_  dom  M
42 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M : Y --> B  ->  dom  M  =  Y )
4311, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  M  =  Y )
4441, 43syl5sseq 3396 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( `' M " W )  C_  Y
)
4544adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( `' M " W )  C_  Y
)
464, 45sstrd 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  C_  Y )
478cnrest 17349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( K  Cn  C )  /\  I  C_  Y )  -> 
( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  C ) )
4840, 46, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  C ) )
49 cvmliftmo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
51 cvmtop1 24947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  C  e.  Top )
539toptopon 16998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  Top  <->  C  e.  (TopOn `  B ) )
5452, 53sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  C  e.  (TopOn `  B ) )
55 df-ima 4891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N
" I )  =  ran  ( N  |`  I )
56 cvmliftmolem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  T )
57 elssuni 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( W  e.  T  ->  W  C_ 
U. T )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  C_  U. T )
59 cvmliftmolem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  T  e.  ( S `
 U ) )
60 cvmliftmolem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
6160cvmsuni 24956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
6259, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
6358, 62sseqtrd 3384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  C_  ( `' F " U ) )
64 imass2 5240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W 
C_  ( `' F " U )  ->  ( `' M " W ) 
C_  ( `' M " ( `' F " U ) ) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( `' M " W )  C_  ( `' M " ( `' F " U ) ) )
664, 65sstrd 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  C_  ( `' M " ( `' F " U ) ) )
672cnveqd 5048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  `' ( F  o.  M )  =  `' ( F  o.  N
) )
68 cnvco 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  `' ( F  o.  M )  =  ( `' M  o.  `' F )
69 cnvco 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  `' ( F  o.  N )  =  ( `' N  o.  `' F )
7067, 68, 693eqtr3g 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( `' M  o.  `' F )  =  ( `' N  o.  `' F ) )
7170imaeq1d 5202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( `' M  o.  `' F ) " U
)  =  ( ( `' N  o.  `' F ) " U
) )
72 imaco 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' M  o.  `' F ) " U
)  =  ( `' M " ( `' F " U ) )
73 imaco 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' N  o.  `' F ) " U
)  =  ( `' N " ( `' F " U ) )
7471, 72, 733eqtr3g 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( `' M "
( `' F " U ) )  =  ( `' N "
( `' F " U ) ) )
7566, 74sseqtrd 3384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  C_  ( `' N " ( `' F " U ) ) )
7623adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  N : Y --> B )
77 ffun 5593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N : Y --> B  ->  Fun  N )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  Fun  N )
79 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N : Y --> B  ->  dom  N  =  Y )
8076, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  dom  N  =  Y )
8146, 80sseqtr4d 3385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  C_  dom  N )
82 funimass3 5846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  N  /\  I  C_ 
dom  N )  -> 
( ( N "
I )  C_  ( `' F " U )  <-> 
I  C_  ( `' N " ( `' F " U ) ) ) )
8378, 81, 82syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N "
I )  C_  ( `' F " U )  <-> 
I  C_  ( `' N " ( `' F " U ) ) ) )
8475, 83mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( N " I
)  C_  ( `' F " U ) )
8555, 84syl5eqssr 3393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ran  ( N  |`  I )  C_  ( `' F " U ) )
86 cnvimass 5224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F " U ) 
C_  dom  F
87 cvmcn 24949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
8849, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C  Cn  J ) )
89 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. J  =  U. J
909, 89cnf 17310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> U. J )
9188, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : B --> U. J
)
92 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : B --> U. J  ->  dom  F  =  B )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  F  =  B )
9493adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  dom  F  =  B )
9586, 94syl5sseq 3396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( `' F " U )  C_  B
)
96 cnrest2 17350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( N  |`  I ) 
C_  ( `' F " U )  /\  ( `' F " U ) 
C_  B )  -> 
( ( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  C
)  <->  ( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) ) )
9754, 85, 95, 96syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  C
)  <->  ( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) ) )
9848, 97mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
9998adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( N  |`  I )  e.  ( ( Kt  I )  Cn  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
100 df-ss 3334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W 
C_  ( `' F " U )  <->  ( W  i^i  ( `' F " U ) )  =  W )
10163, 100sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( W  i^i  ( `' F " U ) )  =  W )
1029topopn 16979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  Top  ->  B  e.  C )
10352, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  C )
104103, 95ssexd 4350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( `' F " U )  e.  _V )
10560cvmsss 24954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  T  C_  C )
10659, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  T  C_  C )
107106, 56sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  C )
108 elrestr 13656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U )  e.  _V  /\  W  e.  C )  ->  ( W  i^i  ( `' F " U ) )  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
10952, 104, 107, 108syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( W  i^i  ( `' F " U ) )  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
110101, 109eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
111110adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  W  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
11260cvmscld 24960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  W  e.  T )  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
11350, 59, 56, 112syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
114113adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  W  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
115 cvmliftmolem.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  Q  e.  I )
116 cvmliftmo.k . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  Con )
117 contop 17480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  Con  ->  K  e.  Top )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
119118adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K  e.  Top )
1208restuni 17226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  I  C_  Y )  ->  I  =  U. ( Kt  I ) )
121119, 46, 120syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  =  U. ( Kt  I ) )
122115, 121eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  Q  e.  U. ( Kt  I ) )
123122adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  Q  e.  U. ( Kt  I ) )
124115adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  Q  e.  I )
125 fvres 5745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Q  e.  I  ->  (
( N  |`  I ) `
 Q )  =  ( N `  Q
) )
126124, 125syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( N  |`  I ) `  Q )  =  ( N `  Q ) )
127 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )
1284, 115sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  Q  e.  ( `' M " W ) )
129 elpreima 5850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  Fn  Y  ->  ( Q  e.  ( `' M " W )  <->  ( Q  e.  Y  /\  ( M `  Q )  e.  W ) ) )
13013, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( `' M " W )  <-> 
( Q  e.  Y  /\  ( M `  Q
)  e.  W ) ) )
131130simplbda 608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( `' M " W ) )  ->  ( M `  Q )  e.  W
)
132128, 131syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M `  Q
)  e.  W )
133132adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( M `  Q )  e.  W
)
134127, 133eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( N `  Q )  e.  W
)
135126, 134eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( N  |`  I ) `  Q )  e.  W
)
13637, 39, 99, 111, 114, 123, 135concn 17489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( N  |`  I ) : U. ( Kt  I ) --> W )
137121adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  I  =  U. ( Kt  I ) )
138137feq2d 5581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( N  |`  I ) : I --> W  <->  ( N  |`  I ) : U. ( Kt  I ) --> W ) )
139136, 138mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( N  |`  I ) : I --> W )
140139, 34ffvelrnd 5871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( N  |`  I ) `  R )  e.  W
)
14136, 140eqeltrrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( N `  R )  e.  W
)
142 fvres 5745 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  R )  e.  W  ->  (
( F  |`  W ) `
 ( N `  R ) )  =  ( F `  ( N `  R )
) )
143141, 142syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( F  |`  W ) `  ( N `  R ) )  =  ( F `
 ( N `  R ) ) )
14428, 33, 1433eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( ( F  |`  W ) `  ( M `  R ) )  =  ( ( F  |`  W ) `  ( N `  R
) ) )
14560cvmsf1o 24959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  W  e.  T )  ->  ( F  |`  W ) : W -1-1-onto-> U )
14650, 59, 56, 145syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F  |`  W ) : W -1-1-onto-> U )
147 f1of1 5673 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  W ) : W -1-1-onto-> U  ->  ( F  |`  W ) : W -1-1-> U )
148146, 147syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( F  |`  W ) : W -1-1-> U )
149148adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( F  |`  W ) : W -1-1-> U )
150 f1fveq 6008 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  |`  W ) : W -1-1-> U  /\  ( ( M `  R )  e.  W  /\  ( N `  R
)  e.  W ) )  ->  ( (
( F  |`  W ) `
 ( M `  R ) )  =  ( ( F  |`  W ) `  ( N `  R )
)  <->  ( M `  R )  =  ( N `  R ) ) )
151149, 31, 141, 150syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( (
( F  |`  W ) `
 ( M `  R ) )  =  ( ( F  |`  W ) `  ( N `  R )
)  <->  ( M `  R )  =  ( N `  R ) ) )
152144, 151mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) )  ->  ( M `  R )  =  ( N `  R ) )
153152ex 424 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M `  Q )  =  ( N `  Q )  ->  ( M `  R )  =  ( N `  R ) ) )
154130simprbda 607 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Q  e.  ( `' M " W ) )  ->  Q  e.  Y )
155128, 154syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  Q  e.  Y )
156 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( x  =  Q  ->  ( M `  x )  =  ( M `  Q ) )
157 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( x  =  Q  ->  ( N `  x )  =  ( N `  Q ) )
158156, 157eqeq12d 2450 . . . . 5  |-  ( x  =  Q  ->  (
( M `  x
)  =  ( N `
 x )  <->  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) ) )
159158elrab3 3093 . . . 4  |-  ( Q  e.  Y  ->  ( Q  e.  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) }  <->  ( M `  Q )  =  ( N `  Q ) ) )
160155, 159syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q  e.  {
x  e.  Y  | 
( M `  x
)  =  ( N `
 x ) }  <-> 
( M `  Q
)  =  ( N `
 Q ) ) )
161 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( x  =  R  ->  ( M `  x )  =  ( M `  R ) )
162 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( x  =  R  ->  ( N `  x )  =  ( N `  R ) )
163161, 162eqeq12d 2450 . . . . 5  |-  ( x  =  R  ->  (
( M `  x
)  =  ( N `
 x )  <->  ( M `  R )  =  ( N `  R ) ) )
164163elrab3 3093 . . . 4  |-  ( R  e.  Y  ->  ( R  e.  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) }  <->  ( M `  R )  =  ( N `  R ) ) )
16517, 164syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( R  e.  {
x  e.  Y  | 
( M `  x
)  =  ( N `
 x ) }  <-> 
( M `  R
)  =  ( N `
 R ) ) )
166153, 160, 1653imtr4d 260 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q  e.  {
x  e.  Y  | 
( M `  x
)  =  ( N `
 x ) }  ->  R  e.  {
x  e.  Y  | 
( M `  x
)  =  ( N `
 x ) } ) )
167 ffn 5591 . . . . . 6  |-  ( N : Y --> B  ->  N  Fn  Y )
16823, 167syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  Fn  Y )
169 fndmin 5837 . . . . 5  |-  ( ( M  Fn  Y  /\  N  Fn  Y )  ->  dom  ( M  i^i  N )  =  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } )
17013, 168, 169syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  =  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } )
171170adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  dom  ( M  i^i  N )  =  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } )
172171eleq2d 2503 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
Q  e.  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } ) )
173171eleq2d 2503 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( R  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
R  e.  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } ) )
174166, 172, 1733imtr4d 260 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( Q  e.  dom  ( M  i^i  N )  ->  R  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U.cuni 4015    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881    o. ccom 4882   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   ↾t crest 13648   Topctop 16958  TopOnctopon 16959   Clsdccld 17080    Cn ccn 17288   Conccon 17474  𝑛Locally cnlly 17528    Homeo chmeo 17785   CovMap ccvm 24942
This theorem is referenced by:  cvmliftmolem2  24969
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-cn 17291  df-con 17475  df-hmeo 17787  df-cvm 24943
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