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Theorem cvmliftmolem2 23828
Description: Lemma for cvmliftmo 23830. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftmo.b  |-  B  = 
U. C
cvmliftmo.y  |-  Y  = 
U. K
cvmliftmo.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
cvmliftmo.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Con )
cvmliftmo.l  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Con )
cvmliftmo.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
cvmliftmoi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( K  Cn  C ) )
cvmliftmoi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( K  Cn  C ) )
cvmliftmoi.g  |-  ( ph  ->  ( F  o.  M
)  =  ( F  o.  N ) )
cvmliftmoi.p  |-  ( ph  ->  ( M `  O
)  =  ( N `
 O ) )
cvmliftmolem.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmliftmolem2  |-  ( ph  ->  M  =  N )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, J, s, u, v    v, B    K, s    k, M, s, u, v    N, s    ph, s    k, F, s, u, v    S, s    Y, s
Allowed substitution hints:    ph( v, u, k)    B( u, k, s)    S( v, u, k)    K( v, u, k)    N( v, u, k)    O( v, u, k, s)    Y( v, u, k)

Proof of Theorem cvmliftmolem2
Dummy variables  a 
b  t  y  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftmoi.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( K  Cn  C ) )
2 cvmliftmo.y . . . 4  |-  Y  = 
U. K
3 cvmliftmo.b . . . 4  |-  B  = 
U. C
42, 3cnf 16992 . . 3  |-  ( M  e.  ( K  Cn  C )  ->  M : Y --> B )
5 ffn 5405 . . 3  |-  ( M : Y --> B  ->  M  Fn  Y )
61, 4, 53syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  M  Fn  Y )
7 cvmliftmoi.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( K  Cn  C ) )
82, 3cnf 16992 . . 3  |-  ( N  e.  ( K  Cn  C )  ->  N : Y --> B )
9 ffn 5405 . . 3  |-  ( N : Y --> B  ->  N  Fn  Y )
107, 8, 93syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  N  Fn  Y )
11 cvmliftmo.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  Con )
12 inss1 3402 . . . . . . 7  |-  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  K
13 cvmliftmo.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
1413adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
151, 4syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M : Y --> B )
16 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M : Y --> B  /\  x  e.  Y )  ->  ( M `  x
)  e.  B )
1715, 16sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( M `  x )  e.  B )
18 cvmcn 23808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
19 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
203, 19cnf 16992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> U. J )
2113, 18, 203syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : B --> U. J
)
22 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : B --> U. J  /\  ( M `  x
)  e.  B )  ->  ( F `  ( M `  x ) )  e.  U. J
)
2321, 22sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( M `  x )  e.  B
)  ->  ( F `  ( M `  x
) )  e.  U. J )
2417, 23syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( M `  x ) )  e. 
U. J )
25 cvmliftmolem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
2625, 19cvmcov 23809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( F `  ( M `  x ) )  e. 
U. J )  ->  E. a  e.  J  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  ( S `  a )  =/=  (/) ) )
2714, 24, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  E. a  e.  J  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  ( S `
 a )  =/=  (/) ) )
28 n0 3477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S `  a )  =/=  (/)  <->  E. t  t  e.  ( S `  a
) )
29 cvmliftmo.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Con )
3029adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally  Con )
311adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  M  e.  ( K  Cn  C
) )
32 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  t  e.  ( S `  a ) )
3325cvmsss 23813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  ( S `  a )  ->  t  C_  C )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  t  C_  C )
3513adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
3615adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  M : Y
--> B )
37 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  x  e.  Y )
3836, 37, 16syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( M `  x )  e.  B
)
39 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( F `  ( M `  x
) )  e.  a )
40 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b )  =  (
iota_ b  e.  t
( M `  x
)  e.  b )
4125, 3, 40cvmsiota 23823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  (
t  e.  ( S `
 a )  /\  ( M `  x )  e.  B  /\  ( F `  ( M `  x ) )  e.  a ) )  -> 
( ( iota_ b  e.  t ( M `  x )  e.  b )  e.  t  /\  ( M `  x )  e.  ( iota_ b  e.  t ( M `  x )  e.  b ) ) )
4235, 32, 38, 39, 41syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( ( iota_ b  e.  t ( M `  x )  e.  b )  e.  t  /\  ( M `
 x )  e.  ( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) ) )
4342simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b )  e.  t )
4434, 43sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b )  e.  C
)
45 cnima 17010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ( K  Cn  C )  /\  ( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b )  e.  C )  -> 
( `' M "
( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) )  e.  K )
4631, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `  x )  e.  b ) )  e.  K
)
4742simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( M `  x )  e.  (
iota_ b  e.  t
( M `  x
)  e.  b ) )
48 elpreima 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  Fn  Y  ->  (
x  e.  ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  ( M `  x )  e.  ( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) ) ) )
4936, 5, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' M "
( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  ( M `
 x )  e.  ( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) ) ) )
5037, 47, 49mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  x  e.  ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) ) )
51 nlly2i 17218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e. 𝑛Locally  Con  /\  ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  e.  K  /\  x  e.  ( `' M "
( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) ) E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con ) )
5230, 46, 50, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) ) E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con ) )
53 simprr1 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) ) )  /\  ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) ) )  ->  x  e.  y )
54 cvmliftmo.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  O  e.  Y )
55 cvmliftmoi.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( F  o.  M
)  =  ( F  o.  N ) )
56 cvmliftmoi.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( M `  O
)  =  ( N `
 O ) )
57 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  (
( F `  ( M `  x )
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
)  ->  t  e.  ( S `  a ) )
5857adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  t  e.  ( S `  a
) )
5943adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  ( iota_ b  e.  t ( M `  x )  e.  b )  e.  t )
60 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( s  e. 
~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  (
x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con ) )  /\  z  e.  y )  ->  s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) ) )
6160ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) ) )
62 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  -> 
s  C_  ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `  x )  e.  b ) ) )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  s  C_  ( `' M "
( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) ) )
64 simplr3 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( s  e. 
~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  (
x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con ) )  /\  z  e.  y )  ->  ( Kt  s )  e.  Con )
6564ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  ( Kt  s )  e.  Con )
66 simplr2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( s  e. 
~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  (
x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con ) )  /\  z  e.  y )  ->  y  C_  s )
6766ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  y  C_  s )
68 simprr1 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  (
( F `  ( M `  x )
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) )  /\  ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) ) )  ->  x  e.  y )
6968adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  (
x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con ) ) ) )  ->  x  e.  y )
7069adantrrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  x  e.  y )
7167, 70sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  x  e.  s )
72 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  z  e.  y )
7367, 72sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  z  e.  s )
7439adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  ( F `  ( M `  x ) )  e.  a )
753, 2, 13, 11, 29, 54, 1, 7, 55, 56, 25, 58, 59, 63, 65, 71, 71, 73, 74cvmliftmolem1 23827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  (
x  e.  dom  ( M  i^i  N )  -> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) )
763, 2, 13, 11, 29, 54, 1, 7, 55, 56, 25, 58, 59, 63, 65, 71, 73, 71, 74cvmliftmolem1 23827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  (
z  e.  dom  ( M  i^i  N )  ->  x  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) )
7775, 76impbid 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
) )  ->  (
x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N
) ) )
7877anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) ) )  /\  ( ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) )  /\  z  e.  y )
)  ->  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) )
7978anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  (
( F `  ( M `  x )
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  /\  ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) ) )  /\  z  e.  y )  ->  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) )
8079ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) ) )  /\  ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) ) )  ->  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) )
8153, 80jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) ) )  /\  ( ( s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con ) ) )  ->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) )
8281expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) ) )  /\  ( s  e. 
~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) )  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con )  -> 
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e. 
dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
8382anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  (
( F `  ( M `  x )
)  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  /\  s  e. 
~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `  x
)  e.  b ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e. 
Con )  ->  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N
) ) ) ) )
8483reximdva 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Y  /\  a  e.  J
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) ) )  /\  s  e.  ~P ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) ) )  ->  ( E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
8584rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  ( E. s  e.  ~P  ( `' M " ( iota_ b  e.  t ( M `
 x )  e.  b ) ) E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  y  C_  s  /\  ( Kt  s )  e.  Con )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
8652, 85mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a ) ) ) )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) )
8786anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )
)  /\  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  t  e.  ( S `  a
) ) )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) )
8887expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )
)  /\  ( F `  ( M `  x
) )  e.  a )  ->  ( t  e.  ( S `  a
)  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
8988exlimdv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )
)  /\  ( F `  ( M `  x
) )  e.  a )  ->  ( E. t  t  e.  ( S `  a )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
9028, 89syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Y  /\  a  e.  J )
)  /\  ( F `  ( M `  x
) )  e.  a )  ->  ( ( S `  a )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
9190expimpd 586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  a  e.  J ) )  -> 
( ( ( F `
 ( M `  x ) )  e.  a  /\  ( S `
 a )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
9291anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  Y )  /\  a  e.  J )  ->  (
( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  ( S `  a )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
9392rexlimdva 2680 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( E. a  e.  J  ( ( F `  ( M `  x ) )  e.  a  /\  ( S `  a )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
9427, 93mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <->  z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) )
9594ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Y  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) )
96 contop 17159 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Con  ->  K  e.  Top )
9711, 96syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
98 fndmin 5648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  Fn  Y  /\  N  Fn  Y )  ->  dom  ( M  i^i  N )  =  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } )
996, 10, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  =  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } )
100 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) }  C_  Y
101100a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) }  C_  Y )
10299, 101eqsstrd 3225 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  C_  Y )
1032isclo 16840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  dom  ( M  i^i  N
)  C_  Y )  ->  ( dom  ( M  i^i  N )  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  <->  A. x  e.  Y  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
10497, 102, 103syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( dom  ( M  i^i  N )  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  <->  A. x  e.  Y  E. y  e.  K  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  dom  ( M  i^i  N )  <-> 
z  e.  dom  ( M  i^i  N ) ) ) ) )
10595, 104mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) ) )
10612, 105sseldi 3191 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  e.  K )
107 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  O  ->  ( M `  x )  =  ( M `  O ) )
108 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  O  ->  ( N `  x )  =  ( N `  O ) )
109107, 108eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  O  ->  (
( M `  x
)  =  ( N `
 x )  <->  ( M `  O )  =  ( N `  O ) ) )
110109elrab 2936 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  { x  e.  Y  |  ( M `
 x )  =  ( N `  x
) }  <->  ( O  e.  Y  /\  ( M `  O )  =  ( N `  O ) ) )
11154, 56, 110sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e.  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } )
112111, 99eleqtrrd 2373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  dom  ( M  i^i  N ) )
113 ne0i 3474 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  dom  ( M  i^i  N )  ->  dom  ( M  i^i  N
)  =/=  (/) )
114112, 113syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  =/=  (/) )
115 inss2 3403 . . . . . . 7  |-  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  ( Clsd `  K )
116115, 105sseldi 3191 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  e.  ( Clsd `  K ) )
1172, 11, 106, 114, 116conclo 17157 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( M  i^i  N )  =  Y )
118117, 99eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  =  { x  e.  Y  |  ( M `  x )  =  ( N `  x ) } )
119 rabid2 2730 . . . 4  |-  ( Y  =  { x  e.  Y  |  ( M `
 x )  =  ( N `  x
) }  <->  A. x  e.  Y  ( M `  x )  =  ( N `  x ) )
120118, 119sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Y  ( M `  x )  =  ( N `  x ) )
121120r19.21bi 2654 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( M `  x )  =  ( N `  x ) )
1226, 10, 121eqfnfvd 5641 1  |-  ( ph  ->  M  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705    |` cres 4707   "cima 4708    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   ↾t crest 13341   Topctop 16647   Clsdccld 16769    Cn ccn 16970   Conccon 17153  𝑛Locally cnlly 17207    Homeo chmeo 17460   CovMap ccvm 23801
This theorem is referenced by:  cvmliftmoi  23829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-nei 16851  df-cn 16973  df-con 17154  df-nlly 17209  df-hmeo 17462  df-cvm 23802
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