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Theorem cvmopnlem 24965
Description: Lemma for cvmopn 24967. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmseu.1  |-  B  = 
U. C
Assertion
Ref Expression
cvmopnlem  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  ( F " A )  e.  J )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    u, A, v    v, B
Allowed substitution hints:    A( k, s)    B( u, k, s)    S( v, u, k, s)

Proof of Theorem cvmopnlem
Dummy variables  t  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
2 cvmcn 24949 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
32adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
4 cvmseu.1 . . . . . . . . . 10  |-  B  = 
U. C
5 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
64, 5cnf 17310 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> U. J )
73, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  F : B --> U. J )
87adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  F : B
--> U. J )
9 elssuni 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  C  ->  A  C_ 
U. C )
109, 4syl6sseqr 3395 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  C  ->  A  C_  B )
1110adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  A  C_  B )
1211sselda 3348 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  B )
138, 12ffvelrnd 5871 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  ( F `  z )  e.  U. J )
14 cvmcov.1 . . . . . . 7  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
1514, 5cvmcov 24950 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( F `  z )  e.  U. J )  ->  E. t  e.  J  ( ( F `  z )  e.  t  /\  ( S `  t )  =/=  (/) ) )
161, 13, 15syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  E. t  e.  J  ( ( F `  z )  e.  t  /\  ( S `  t )  =/=  (/) ) )
17 n0 3637 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  t )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( S `  t
) )
18 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) )  C_  ( iota_ x  e.  w z  e.  x )
19 resima2 5179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) )  C_  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  =  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  =  ( F
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )
21 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  w  e.  ( S `  t ) )
221adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
2312adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  z  e.  B
)
24 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  t )
25 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( iota_ x  e.  w z  e.  x )  =  (
iota_ x  e.  w
z  e.  x )
2614, 4, 25cvmsiota 24964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  (
w  e.  ( S `
 t )  /\  z  e.  B  /\  ( F `  z )  e.  t ) )  ->  ( ( iota_ x  e.  w z  e.  x )  e.  w  /\  z  e.  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )
2722, 21, 23, 24, 26syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( ( iota_ x  e.  w z  e.  x )  e.  w  /\  z  e.  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )
2827simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
)  e.  w )
2914cvmshmeo 24958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  ( S `
 t )  /\  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x )  e.  w )  -> 
( F  |`  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) )  e.  ( ( Ct  (
iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  Homeo  ( Jt  t
) ) )
3021, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F  |`  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  e.  ( ( Ct  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  Homeo  ( Jt  t
) ) )
31 cvmtop1 24947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
3222, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  C  e.  Top )
33 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  A  e.  C
)
34 elrestr 13656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x )  e.  w  /\  A  e.  C )  ->  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) )  e.  ( Ct  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )
3532, 28, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  e.  ( Ct  (
iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )
36 hmeoima 17797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  |`  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) )  e.  ( ( Ct  (
iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  Homeo  ( Jt  t
) )  /\  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) )  e.  ( Ct  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  ->  (
( F  |`  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) )
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  e.  ( Jt  t ) )
3730, 35, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  e.  ( Jt  t ) )
3820, 37syl5eqelr 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  e.  ( Jt  t ) )
39 cvmtop2 24948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  J  e.  Top )
4039adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  J  e.  Top )
4140ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  J  e.  Top )
4214cvmsrcl 24951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( S `  t )  ->  t  e.  J )
4342ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  t  e.  J
)
44 restopn2 17241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  t  e.  J )  ->  ( ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  e.  ( Jt  t )  <->  ( ( F
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  e.  J  /\  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  C_  t ) ) )
4541, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( ( F
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  e.  ( Jt  t )  <->  ( ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  e.  J  /\  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  C_  t ) ) )
4638, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( ( F
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  e.  J  /\  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  C_  t ) )
4746simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  e.  J )
48 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : B --> U. J  ->  F  Fn  B )
497, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  F  Fn  B )
5049ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  F  Fn  B
)
51 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) )  C_  A
5233, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  A  C_  B
)
5351, 52syl5ss 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  C_  B )
54 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  z  e.  A
)
5527simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  z  e.  (
iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )
56 elin 3530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  A  /\  z  e.  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )
5754, 55, 56sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  z  e.  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )
58 fnfvima 5976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  B  /\  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) 
C_  B  /\  z  e.  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) ) )
5950, 53, 57, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) ) )
60 imass2 5240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) )  C_  A  ->  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  C_  ( F " A ) )
6151, 60mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  C_  ( F " A ) )
62 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  ->  ( ( F `  z )  e.  y  <->  ( F `  z )  e.  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) ) ) )
63 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  ->  ( y  C_  ( F " A
)  <->  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  C_  ( F " A ) ) )
6462, 63anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  ->  ( (
( F `  z
)  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) )  <->  ( ( F `  z )  e.  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  /\  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  C_  ( F " A ) ) ) )
6564rspcev 3052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  e.  J  /\  ( ( F `  z )  e.  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  /\  ( F
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  C_  ( F " A ) ) )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) )
6647, 59, 61, 65syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) )
6766expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  ( F `  z )  e.  t )  ->  (
w  e.  ( S `
 t )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
6867exlimdv 1646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  ( F `  z )  e.  t )  ->  ( E. w  w  e.  ( S `  t )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
6917, 68syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  ( F `  z )  e.  t )  ->  (
( S `  t
)  =/=  (/)  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) ) )
7069expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( F `  z
)  e.  t  /\  ( S `  t )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) ) )
7170rexlimdvw 2833 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  ( E. t  e.  J  (
( F `  z
)  e.  t  /\  ( S `  t )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) ) )
7216, 71mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) )
7372ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) )
74 eleq1 2496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
x  e.  y  <->  ( F `  z )  e.  y ) )
7574anbi1d 686 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) )  <-> 
( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
7675rexbidv 2726 . . . . 5  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  ( E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F
" A ) )  <->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
7776ralima 5978 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  B  /\  A  C_  B )  -> 
( A. x  e.  ( F " A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) )  <->  A. z  e.  A  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
7849, 11, 77syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  ( A. x  e.  ( F " A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) )  <->  A. z  e.  A  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) ) )
7973, 78mpbird 224 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  A. x  e.  ( F " A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) )
80 eltop2 17040 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( F " A
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( F " A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
8140, 80syl 16 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  (
( F " A
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( F " A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
8279, 81mpbird 224 1  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  ( F " A )  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U.cuni 4015    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877    |` cres 4880   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   iota_crio 6542   ↾t crest 13648   Topctop 16958    Cn ccn 17288    Homeo chmeo 17785   CovMap ccvm 24942
This theorem is referenced by:  cvmopn  24967
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cn 17291  df-hmeo 17787  df-cvm 24943
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