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Theorem cvmopnlem 23824
Description: Lemma for cvmopn 23826. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
cvmseu.1  |-  B  = 
U. C
Assertion
Ref Expression
cvmopnlem  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  ( F " A )  e.  J )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    u, A, v    v, B
Allowed substitution hints:    A( k, s)    B( u, k, s)    S( v, u, k, s)

Proof of Theorem cvmopnlem
Dummy variables  t  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
2 cvmcn 23808 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
32adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  F  e.  ( C  Cn  J
) )
4 cvmseu.1 . . . . . . . . . 10  |-  B  = 
U. C
5 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
64, 5cnf 16992 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( C  Cn  J )  ->  F : B --> U. J )
73, 6syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  F : B --> U. J )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  F : B
--> U. J )
9 elssuni 3871 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  C  ->  A  C_ 
U. C )
109, 4syl6sseqr 3238 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  C  ->  A  C_  B )
1110adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  A  C_  B )
1211sselda 3193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  B )
13 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B --> U. J  /\  z  e.  B
)  ->  ( F `  z )  e.  U. J )
148, 12, 13syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  ( F `  z )  e.  U. J )
15 cvmcov.1 . . . . . . 7  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
1615, 5cvmcov 23809 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  ( F `  z )  e.  U. J )  ->  E. t  e.  J  ( ( F `  z )  e.  t  /\  ( S `  t )  =/=  (/) ) )
171, 14, 16syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  E. t  e.  J  ( ( F `  z )  e.  t  /\  ( S `  t )  =/=  (/) ) )
18 n0 3477 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  t )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( S `  t
) )
19 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) )  C_  ( iota_ x  e.  w z  e.  x )
20 resima2 5004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) )  C_  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  =  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) ) )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  =  ( F
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )
22 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  w  e.  ( S `  t ) )
231adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  F  e.  ( C CovMap  J ) )
2412adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  z  e.  B
)
25 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  t )
26 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( iota_ x  e.  w z  e.  x )  =  (
iota_ x  e.  w
z  e.  x )
2715, 4, 26cvmsiota 23823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  (
w  e.  ( S `
 t )  /\  z  e.  B  /\  ( F `  z )  e.  t ) )  ->  ( ( iota_ x  e.  w z  e.  x )  e.  w  /\  z  e.  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )
2823, 22, 24, 25, 27syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( ( iota_ x  e.  w z  e.  x )  e.  w  /\  z  e.  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )
2928simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
)  e.  w )
3015cvmshmeo 23817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  ( S `
 t )  /\  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x )  e.  w )  -> 
( F  |`  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) )  e.  ( ( Ct  (
iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  Homeo  ( Jt  t
) ) )
3122, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F  |`  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  e.  ( ( Ct  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  Homeo  ( Jt  t
) ) )
32 cvmtop1 23806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
3323, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  C  e.  Top )
34 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  A  e.  C
)
35 elrestr 13349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x )  e.  w  /\  A  e.  C )  ->  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) )  e.  ( Ct  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )
3633, 29, 34, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  e.  ( Ct  (
iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )
37 hmeoima 17472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  |`  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) )  e.  ( ( Ct  (
iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  Homeo  ( Jt  t
) )  /\  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) )  e.  ( Ct  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  ->  (
( F  |`  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) )
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  e.  ( Jt  t ) )
3831, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  e.  ( Jt  t ) )
3921, 38syl5eqelr 2381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  e.  ( Jt  t ) )
40 cvmtop2 23807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  J  e.  Top )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  J  e.  Top )
4241ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  J  e.  Top )
4315cvmsrcl 23810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( S `  t )  ->  t  e.  J )
4443ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  t  e.  J
)
45 restopn2 16924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  t  e.  J )  ->  ( ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  e.  ( Jt  t )  <->  ( ( F
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  e.  J  /\  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  C_  t ) ) )
4642, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( ( F
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  e.  ( Jt  t )  <->  ( ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  e.  J  /\  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  C_  t ) ) )
4739, 46mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( ( F
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  e.  J  /\  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  C_  t ) )
4847simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  e.  J )
49 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : B --> U. J  ->  F  Fn  B )
507, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  F  Fn  B )
5150ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  F  Fn  B
)
52 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) )  C_  A
5334, 10syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  A  C_  B
)
5452, 53syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  C_  B )
55 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  z  e.  A
)
5628simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  z  e.  (
iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )
57 elin 3371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  A  /\  z  e.  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )
5855, 56, 57sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  z  e.  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )
59 fnfvima 5772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  B  /\  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) 
C_  B  /\  z  e.  ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) ) )
6051, 54, 58, 59syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) ) )
61 imass2 5065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) )  C_  A  ->  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  C_  ( F " A ) )
6252, 61mp1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  C_  ( F " A ) )
63 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  ->  ( ( F `  z )  e.  y  <->  ( F `  z )  e.  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) ) ) )
64 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  ->  ( y  C_  ( F " A
)  <->  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  C_  ( F " A ) ) )
6563, 64anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  ->  ( (
( F `  z
)  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) )  <->  ( ( F `  z )  e.  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  /\  ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  C_  ( F " A ) ) ) )
6665rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F " ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x
) ) )  e.  J  /\  ( ( F `  z )  e.  ( F "
( A  i^i  ( iota_ x  e.  w z  e.  x ) ) )  /\  ( F
" ( A  i^i  ( iota_ x  e.  w
z  e.  x ) ) )  C_  ( F " A ) ) )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) )
6748, 60, 62, 66syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  z
)  e.  t  /\  w  e.  ( S `  t ) ) )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) )
6867expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  ( F `  z )  e.  t )  ->  (
w  e.  ( S `
 t )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
6968exlimdv 1626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  ( F `  z )  e.  t )  ->  ( E. w  w  e.  ( S `  t )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
7018, 69syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C
)  /\  z  e.  A )  /\  ( F `  z )  e.  t )  ->  (
( S `  t
)  =/=  (/)  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) ) )
7170expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( F `  z
)  e.  t  /\  ( S `  t )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) ) )
7271rexlimdvw 2683 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  ( E. t  e.  J  (
( F `  z
)  e.  t  /\  ( S `  t )  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) ) )
7317, 72mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  /\  z  e.  A
)  ->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) )
7473ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) )
75 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
x  e.  y  <->  ( F `  z )  e.  y ) )
7675anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) )  <-> 
( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
7776rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  ( E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F
" A ) )  <->  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
7877ralima 5774 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  B  /\  A  C_  B )  -> 
( A. x  e.  ( F " A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) )  <->  A. z  e.  A  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
7950, 11, 78syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  ( A. x  e.  ( F " A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) )  <->  A. z  e.  A  E. y  e.  J  ( ( F `  z )  e.  y  /\  y  C_  ( F " A
) ) ) )
8074, 79mpbird 223 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  A. x  e.  ( F " A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) )
81 eltop2 16729 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( F " A
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( F " A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
8241, 81syl 15 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  (
( F " A
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( F " A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( F " A ) ) ) )
8380, 82mpbird 223 1  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  A  e.  C )  ->  ( F " A )  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704    |` cres 4707   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   ↾t crest 13341   Topctop 16647    Cn ccn 16970    Homeo chmeo 17460   CovMap ccvm 23801
This theorem is referenced by:  cvmopn  23826
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-hmeo 17462  df-cvm 23802
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