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Theorem cvmscbv 23789
Description: Change bound variables in the set of even coverings. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscvm.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmscbv  |-  S  =  ( a  e.  J  |->  { b  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. b  =  ( `' F " a )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  a ) ) ) ) } )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d, k, s, u, v    C, a, b, c, k, s, u    F, a, b, c, k, s, u    J, a, b, c, k, s, u
Allowed substitution hints:    C( v, d)    S( v, u, k, s, a, b, c, d)    F( v, d)    J( v, d)

Proof of Theorem cvmscbv
StepHypRef Expression
1 iscvm.1 . 2  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
2 unieq 3836 . . . . . . 7  |-  ( s  =  b  ->  U. s  =  U. b )
32eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( s  =  b  ->  ( U. s  =  ( `' F " k )  <->  U. b  =  ( `' F " k ) ) )
4 ineq2 3364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  d  ->  (
u  i^i  v )  =  ( u  i^i  d ) )
54eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  d  ->  (
( u  i^i  v
)  =  (/)  <->  ( u  i^i  d )  =  (/) ) )
65cbvralv 2764 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  <->  A. d  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  d )  =  (/) )
7 sneq 3651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  c  ->  { u }  =  { c } )
87difeq2d 3294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  c  ->  (
s  \  { u } )  =  ( s  \  { c } ) )
9 ineq1 3363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  c  ->  (
u  i^i  d )  =  ( c  i^i  d ) )
109eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  c  ->  (
( u  i^i  d
)  =  (/)  <->  ( c  i^i  d )  =  (/) ) )
118, 10raleqbidv 2748 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  c  ->  ( A. d  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  d )  =  (/) 
<-> 
A. d  e.  ( s  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/) ) )
126, 11syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  c  ->  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/) 
<-> 
A. d  e.  ( s  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/) ) )
13 reseq2 4950 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  c  ->  ( F  |`  u )  =  ( F  |`  c
) )
14 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  c  ->  ( Ct  u )  =  ( Ct  c ) )
1514oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  c  ->  (
( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) )  =  ( ( Ct  c )  Homeo  ( Jt  k ) ) )
1613, 15eleq12d 2351 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  c  ->  (
( F  |`  u
)  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) )  <->  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) )
1712, 16anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  c  ->  (
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) )  <->  ( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )
1817cbvralv 2764 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) )  <->  A. c  e.  s  ( A. d  e.  ( s  \  { c } ) ( c  i^i  d
)  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) )
19 difeq1 3287 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  b  ->  (
s  \  { c } )  =  ( b  \  { c } ) )
2019raleqdv 2742 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  b  ->  ( A. d  e.  (
s  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/) 
<-> 
A. d  e.  ( b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/) ) )
2120anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  b  ->  (
( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) )  <->  ( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )
2221raleqbi1dv 2744 . . . . . . 7  |-  ( s  =  b  ->  ( A. c  e.  s 
( A. d  e.  ( s  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) )  <->  A. c  e.  b  ( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )
2318, 22syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( s  =  b  ->  ( A. u  e.  s 
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) )  <->  A. c  e.  b  ( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )
243, 23anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( s  =  b  ->  (
( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) )  <-> 
( U. b  =  ( `' F "
k )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  (
b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) )
2524cbvrabv 2787 . . . 4  |-  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) }  =  { b  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. b  =  ( `' F "
k )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  (
b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) }
26 imaeq2 5008 . . . . . . 7  |-  ( k  =  a  ->  ( `' F " k )  =  ( `' F " a ) )
2726eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( k  =  a  ->  ( U. b  =  ( `' F " k )  <->  U. b  =  ( `' F " a ) ) )
28 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  a  ->  ( Jt  k )  =  ( Jt  a ) )
2928oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  a  ->  (
( Ct  c )  Homeo  ( Jt  k ) )  =  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  a ) ) )
3029eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  a  ->  (
( F  |`  c
)  e.  ( ( Ct  c )  Homeo  ( Jt  k ) )  <->  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )  Homeo  ( Jt  a ) ) ) )
3130anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( k  =  a  ->  (
( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) )  <->  ( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  a ) ) ) ) )
3231ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( k  =  a  ->  ( A. c  e.  b 
( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) )  <->  A. c  e.  b  ( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  a ) ) ) ) )
3327, 32anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( k  =  a  ->  (
( U. b  =  ( `' F "
k )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  (
b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) )  <->  ( U. b  =  ( `' F " a )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  (
b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )  Homeo  ( Jt  a ) ) ) ) ) )
3433rabbidv 2780 . . . 4  |-  ( k  =  a  ->  { b  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. b  =  ( `' F "
k )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  (
b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) }  =  {
b  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. b  =  ( `' F " a )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  ( b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )  Homeo  ( Jt  a ) ) ) ) } )
3525, 34syl5eq 2327 . . 3  |-  ( k  =  a  ->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) }  =  { b  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. b  =  ( `' F "
a )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  (
b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )  Homeo  ( Jt  a ) ) ) ) } )
3635cbvmptv 4111 . 2  |-  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )  =  ( a  e.  J  |->  { b  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. b  =  ( `' F " a )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  ( b  \  { c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c )  Homeo  ( Jt  a ) ) ) ) } )
371, 36eqtri 2303 1  |-  S  =  ( a  e.  J  |->  { b  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. b  =  ( `' F " a )  /\  A. c  e.  b  ( A. d  e.  ( b  \  {
c } ) ( c  i^i  d )  =  (/)  /\  ( F  |`  c )  e.  ( ( Ct  c ) 
Homeo  ( Jt  a ) ) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325    Homeo chmeo 17444
This theorem is referenced by:  cvmsss2  23805  cvmliftmoi  23814  cvmlift  23830  cvmfo  23831  cvmlift3  23859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-xp 4695  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861
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