Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmscld Structured version   Unicode version

Theorem cvmscld 24960
 Description: The sets of an even covering are clopen in the subspace topology on . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1 t t
Assertion
Ref Expression
cvmscld CovMap t
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,)   ()

Proof of Theorem cvmscld
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmtop1 24947 . . . . . 6 CovMap
213ad2ant1 978 . . . . 5 CovMap
3 cvmcov.1 . . . . . . . 8 t t
43cvmsuni 24956 . . . . . . 7
543ad2ant2 979 . . . . . 6 CovMap
63cvmsss 24954 . . . . . . . 8
763ad2ant2 979 . . . . . . 7 CovMap
87unissd 4039 . . . . . 6 CovMap
95, 8eqsstr3d 3383 . . . . 5 CovMap
10 eqid 2436 . . . . . 6
1110restuni 17226 . . . . 5 t
122, 9, 11syl2anc 643 . . . 4 CovMap t
1312difeq1d 3464 . . 3 CovMap t
14 unisng 4032 . . . . . . 7
15143ad2ant3 980 . . . . . 6 CovMap
1615uneq2d 3501 . . . . 5 CovMap
17 uniun 4034 . . . . . 6
18 undif1 3703 . . . . . . . . 9
19 simp3 959 . . . . . . . . . . 11 CovMap
2019snssd 3943 . . . . . . . . . 10 CovMap
21 ssequn2 3520 . . . . . . . . . 10
2220, 21sylib 189 . . . . . . . . 9 CovMap
2318, 22syl5eq 2480 . . . . . . . 8 CovMap
2423unieqd 4026 . . . . . . 7 CovMap
2524, 5eqtrd 2468 . . . . . 6 CovMap
2617, 25syl5eqr 2482 . . . . 5 CovMap
2716, 26eqtr3d 2470 . . . 4 CovMap
28 difss 3474 . . . . . . 7
2928unissi 4038 . . . . . 6
3029, 5syl5sseq 3396 . . . . 5 CovMap
31 uniiun 4144 . . . . . . . 8
3231ineq2i 3539 . . . . . . 7
33 incom 3533 . . . . . . 7
34 iunin2 4155 . . . . . . 7
3532, 33, 343eqtr4i 2466 . . . . . 6
36 eldifsn 3927 . . . . . . . . . 10
37 necom 2685 . . . . . . . . . . . . 13
38 df-ne 2601 . . . . . . . . . . . . 13
3937, 38bitri 241 . . . . . . . . . . . 12
403cvmsdisj 24957 . . . . . . . . . . . . . 14
41403expa 1153 . . . . . . . . . . . . 13
4241ord 367 . . . . . . . . . . . 12
4339, 42syl5bi 209 . . . . . . . . . . 11
4443impr 603 . . . . . . . . . 10
4536, 44sylan2b 462 . . . . . . . . 9
4645iuneq2dv 4114 . . . . . . . 8
47463adant1 975 . . . . . . 7 CovMap
48 iun0 4147 . . . . . . 7
4947, 48syl6eq 2484 . . . . . 6 CovMap
5035, 49syl5eq 2480 . . . . 5 CovMap
51 uneqdifeq 3716 . . . . 5
5230, 50, 51syl2anc 643 . . . 4 CovMap
5327, 52mpbid 202 . . 3 CovMap
5413, 53eqtr3d 2470 . 2 CovMap t
55 uniexg 4706 . . . . . 6
56553ad2ant2 979 . . . . 5 CovMap
575, 56eqeltrrd 2511 . . . 4 CovMap
58 resttop 17224 . . . 4 t
592, 57, 58syl2anc 643 . . 3 CovMap t
60 elssuni 4043 . . . . . . . . . . 11
6160adantl 453 . . . . . . . . . 10 CovMap
625adantr 452 . . . . . . . . . 10 CovMap
6361, 62sseqtrd 3384 . . . . . . . . 9 CovMap
64 df-ss 3334 . . . . . . . . 9
6563, 64sylib 189 . . . . . . . 8 CovMap
662adantr 452 . . . . . . . . 9 CovMap
6757adantr 452 . . . . . . . . 9 CovMap
687sselda 3348 . . . . . . . . 9 CovMap
69 elrestr 13656 . . . . . . . . 9 t
7066, 67, 68, 69syl3anc 1184 . . . . . . . 8 CovMap t
7165, 70eqeltrrd 2511 . . . . . . 7 CovMap t
7271ex 424 . . . . . 6 CovMap t
7372ssrdv 3354 . . . . 5 CovMap t
7473ssdifssd 3485 . . . 4 CovMap t
75 uniopn 16970 . . . 4 t t t
7659, 74, 75syl2anc 643 . . 3 CovMap t
77 eqid 2436 . . . 4 t t
7877opncld 17097 . . 3 t t t t
7959, 76, 78syl2anc 643 . 2 CovMap t t
8054, 79eqeltrrd 2511 1 CovMap t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  crab 2709  cvv 2956   cdif 3317   cun 3318   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cpw 3799  csn 3814  cuni 4015  ciun 4093   cmpt 4266  ccnv 4877   cres 4880  cima 4881  cfv 5454  (class class class)co 6081   ↾t crest 13648  ctop 16958  ccld 17080   chmeo 17785   CovMap ccvm 24942 This theorem is referenced by:  cvmliftmolem1  24968  cvmlift2lem9  24998  cvmlift3lem6  25011 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-cvm 24943
 Copyright terms: Public domain W3C validator