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Theorem cvmscld 23804
Description: The sets of an even covering are clopen in the subspace topology on  T. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmscld  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    U, k, s, u, v    T, s, u, v    u, A, v
Allowed substitution hints:    A( k, s)    S( v, u, k, s)    T( k)

Proof of Theorem cvmscld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmtop1 23791 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  C  e.  Top )
213ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  C  e.  Top )
3 cvmcov.1 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
43cvmsuni 23800 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
543ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
63cvmsss 23798 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  T  C_  C )
763ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  T  C_  C )
8 uniss 3848 . . . . . . 7  |-  ( T 
C_  C  ->  U. T  C_ 
U. C )
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. T  C_ 
U. C )
105, 9eqsstr3d 3213 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( `' F " U ) 
C_  U. C )
11 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. C  =  U. C
1211restuni 16893 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U ) 
C_  U. C )  -> 
( `' F " U )  =  U. ( Ct  ( `' F " U ) ) )
132, 10, 12syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( `' F " U )  =  U. ( Ct  ( `' F " U ) ) )
1413difeq1d 3293 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( `' F " U )  \  U. ( T  \  { A } ) )  =  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A }
) ) )
15 unisng 3844 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  T  ->  U. { A }  =  A
)
16153ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. { A }  =  A
)
1716uneq2d 3329 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  u.  U. { A } )  =  ( U. ( T 
\  { A }
)  u.  A ) )
18 uniun 3846 . . . . . 6  |-  U. (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  ( U. ( T  \  { A } )  u. 
U. { A }
)
19 undif1 3529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  ( T  u.  { A } )
20 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  T )
2120snssd 3760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  { A }  C_  T )
22 ssequn2 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A }  C_  T  <->  ( T  u.  { A } )  =  T )
2321, 22sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( T  u.  { A } )  =  T )
2419, 23syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  T )
2524unieqd 3838 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  U. T )
2625, 5eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. (
( T  \  { A } )  u.  { A } )  =  ( `' F " U ) )
2718, 26syl5eqr 2329 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  u.  U. { A } )  =  ( `' F " U ) )
2817, 27eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  u.  A
)  =  ( `' F " U ) )
29 difss 3303 . . . . . . 7  |-  ( T 
\  { A }
)  C_  T
30 uniss 3848 . . . . . . 7  |-  ( ( T  \  { A } )  C_  T  ->  U. ( T  \  { A } )  C_  U. T )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . 6  |-  U. ( T  \  { A }
)  C_  U. T
3231, 5syl5sseq 3226 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. ( T  \  { A }
)  C_  ( `' F " U ) )
33 uniiun 3955 . . . . . . . 8  |-  U. ( T  \  { A }
)  =  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) x
3433ineq2i 3367 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  U. ( T 
\  { A }
) )  =  ( A  i^i  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) x )
35 incom 3361 . . . . . . 7  |-  ( U. ( T  \  { A } )  i^i  A
)  =  ( A  i^i  U. ( T 
\  { A }
) )
36 iunin2 3966 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  =  ( A  i^i  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) x )
3734, 35, 363eqtr4i 2313 . . . . . 6  |-  ( U. ( T  \  { A } )  i^i  A
)  =  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )
38 eldifsn 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( T  \  { A } )  <->  ( x  e.  T  /\  x  =/=  A ) )
39 necom 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  A  <->  A  =/=  x )
40 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =/=  x  <->  -.  A  =  x )
4139, 40bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =/=  A  <->  -.  A  =  x )
423cvmsdisj 23801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  ( S `
 U )  /\  A  e.  T  /\  x  e.  T )  ->  ( A  =  x  \/  ( A  i^i  x )  =  (/) ) )
43423expa 1151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  T )  ->  ( A  =  x  \/  ( A  i^i  x
)  =  (/) ) )
4443ord 366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  T )  ->  ( -.  A  =  x  ->  ( A  i^i  x
)  =  (/) ) )
4541, 44syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  T )  ->  (
x  =/=  A  -> 
( A  i^i  x
)  =  (/) ) )
4645impr 602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  ( x  e.  T  /\  x  =/=  A ) )  -> 
( A  i^i  x
)  =  (/) )
4738, 46sylan2b 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T
)  /\  x  e.  ( T  \  { A } ) )  -> 
( A  i^i  x
)  =  (/) )
4847iuneq2dv 3926 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  ( S `
 U )  /\  A  e.  T )  ->  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  = 
U_ x  e.  ( T  \  { A } ) (/) )
49483adant1 973 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  = 
U_ x  e.  ( T  \  { A } ) (/) )
50 iun0 3958 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) (/)  =  (/)
5149, 50syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U_ x  e.  ( T  \  { A } ) ( A  i^i  x )  =  (/) )
5237, 51syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( T  \  { A } )  i^i  A
)  =  (/) )
53 uneqdifeq 3542 . . . . 5  |-  ( ( U. ( T  \  { A } )  C_  ( `' F " U )  /\  ( U. ( T  \  { A }
)  i^i  A )  =  (/) )  ->  (
( U. ( T 
\  { A }
)  u.  A )  =  ( `' F " U )  <->  ( ( `' F " U ) 
\  U. ( T  \  { A } ) )  =  A ) )
5432, 52, 53syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( U. ( T 
\  { A }
)  u.  A )  =  ( `' F " U )  <->  ( ( `' F " U ) 
\  U. ( T  \  { A } ) )  =  A ) )
5528, 54mpbid 201 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
( `' F " U )  \  U. ( T  \  { A } ) )  =  A )
5614, 55eqtr3d 2317 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A } ) )  =  A )
57 uniexg 4517 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  U. T  e.  _V )
58573ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. T  e.  _V )
595, 58eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( `' F " U )  e.  _V )
60 resttop 16891 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U )  e.  _V )  -> 
( Ct  ( `' F " U ) )  e. 
Top )
612, 59, 60syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( Ct  ( `' F " U ) )  e.  Top )
62 elssuni 3855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  T  ->  x  C_ 
U. T )
6362adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  C_ 
U. T )
645adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  U. T  =  ( `' F " U ) )
6563, 64sseqtrd 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  C_  ( `' F " U ) )
66 df-ss 3166 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( `' F " U )  <->  ( x  i^i  ( `' F " U ) )  =  x )
6765, 66sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  (
x  i^i  ( `' F " U ) )  =  x )
682adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  C  e.  Top )
6959adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  ( `' F " U )  e.  _V )
707sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  C )
71 elrestr 13333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Top  /\  ( `' F " U )  e.  _V  /\  x  e.  C )  ->  (
x  i^i  ( `' F " U ) )  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7268, 69, 70, 71syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  (
x  i^i  ( `' F " U ) )  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7367, 72eqeltrrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U )  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7473ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  (
x  e.  T  ->  x  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
7574ssrdv 3185 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  T  C_  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7629, 75syl5ss 3190 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( T  \  { A }
)  C_  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
77 uniopn 16643 . . . 4  |-  ( ( ( Ct  ( `' F " U ) )  e. 
Top  /\  ( T  \  { A } ) 
C_  ( Ct  ( `' F " U ) ) )  ->  U. ( T  \  { A }
)  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
7861, 76, 77syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  U. ( T  \  { A }
)  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )
79 eqid 2283 . . . 4  |-  U. ( Ct  ( `' F " U ) )  =  U. ( Ct  ( `' F " U ) )
8079opncld 16770 . . 3  |-  ( ( ( Ct  ( `' F " U ) )  e. 
Top  /\  U. ( T  \  { A }
)  e.  ( Ct  ( `' F " U ) ) )  ->  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A } ) )  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
8161, 78, 80syl2anc 642 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  ( U. ( Ct  ( `' F " U ) )  \  U. ( T  \  { A } ) )  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
8256, 81eqeltrrd 2358 1  |-  ( ( F  e.  ( C CovMap  J )  /\  T  e.  ( S `  U
)  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  ( Clsd `  ( Ct  ( `' F " U ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   U_ciun 3905    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631   Clsdccld 16753    Homeo chmeo 17444   CovMap ccvm 23786
This theorem is referenced by:  cvmliftmolem1  23812  cvmlift2lem9  23842  cvmlift3lem6  23855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cvm 23787
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