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Theorem cvmsi 24733
Description: One direction of cvmsval 24734. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
cvmsi  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( U  e.  J  /\  ( T  C_  C  /\  T  =/=  (/) )  /\  ( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  U ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, C    k, F, s, u, v    k, J, s, u, v    U, k, s, u, v    T, s, u, v
Allowed substitution hints:    S( v, u, k, s)    T( k)

Proof of Theorem cvmsi
StepHypRef Expression
1 cvmcov.1 . . 3  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
21cvmsrcl 24732 . 2  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  U  e.  J )
3 imaeq2 5141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  U  ->  ( `' F " k )  =  ( `' F " U ) )
43eqeq2d 2400 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  U  ->  ( U. s  =  ( `' F " k )  <->  U. s  =  ( `' F " U ) ) )
5 oveq2 6030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  U  ->  ( Jt  k )  =  ( Jt  U ) )
65oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  U  ->  (
( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) )  =  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  U ) ) )
76eleq2d 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  U  ->  (
( F  |`  u
)  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) )  <->  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  U ) ) ) )
87anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  U  ->  (
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) )  <->  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  U ) ) ) ) )
98ralbidv 2671 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  U  ->  ( A. u  e.  s 
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) )  <->  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  U ) ) ) ) )
104, 9anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  U  ->  (
( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) )  <-> 
( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  U ) ) ) ) ) )
1110rabbidv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  U  ->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) }  =  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  U ) ) ) ) } )
1211, 1fvmptss2 5765 . . . . . . 7  |-  ( S `
 U )  C_  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  U ) ) ) ) }
1312sseli 3289 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  T  e.  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  U ) ) ) ) } )
14 unieq 3968 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  U. s  =  U. T )
1514eqeq1d 2397 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  T  ->  ( U. s  =  ( `' F " U )  <->  U. T  =  ( `' F " U ) ) )
16 difeq1 3403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  T  ->  (
s  \  { u } )  =  ( T  \  { u } ) )
1716raleqdv 2855 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  T  ->  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/) 
<-> 
A. v  e.  ( T  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) )
1817anbi1d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  (
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  U ) ) )  <-> 
( A. v  e.  ( T  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  U ) ) ) ) )
1918raleqbi1dv 2857 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  T  ->  ( A. u  e.  s 
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  U ) ) )  <->  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  U ) ) ) ) )
2015, 19anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( s  =  T  ->  (
( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  U ) ) ) )  <-> 
( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  { u }
) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u
)  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  U ) ) ) ) ) )
2120elrab 3037 . . . . . 6  |-  ( T  e.  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  U ) ) ) ) }  <->  ( T  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  /\  ( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  U ) ) ) ) ) )
2213, 21sylib 189 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( T  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  /\  ( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  { u }
) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u
)  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  U ) ) ) ) ) )
2322simpld 446 . . . 4  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  T  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) )
24 eldifsn 3872 . . . 4  |-  ( T  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  <->  ( T  e.  ~P C  /\  T  =/=  (/) ) )
2523, 24sylib 189 . . 3  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( T  e.  ~P C  /\  T  =/=  (/) ) )
26 elpwi 3752 . . . 4  |-  ( T  e.  ~P C  ->  T  C_  C )
2726anim1i 552 . . 3  |-  ( ( T  e.  ~P C  /\  T  =/=  (/) )  -> 
( T  C_  C  /\  T  =/=  (/) ) )
2825, 27syl 16 . 2  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( T  C_  C  /\  T  =/=  (/) ) )
2922simprd 450 . 2  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  U ) ) ) ) )
302, 28, 293jca 1134 1  |-  ( T  e.  ( S `  U )  ->  ( U  e.  J  /\  ( T  C_  C  /\  T  =/=  (/) )  /\  ( U. T  =  ( `' F " U )  /\  A. u  e.  T  ( A. v  e.  ( T  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  U ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   {crab 2655    \ cdif 3262    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ~Pcpw 3744   {csn 3759   U.cuni 3959    e. cmpt 4209   `'ccnv 4819    |` cres 4822   "cima 4823   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   ↾t crest 13577    Homeo chmeo 17708
This theorem is referenced by:  cvmsval  24734  cvmsss  24735  cvmsn0  24736  cvmsuni  24737  cvmsdisj  24738  cvmshmeo  24739
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fv 5404  df-ov 6025
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