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Theorem cvrat4 29632
Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 in [PtakPulmannova] p. 68. Also Lemma 9.2(delta) in [MaedaMaeda] p. 41. (atcvat4i 22977 analog.) (Contributed by NM, 30-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrat4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrat4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrat4.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
cvrat4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrat4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, r    B, r    .\/ , r    K, r    .<_ , r    P, r    Q, r    X, r
Allowed substitution hint:    .0. ( r)

Proof of Theorem cvrat4
StepHypRef Expression
1 hlatl 29550 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
21adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  AtLat )
3 simpr1 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  X  e.  B )
4 cvrat4.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 cvrat4.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cvrat4.z . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
7 cvrat4.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
84, 5, 6, 7atlex 29506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  e.  B  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X )
983exp 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  AtLat  ->  ( X  e.  B  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X ) ) )
102, 3, 9sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X ) )
1110adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r  .<_  X ) )
12 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  HL )
13 simplr3 999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  Q  e.  A )
14 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  r  e.  A )
15 cvrat4.j . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .\/  =  ( join `  K )
165, 15, 7hlatlej1 29564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  r ) )
1712, 13, 14, 16syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  r
) )
18 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  =  Q  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  r )  <->  Q  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
1917, 18syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  =  Q  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  r  e.  A )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
2019exp3a 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  =  Q  ->  (
( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
r  e.  A  ->  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2120impcom 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  (
r  e.  A  ->  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
2221anim2d 548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  (
( r  .<_  X  /\  r  e.  A )  ->  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2322exp3acom23 1362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  (
r  e.  A  -> 
( r  .<_  X  -> 
( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
2423reximdvai 2653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  ( E. r  e.  A  r  .<_  X  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2511, 24syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  P  =  Q )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
2625ex 423 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =  Q  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
2726a1i 10 . . . 4  |-  ( P 
.<_  ( X  .\/  Q
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)  ->  ( P  =  Q  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) ) )
2827com4l 78 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =  Q  ->  ( X  =/=  .0.  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) ) )
2928imp4a 572 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =  Q  ->  ( ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
30 hllat 29553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3130adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  Lat )
32 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  Q  e.  A )
334, 7atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  Q  e.  B )
354, 5, 15latleeqj2 14170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Q  .<_  X  <->  ( X  .\/  Q )  =  X ) )
3631, 34, 3, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q  .<_  X  <->  ( X  .\/  Q )  =  X ) )
3736biimpa 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( X  .\/  Q )  =  X )
3837breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  <->  P  .<_  X ) )
3938biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  P  .<_  X )
4039expl 601 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  P  .<_  X ) )
41 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  HL )
42 simpr2 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  e.  A )
435, 15, 7hlatlej2 29565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  P ) )
4441, 32, 42, 43syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  P
) )
4540, 44jctird 528 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P
) ) ) )
4645, 42jctild 527 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( P  e.  A  /\  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) ) ) )
4746impl 603 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( P  e.  A  /\  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) ) )
48 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( r  =  P  ->  (
r  .<_  X  <->  P  .<_  X ) )
49 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  P  ->  ( Q  .\/  r )  =  ( Q  .\/  P
) )
5049breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( r  =  P  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  r )  <->  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) )
5148, 50anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( r  =  P  ->  (
( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) )  <->  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) ) )
5251rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  A  /\  ( P  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  P ) ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
5347, 52syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
5453adantrl 696 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
5554exp31 587 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q  .<_  X  ->  (
( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
56 simpr 447 . . 3  |-  ( ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )
57 ioran 476 . . . . 5  |-  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  <-> 
( -.  P  =  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )
58 df-ne 2448 . . . . . 6  |-  ( P  =/=  Q  <->  -.  P  =  Q )
5958anbi1i 676 . . . . 5  |-  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  <-> 
( -.  P  =  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )
6057, 59bitr4i 243 . . . 4  |-  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  <-> 
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )
61 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
624, 5, 15, 61, 7cvrat3 29631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A
) )
63623expd 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  =/=  Q  ->  ( -.  Q  .<_  X  -> 
( P  .<_  ( X 
.\/  Q )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  A ) ) ) )
6463imp4c 574 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A
) )
654, 7atbase 29479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
6642, 65syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  P  e.  B )
674, 15latjcl 14156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
6831, 66, 34, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  B )
694, 5, 61latmle1 14182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X )
7031, 3, 68, 69syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  X )
7170adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  X )
72 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  K  e.  HL )
7363imp44 579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A
)
74 simplr2 998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  P  e.  A )
7534adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  Q  e.  B )
7673, 74, 753jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )
7772, 76jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) ) )
784, 5, 61, 6, 7atnle 29507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  Q  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <->  ( Q
( meet `  K ) X )  =  .0.  ) )
792, 32, 3, 78syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <->  ( Q
( meet `  K ) X )  =  .0.  ) )
804, 61latmcom 14181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Q ( meet `  K ) X )  =  ( X (
meet `  K ) Q ) )
8131, 34, 3, 80syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) X )  =  ( X ( meet `  K ) Q ) )
8281eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) X )  =  .0.  <->  ( X
( meet `  K ) Q )  =  .0.  ) )
8379, 82bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  <->  ( X
( meet `  K ) Q )  =  .0.  ) )
844, 61latmcl 14157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B )
8531, 3, 68, 84syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)
8685, 3, 343jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B ) )
8731, 86jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B ) ) )
884, 5, 61latmlem2 14188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  .<_  ( Q
( meet `  K ) X ) ) )
8987, 70, 88sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  ( Q ( meet `  K
) X ) )
9089, 81breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  ( X ( meet `  K
) Q ) )
91 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X ( meet `  K
) Q )  =  .0.  ->  ( ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  ( X ( meet `  K
) Q )  <->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  .<_  .0.  )
)
9290, 91syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  .<_  .0.  ) )
93 hlop 29552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
9493adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  OP )
954, 61latmcl 14157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  e.  B )
9631, 34, 85, 95syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  e.  B )
974, 5, 6ople0 29377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  e.  B )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  .<_  .0. 
<->  ( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ) )
9894, 96, 97syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  .<_  .0. 
<->  ( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ) )
9992, 98sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  =  .0.  ) )
10083, 99sylbid 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  Q  .<_  X  -> 
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ) )
101100imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  -.  Q  .<_  X )  -> 
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  )
102101adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X ) )  ->  ( Q (
meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  =  .0.  )
103102adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  =  .0.  )
1044, 5, 61latmle2 14183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  ( P  .\/  Q
) )
10531, 3, 68, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
1064, 15latjcom 14165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  =  ( Q 
.\/  P ) )
10731, 66, 34, 106syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  P
) )
108105, 107breqtrd 4047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( Q 
.\/  P ) )
109108adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  ( Q 
.\/  P ) )
11030adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
111 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  Q  e.  B )
112 simpr1 961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A
)
1134, 7atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  A  ->  ( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  B )
114112, 113syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)
1154, 61latmcom 14181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  e.  B
)  ->  ( Q
( meet `  K )
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )  =  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ( meet `  K ) Q ) )
116110, 111, 114, 115syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  ( Q ( meet `  K
) ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) )  =  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) ( meet `  K ) Q ) )
117116eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  <->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ) )
1184, 5, 15, 61, 6, 7hlexch3 29580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
)  /\  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ( meet `  K ) Q )  =  .0.  )  -> 
( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  ( Q 
.\/  P )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )
1191183expia 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) ) ( meet `  K ) Q )  =  .0.  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  ( Q  .\/  P
)  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
120117, 119sylbid 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  B
) )  ->  (
( Q ( meet `  K ) ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )  =  .0.  ->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( Q 
.\/  P )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
12177, 103, 109, 120syl3c 57 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) )
12271, 121jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )
123122ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
12464, 123jcad 519 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  A  /\  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) ) )
125 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  (
r  .<_  X  <->  ( X
( meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  .<_  X ) )
126 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  r )  =  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) )
127126breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  r )  <->  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )
128125, 127anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( X (
meet `  K )
( P  .\/  Q
) )  ->  (
( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) )  <->  ( ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) )  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) ) )
129128rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( ( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  e.  A  /\  (
( X ( meet `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) 
.<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  ( X ( meet `  K
) ( P  .\/  Q ) ) ) ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) )
130124, 129syl6 29 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( ( P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  X )  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
131130exp3a 425 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
13260, 131syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( X  .\/  Q )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
13356, 132syl7 63 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( -.  ( P  =  Q  \/  Q  .<_  X )  ->  ( ( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q
) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) ) )
13429, 55, 133ecase3d 909 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( X  =/=  .0.  /\  P  .<_  ( X  .\/  Q ) )  ->  E. r  e.  A  ( r  .<_  X  /\  P  .<_  ( Q  .\/  r ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   meetcmee 14079   0.cp0 14143   Latclat 14151   OPcops 29362   Atomscatm 29453   AtLatcal 29454   HLchlt 29540
This theorem is referenced by:  cvrat42  29633  ps-2  29667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541
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