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Theorem cvratlem 30155
Description: Lemma for cvrat 30156. (atcvatlem 23880 analog.) (Contributed by NM, 22-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrat.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
cvrat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrat.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
cvrat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvratlem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( X  =/=  .0.  /\  X  .<  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( -.  P ( le `  K ) X  ->  X  e.  A ) )

Proof of Theorem cvratlem
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlatl 30095 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  K  e.  AtLat )
3 simpr1 963 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  X  e.  B )
4 cvrat.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6 cvrat.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
7 cvrat.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
84, 5, 6, 7atlex 30051 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  e.  B  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  E. r  e.  A  r ( le `  K ) X )
983expia 1155 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  e.  B )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r ( le `  K ) X ) )
102, 3, 9syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  E. r  e.  A  r ( le `  K ) X ) )
1113ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  AtLat )
12 simp22 991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  P  e.  A )
13 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  r  e.  A )
145, 7atcmp 30046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  P  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  ( P ( le `  K ) r  <->  P  =  r ) )
1511, 12, 13, 14syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( P ( le `  K ) r  <->  P  =  r ) )
16 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  =  r  ->  ( P ( le `  K ) X  <->  r ( le `  K ) X ) )
1716biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  =  r  ->  (
r ( le `  K ) X  ->  P ( le `  K ) X ) )
1815, 17syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( P ( le `  K ) r  -> 
( r ( le
`  K ) X  ->  P ( le
`  K ) X ) ) )
1918com23 74 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( P ( le
`  K ) r  ->  P ( le
`  K ) X ) ) )
20 con3 128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P ( le `  K ) r  ->  P ( le `  K ) X )  ->  ( -.  P
( le `  K
) X  ->  -.  P ( le `  K ) r ) )
2119, 20syl6 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( -.  P ( le `  K ) X  ->  -.  P
( le `  K
) r ) ) )
2221imp3a 421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
( r ( le
`  K ) X  /\  -.  P ( le `  K ) X )  ->  -.  P ( le `  K ) r ) )
23 simp1 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  HL )
244, 7atbase 30024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  B )
25243ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  r  e.  B )
26 cvrat.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .\/  =  ( join `  K )
27 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
284, 5, 26, 27, 7cvr1 30144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  B  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  P ( le `  K ) r  <->  r (  <o  `  K ) ( r 
.\/  P ) ) )
2923, 25, 12, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( -.  P ( le `  K ) r  <->  r (  <o  `  K ) ( r  .\/  P ) ) )
3022, 29sylibd 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
( r ( le
`  K ) X  /\  -.  P ( le `  K ) X )  ->  r
(  <o  `  K )
( r  .\/  P
) ) )
3130imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  -.  P ( le `  K ) X ) )  ->  r (  <o  `  K ) ( r  .\/  P ) )
32 hllat 30098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
33323ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
344, 7atbase 30024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
3512, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  P  e.  B )
364, 26latjcom 14480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  r  e.  B )  ->  ( P  .\/  r
)  =  ( r 
.\/  P ) )
3733, 35, 25, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( P  .\/  r )  =  ( r  .\/  P
) )
3837adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  -.  P ( le `  K ) X ) )  ->  ( P  .\/  r )  =  ( r  .\/  P ) )
3931, 38breqtrrd 4230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  -.  P ( le `  K ) X ) )  ->  r (  <o  `  K ) ( P  .\/  r ) )
4039adantrrl 705 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  r
(  <o  `  K )
( P  .\/  r
) )
415, 26, 7hlatlej1 30109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  P ( le `  K ) ( P 
.\/  r ) )
4223, 12, 13, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  P
( le `  K
) ( P  .\/  r ) )
4342adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  P
( le `  K
) ( P  .\/  r ) )
445, 7atcmp 30046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  r  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) P  <->  r  =  P ) )
4511, 13, 12, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) P  <->  r  =  P ) )
46 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  P  ->  (
r ( le `  K ) X  <->  P ( le `  K ) X ) )
4746biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  P  ->  (
r ( le `  K ) X  ->  P ( le `  K ) X ) )
4845, 47syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) P  -> 
( r ( le
`  K ) X  ->  P ( le
`  K ) X ) ) )
4948com23 74 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( r ( le
`  K ) P  ->  P ( le
`  K ) X ) ) )
50 con3 128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r ( le `  K ) P  ->  P ( le `  K ) X )  ->  ( -.  P
( le `  K
) X  ->  -.  r ( le `  K ) P ) )
5149, 50syl6 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( -.  P ( le `  K ) X  ->  -.  r
( le `  K
) P ) ) )
5251imp32 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  -.  P ( le `  K ) X ) )  ->  -.  r
( le `  K
) P )
5352adantrrl 705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  -.  r ( le `  K ) P )
54 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
r ( le `  K ) X )
55 simp21 990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  X  e.  B )
56 simp23 992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  Q  e.  A )
574, 7atbase 30024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  Q  e.  B )
594, 26latjcl 14471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  Q  e.  B )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
6033, 35, 58, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  B )
6123, 55, 603jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B ) )
62 cvrat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .<  =  ( lt `  K )
635, 62pltle 14410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  -> 
( X  .<  ( P  .\/  Q )  ->  X ( le `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )
6463imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B )  /\  X  .<  ( P  .\/  Q ) )  ->  X
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )
6561, 64sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  X  .<  ( P  .\/  Q
) )  ->  X
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )
6665adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  X ( le `  K ) ( P 
.\/  Q ) )
67 hlpos 30100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
68673ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  Poset )
694, 5postr 14402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
r  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B ) )  ->  ( ( r ( le `  K
) X  /\  X
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )  ->  r
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )
7068, 25, 55, 60, 69syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
( r ( le
`  K ) X  /\  X ( le
`  K ) ( P  .\/  Q ) )  ->  r ( le `  K ) ( P  .\/  Q ) ) )
7170adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( r ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) ( P  .\/  Q
) )  ->  r
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )
7254, 66, 71mp2and 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
r ( le `  K ) ( P 
.\/  Q ) )
7372adantrrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  r
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )
744, 5, 26, 7hlexch1 30116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( r  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  B
)  /\  -.  r
( le `  K
) P )  -> 
( r ( le
`  K ) ( P  .\/  Q )  ->  Q ( le
`  K ) ( P  .\/  r ) ) )
75743expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( r  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  B
) )  ->  ( -.  r ( le `  K ) P  -> 
( r ( le
`  K ) ( P  .\/  Q )  ->  Q ( le
`  K ) ( P  .\/  r ) ) ) )
7675imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( r  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  B
) )  ->  (
( -.  r ( le `  K ) P  /\  r ( le `  K ) ( P  .\/  Q
) )  ->  Q
( le `  K
) ( P  .\/  r ) ) )
7723, 13, 56, 35, 76syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
( -.  r ( le `  K ) P  /\  r ( le `  K ) ( P  .\/  Q
) )  ->  Q
( le `  K
) ( P  .\/  r ) ) )
7877adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  (
( -.  r ( le `  K ) P  /\  r ( le `  K ) ( P  .\/  Q
) )  ->  Q
( le `  K
) ( P  .\/  r ) ) )
7953, 73, 78mp2and 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  Q
( le `  K
) ( P  .\/  r ) )
804, 26latjcl 14471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  r  e.  B )  ->  ( P  .\/  r
)  e.  B )
8133, 35, 25, 80syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( P  .\/  r )  e.  B )
824, 5, 26latjle12 14483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  Q  e.  B  /\  ( P  .\/  r
)  e.  B ) )  ->  ( ( P ( le `  K ) ( P 
.\/  r )  /\  Q ( le `  K ) ( P 
.\/  r ) )  <-> 
( P  .\/  Q
) ( le `  K ) ( P 
.\/  r ) ) )
8333, 35, 58, 81, 82syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
( P ( le
`  K ) ( P  .\/  r )  /\  Q ( le
`  K ) ( P  .\/  r ) )  <->  ( P  .\/  Q ) ( le `  K ) ( P 
.\/  r ) ) )
8483adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  (
( P ( le
`  K ) ( P  .\/  r )  /\  Q ( le
`  K ) ( P  .\/  r ) )  <->  ( P  .\/  Q ) ( le `  K ) ( P 
.\/  r ) ) )
8543, 79, 84mpbi2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  ( P  .\/  Q ) ( le `  K ) ( P  .\/  r
) )
865, 26, 7hlatlej1 30109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P ( le `  K ) ( P 
.\/  Q ) )
8723, 12, 56, 86syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  P
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )
8887adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  P
( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )
894, 5, 26latjle12 14483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  r  e.  B  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  B ) )  ->  ( ( P ( le `  K ) ( P 
.\/  Q )  /\  r ( le `  K ) ( P 
.\/  Q ) )  <-> 
( P  .\/  r
) ( le `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )
9033, 35, 25, 60, 89syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
( P ( le
`  K ) ( P  .\/  Q )  /\  r ( le
`  K ) ( P  .\/  Q ) )  <->  ( P  .\/  r ) ( le
`  K ) ( P  .\/  Q ) ) )
9190adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  (
( P ( le
`  K ) ( P  .\/  Q )  /\  r ( le
`  K ) ( P  .\/  Q ) )  <->  ( P  .\/  r ) ( le
`  K ) ( P  .\/  Q ) ) )
9288, 73, 91mpbi2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  ( P  .\/  r ) ( le `  K ) ( P  .\/  Q
) )
9333, 60, 813jca 1134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B  /\  ( P 
.\/  r )  e.  B ) )
9493adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B  /\  ( P 
.\/  r )  e.  B ) )
954, 5latasymb 14475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B  /\  ( P  .\/  r )  e.  B )  ->  (
( ( P  .\/  Q ) ( le `  K ) ( P 
.\/  r )  /\  ( P  .\/  r ) ( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )  <->  ( P  .\/  Q )  =  ( P  .\/  r ) ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q ) ( le `  K ) ( P 
.\/  r )  /\  ( P  .\/  r ) ( le `  K
) ( P  .\/  Q ) )  <->  ( P  .\/  Q )  =  ( P  .\/  r ) ) )
9785, 92, 96mpbi2and 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( P  .\/  r
) )
98 breq2 4208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  .\/  Q )  =  ( P  .\/  r )  ->  ( X  .<  ( P  .\/  Q )  <->  X  .<  ( P 
.\/  r ) ) )
9998biimpcd 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
.<  ( P  .\/  Q
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  =  ( P  .\/  r
)  ->  X  .<  ( P  .\/  r ) ) )
10099adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  .<  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  =  ( P  .\/  r
)  ->  X  .<  ( P  .\/  r ) ) )
101100ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  =  ( P 
.\/  r )  ->  X  .<  ( P  .\/  r ) ) )
10297, 101mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  X  .<  ( P  .\/  r
) )
1034, 5, 62, 27cvrnbtwn3 30011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
r  e.  B  /\  ( P  .\/  r )  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  r
(  <o  `  K )
( P  .\/  r
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  r ) )  <-> 
r  =  X ) )
104103biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
r  e.  B  /\  ( P  .\/  r )  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  r
(  <o  `  K )
( P  .\/  r
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  r ) )  ->  r  =  X ) )
1051043expia 1155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
r  e.  B  /\  ( P  .\/  r )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( r (  <o  `  K ) ( P 
.\/  r )  -> 
( ( r ( le `  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  r ) )  ->  r  =  X ) ) )
10668, 25, 81, 55, 105syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r (  <o  `  K
) ( P  .\/  r )  ->  (
( r ( le
`  K ) X  /\  X  .<  ( P  .\/  r ) )  ->  r  =  X ) ) )
107106exp4a 590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r (  <o  `  K
) ( P  .\/  r )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( X  .<  ( P  .\/  r )  -> 
r  =  X ) ) ) )
108107com23 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( r (  <o  `  K ) ( P 
.\/  r )  -> 
( X  .<  ( P  .\/  r )  -> 
r  =  X ) ) ) )
109108imp4b 574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  r
( le `  K
) X )  -> 
( ( r ( 
<o  `  K ) ( P  .\/  r )  /\  X  .<  ( P  .\/  r ) )  ->  r  =  X ) )
110109adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  (
( r (  <o  `  K ) ( P 
.\/  r )  /\  X  .<  ( P  .\/  r ) )  -> 
r  =  X ) )
11140, 102, 110mp2and 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  r  =  X )
112 simpl3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  r  e.  A )
113111, 112eqeltrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  /\  (
r ( le `  K ) X  /\  ( X  .<  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  P ( le `  K ) X ) ) )  ->  X  e.  A )
114113exp45 598 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( X  .<  ( P  .\/  Q )  -> 
( -.  P ( le `  K ) X  ->  X  e.  A ) ) ) )
1151143expa 1153 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  r  e.  A )  ->  (
r ( le `  K ) X  -> 
( X  .<  ( P  .\/  Q )  -> 
( -.  P ( le `  K ) X  ->  X  e.  A ) ) ) )
116115rexlimdva 2822 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( E. r  e.  A  r ( le `  K ) X  -> 
( X  .<  ( P  .\/  Q )  -> 
( -.  P ( le `  K ) X  ->  X  e.  A ) ) ) )
11710, 116syld 42 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  ( X  .<  ( P  .\/  Q )  ->  ( -.  P ( le `  K ) X  ->  X  e.  A )
) ) )
118117imp32 423 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  /\  ( X  =/=  .0.  /\  X  .<  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( -.  P ( le `  K ) X  ->  X  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   Posetcpo 14389   ltcplt 14390   joincjn 14393   0.cp0 14458   Latclat 14466    <o ccvr 29997   Atomscatm 29998   AtLatcal 29999   HLchlt 30085
This theorem is referenced by:  cvrat  30156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086
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