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Theorem cvrcon3b 30075
Description: Contraposition law for the covers relation. (cvcon3 23787 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrcon3b.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrcon3b.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
cvrcon3b.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrcon3b  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
(  ._|_  `  Y ) C (  ._|_  `  X
) ) )

Proof of Theorem cvrcon3b
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvrcon3b.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2436 . . . 4  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
3 cvrcon3b.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
41, 2, 3opltcon3b 30002 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( lt
`  K ) Y  <-> 
(  ._|_  `  Y )
( lt `  K
) (  ._|_  `  X
) ) )
5 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  K  e.  OP )
6 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  X  e.  B )
7 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  B )
81, 2, 3opltcon3b 30002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( X ( lt
`  K ) x  <-> 
(  ._|_  `  x )
( lt `  K
) (  ._|_  `  X
) ) )
95, 6, 7, 8syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( X
( lt `  K
) x  <->  (  ._|_  `  x ) ( lt
`  K ) ( 
._|_  `  X ) ) )
10 simpl3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  Y  e.  B )
111, 2, 3opltcon3b 30002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( x ( lt
`  K ) Y  <-> 
(  ._|_  `  Y )
( lt `  K
) (  ._|_  `  x
) ) )
125, 7, 10, 11syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x
( lt `  K
) Y  <->  (  ._|_  `  Y ) ( lt
`  K ) ( 
._|_  `  x ) ) )
139, 12anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( X ( lt `  K ) x  /\  x ( lt `  K ) Y )  <-> 
( (  ._|_  `  x
) ( lt `  K ) (  ._|_  `  X )  /\  (  ._|_  `  Y ) ( lt `  K ) (  ._|_  `  x ) ) ) )
141, 3opoccl 29992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  B )  ->  (  ._|_  `  x )  e.  B )
15143ad2antl1 1119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  x )  e.  B
)
16 breq2 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (  ._|_  `  x
)  ->  ( (  ._|_  `  Y ) ( lt `  K ) y  <->  (  ._|_  `  Y
) ( lt `  K ) (  ._|_  `  x ) ) )
17 breq1 4215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (  ._|_  `  x
)  ->  ( y
( lt `  K
) (  ._|_  `  X
)  <->  (  ._|_  `  x
) ( lt `  K ) (  ._|_  `  X ) ) )
1816, 17anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (  ._|_  `  x
)  ->  ( (
(  ._|_  `  Y )
( lt `  K
) y  /\  y
( lt `  K
) (  ._|_  `  X
) )  <->  ( (  ._|_  `  Y ) ( lt `  K ) (  ._|_  `  x )  /\  (  ._|_  `  x
) ( lt `  K ) (  ._|_  `  X ) ) ) )
1918rspcev 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  ._|_  `  x )  e.  B  /\  (
(  ._|_  `  Y )
( lt `  K
) (  ._|_  `  x
)  /\  (  ._|_  `  x ) ( lt
`  K ) ( 
._|_  `  X ) ) )  ->  E. y  e.  B  ( (  ._|_  `  Y ) ( lt `  K ) y  /\  y ( lt `  K ) (  ._|_  `  X ) ) )
2019ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
._|_  `  x )  e.  B  ->  ( (
(  ._|_  `  Y )
( lt `  K
) (  ._|_  `  x
)  /\  (  ._|_  `  x ) ( lt
`  K ) ( 
._|_  `  X ) )  ->  E. y  e.  B  ( (  ._|_  `  Y
) ( lt `  K ) y  /\  y ( lt `  K ) (  ._|_  `  X ) ) ) )
2115, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( (
(  ._|_  `  Y )
( lt `  K
) (  ._|_  `  x
)  /\  (  ._|_  `  x ) ( lt
`  K ) ( 
._|_  `  X ) )  ->  E. y  e.  B  ( (  ._|_  `  Y
) ( lt `  K ) y  /\  y ( lt `  K ) (  ._|_  `  X ) ) ) )
2221ancomsd 441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( (
(  ._|_  `  x )
( lt `  K
) (  ._|_  `  X
)  /\  (  ._|_  `  Y ) ( lt
`  K ) ( 
._|_  `  x ) )  ->  E. y  e.  B  ( (  ._|_  `  Y
) ( lt `  K ) y  /\  y ( lt `  K ) (  ._|_  `  X ) ) ) )
2313, 22sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( X ( lt `  K ) x  /\  x ( lt `  K ) Y )  ->  E. y  e.  B  ( (  ._|_  `  Y
) ( lt `  K ) y  /\  y ( lt `  K ) (  ._|_  `  X ) ) ) )
2423rexlimdva 2830 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. x  e.  B  ( X ( lt `  K ) x  /\  x ( lt `  K ) Y )  ->  E. y  e.  B  ( (  ._|_  `  Y ) ( lt `  K ) y  /\  y ( lt `  K ) (  ._|_  `  X ) ) ) )
25 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  K  e.  OP )
26 simpl3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  Y  e.  B )
27 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  y  e.  B )
281, 2, 3opltcon1b 30003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
) ( lt `  K ) y  <->  (  ._|_  `  y ) ( lt
`  K ) Y ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (  ._|_  `  Y ) ( lt `  K ) y  <->  (  ._|_  `  y
) ( lt `  K ) Y ) )
30 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  X  e.  B )
311, 2, 3opltcon2b 30004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OP  /\  y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( y ( lt
`  K ) ( 
._|_  `  X )  <->  X ( lt `  K ) ( 
._|_  `  y ) ) )
3225, 27, 30, 31syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( y
( lt `  K
) (  ._|_  `  X
)  <->  X ( lt `  K ) (  ._|_  `  y ) ) )
3329, 32anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
(  ._|_  `  Y )
( lt `  K
) y  /\  y
( lt `  K
) (  ._|_  `  X
) )  <->  ( (  ._|_  `  y ) ( lt `  K ) Y  /\  X ( lt `  K ) (  ._|_  `  y ) ) ) )
341, 3opoccl 29992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  y )  e.  B )
35343ad2antl1 1119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  (  ._|_  `  y )  e.  B
)
36 breq2 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  ._|_  `  y
)  ->  ( X
( lt `  K
) x  <->  X ( lt `  K ) ( 
._|_  `  y ) ) )
37 breq1 4215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  ._|_  `  y
)  ->  ( x
( lt `  K
) Y  <->  (  ._|_  `  y ) ( lt
`  K ) Y ) )
3836, 37anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (  ._|_  `  y
)  ->  ( ( X ( lt `  K ) x  /\  x ( lt `  K ) Y )  <-> 
( X ( lt
`  K ) ( 
._|_  `  y )  /\  (  ._|_  `  y )
( lt `  K
) Y ) ) )
3938rspcev 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  ._|_  `  y )  e.  B  /\  ( X ( lt `  K ) (  ._|_  `  y )  /\  (  ._|_  `  y ) ( lt `  K ) Y ) )  ->  E. x  e.  B  ( X ( lt `  K ) x  /\  x ( lt `  K ) Y ) )
4039ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
._|_  `  y )  e.  B  ->  ( ( X ( lt `  K ) (  ._|_  `  y )  /\  (  ._|_  `  y ) ( lt `  K ) Y )  ->  E. x  e.  B  ( X
( lt `  K
) x  /\  x
( lt `  K
) Y ) ) )
4135, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( ( X ( lt `  K ) (  ._|_  `  y )  /\  (  ._|_  `  y ) ( lt `  K ) Y )  ->  E. x  e.  B  ( X
( lt `  K
) x  /\  x
( lt `  K
) Y ) ) )
4241ancomsd 441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
(  ._|_  `  y )
( lt `  K
) Y  /\  X
( lt `  K
) (  ._|_  `  y
) )  ->  E. x  e.  B  ( X
( lt `  K
) x  /\  x
( lt `  K
) Y ) ) )
4333, 42sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
(  ._|_  `  Y )
( lt `  K
) y  /\  y
( lt `  K
) (  ._|_  `  X
) )  ->  E. x  e.  B  ( X
( lt `  K
) x  /\  x
( lt `  K
) Y ) ) )
4443rexlimdva 2830 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. y  e.  B  ( (  ._|_  `  Y ) ( lt
`  K ) y  /\  y ( lt
`  K ) ( 
._|_  `  X ) )  ->  E. x  e.  B  ( X ( lt `  K ) x  /\  x ( lt `  K ) Y ) ) )
4524, 44impbid 184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. x  e.  B  ( X ( lt `  K ) x  /\  x ( lt `  K ) Y )  <->  E. y  e.  B  ( (  ._|_  `  Y ) ( lt `  K ) y  /\  y ( lt `  K ) (  ._|_  `  X ) ) ) )
4645notbid 286 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  E. x  e.  B  ( X
( lt `  K
) x  /\  x
( lt `  K
) Y )  <->  -.  E. y  e.  B  ( (  ._|_  `  Y ) ( lt `  K ) y  /\  y ( lt `  K ) (  ._|_  `  X ) ) ) )
474, 46anbi12d 692 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X ( lt `  K ) Y  /\  -.  E. x  e.  B  ( X ( lt `  K ) x  /\  x ( lt `  K ) Y ) )  <->  ( (  ._|_  `  Y ) ( lt
`  K ) ( 
._|_  `  X )  /\  -.  E. y  e.  B  ( (  ._|_  `  Y
) ( lt `  K ) y  /\  y ( lt `  K ) (  ._|_  `  X ) ) ) ) )
48 cvrcon3b.c . . 3  |-  C  =  (  <o  `  K )
491, 2, 48cvrval 30067 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X ( lt
`  K ) Y  /\  -.  E. x  e.  B  ( X
( lt `  K
) x  /\  x
( lt `  K
) Y ) ) ) )
50 simp1 957 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
511, 3opoccl 29992 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
52513adant2 976 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
531, 3opoccl 29992 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
54533adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
551, 2, 48cvrval 30067 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  Y ) C (  ._|_  `  X
)  <->  ( (  ._|_  `  Y ) ( lt
`  K ) ( 
._|_  `  X )  /\  -.  E. y  e.  B  ( (  ._|_  `  Y
) ( lt `  K ) y  /\  y ( lt `  K ) (  ._|_  `  X ) ) ) ) )
5650, 52, 54, 55syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
) C (  ._|_  `  X )  <->  ( (  ._|_  `  Y ) ( lt `  K ) (  ._|_  `  X )  /\  -.  E. y  e.  B  ( (  ._|_  `  Y ) ( lt `  K ) y  /\  y ( lt `  K ) (  ._|_  `  X ) ) ) ) )
5747, 49, 563bitr4d 277 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
(  ._|_  `  Y ) C (  ._|_  `  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   Basecbs 13469   occoc 13537   ltcplt 14398   OPcops 29970    <o ccvr 30060
This theorem is referenced by:  cvrcmp2  30082  cvrexch  30217  1cvrco  30269  1cvrjat  30272  lhprelat3N  30837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-poset 14403  df-plt 14415  df-oposet 29974  df-covers 30064
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