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Theorem cvrexchlem 29608
Description: Lemma for cvrexch 29609. (cvexchlem 22948 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrexch.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrexch.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cvrexch.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrexchlem  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )

Proof of Theorem cvrexchlem
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 29553 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 cvrexch.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 cvrexch.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
42, 3latmcl 14157 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
51, 4syl3an1 1215 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
6 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
7 cvrexch.c . . . . . . . 8  |-  C  =  (  <o  `  K )
82, 6, 7cvrlt 29460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  ( X  ./\  Y ) ( lt `  K ) Y )
98ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) C Y  -> 
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) Y ) )
105, 9syld3an2 1229 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  -> 
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) Y ) )
11 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
12 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
132, 11, 6, 12hlrelat1 29589 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) Y  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
145, 13syld3an2 1229 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) ( lt `  K ) Y  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
1510, 14syld 40 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
1615imp 418 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) )
17 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  K  e.  HL )
1817, 1syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  K  e.  Lat )
192, 12atbase 29479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
2019adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  p  e.  B
)
21 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  X  e.  B
)
22 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  Y  e.  B
)
232, 11, 3latlem12 14184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( p ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) Y )  <->  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
2418, 20, 21, 22, 23syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( p ( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) Y )  <->  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
) )
2524biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( p ( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) Y )  ->  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) ) )
2625exp3acom23 1362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) Y  ->  ( p
( le `  K
) X  ->  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y ) ) ) )
27 con3 126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p ( le `  K ) X  ->  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( -.  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  -.  p
( le `  K
) X ) )
2826, 27syl6 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) Y  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  ->  -.  p ( le `  K ) X ) ) )
2928com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( -.  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  ( p
( le `  K
) Y  ->  -.  p ( le `  K ) X ) ) )
3029a1d 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( X 
./\  Y ) C Y  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  -> 
( p ( le
`  K ) Y  ->  -.  p ( le `  K ) X ) ) ) )
3130imp4d 575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  ->  -.  p
( le `  K
) X ) )
32 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) )
33 cvrexch.j . . . . . . . . . . 11  |-  .\/  =  ( join `  K )
342, 11, 33, 7, 12cvr1 29599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( -.  p ( le `  K ) X  <->  X C ( X 
.\/  p ) ) )
3517, 21, 32, 34syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( -.  p
( le `  K
) X  <->  X C
( X  .\/  p
) ) )
3631, 35sylibd 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  ->  X C
( X  .\/  p
) ) )
3736imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  X C ( X  .\/  p ) )
38 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  K  e.  HL )
3938, 1syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  K  e.  Lat )
40 simpl2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  X  e.  B )
41 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  Y  e.  B )
4239, 40, 41, 4syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
43 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  p  e.  B )
442, 33latjass 14201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  p  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  .\/  p
)  =  ( X 
.\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ) )
4539, 40, 42, 43, 44syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  .\/  p
)  =  ( X 
.\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ) )
462, 33, 3latabs1 14193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X )
471, 46syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  .\/  ( X  ./\  Y
) )  =  X )
4948oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  .\/  p
)  =  ( X 
.\/  p ) )
5045, 49eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  .\/  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) )  =  ( X 
.\/  p ) )
5150adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) )  =  ( X  .\/  p
) )
522, 11, 6, 33latnle 14191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  <->  ( X  ./\ 
Y ) ( lt
`  K ) ( ( X  ./\  Y
)  .\/  p )
) )
5339, 42, 43, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  <->  ( X  ./\ 
Y ) ( lt
`  K ) ( ( X  ./\  Y
)  .\/  p )
) )
542, 11, 3latmle2 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
5539, 40, 41, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  ./\ 
Y ) ( le
`  K ) Y )
5655biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( p
( le `  K
) Y  <->  ( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
572, 11, 33latjle12 14168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  /\  p ( le `  K ) Y )  <-> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) ( le `  K
) Y ) )
5839, 42, 43, 41, 57syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  /\  p ( le `  K ) Y )  <-> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) ( le `  K
) Y ) )
5956, 58bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( p
( le `  K
) Y  <->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y ) )
6053, 59anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  <-> 
( ( X  ./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )
( le `  K
) Y ) ) )
61 hlpos 29555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
6238, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  K  e.  Poset
)
632, 33latjcl 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  e.  B )
6439, 42, 43, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B
)
6542, 41, 643jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B
) )
662, 11, 6, 7cvrnbtwn2 29465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y ) C Y )  -> 
( ( ( X 
./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y )  <->  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) )
6766biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y ) C Y )  -> 
( ( ( X 
./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y )  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) )
68673exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B )  -> 
( ( X  ./\  Y ) C Y  -> 
( ( ( X 
./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y )  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) ) )
6962, 65, 68sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )
( le `  K
) Y )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7069com23 72 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )
( le `  K
) Y )  -> 
( ( X  ./\  Y ) C Y  -> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7160, 70sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  ( ( X 
./\  Y ) C Y  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7271com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7372imp32 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  Y )
7473oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) )  =  ( X  .\/  Y
) )
7551, 74eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  p )  =  ( X  .\/  Y
) )
7619, 75sylanl2 632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  p )  =  ( X  .\/  Y
) )
7737, 76breqtrd 4047 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  X C ( X  .\/  Y ) )
7877expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X  ./\ 
Y ) C Y )  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )
7978an32s 779 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y ) C Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )
8079rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K )
( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y
)  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  X C
( X  .\/  Y
) ) )
8116, 80mpd 14 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  X C ( X  .\/  Y ) )
8281ex 423 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   Posetcpo 14074   ltcplt 14075   joincjn 14078   meetcmee 14079   Latclat 14151    <o ccvr 29452   Atomscatm 29453   HLchlt 29540
This theorem is referenced by:  cvrexch  29609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541
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