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Theorem cvrexchlem 30230
Description: Lemma for cvrexch 30231. (cvexchlem 22964 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrexch.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrexch.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cvrexch.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrexchlem  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )

Proof of Theorem cvrexchlem
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 30175 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 cvrexch.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 cvrexch.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
42, 3latmcl 14173 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
51, 4syl3an1 1215 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
6 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
7 cvrexch.c . . . . . . . 8  |-  C  =  (  <o  `  K )
82, 6, 7cvrlt 30082 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  ( X  ./\  Y ) ( lt `  K ) Y )
98ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) C Y  -> 
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) Y ) )
105, 9syld3an2 1229 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  -> 
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) Y ) )
11 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
12 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
132, 11, 6, 12hlrelat1 30211 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) Y  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
145, 13syld3an2 1229 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) ( lt `  K ) Y  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
1510, 14syld 40 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
1615imp 418 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) )
17 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  K  e.  HL )
1817, 1syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  K  e.  Lat )
192, 12atbase 30101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
2019adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  p  e.  B
)
21 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  X  e.  B
)
22 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  Y  e.  B
)
232, 11, 3latlem12 14200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( p ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) Y )  <->  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
2418, 20, 21, 22, 23syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( p ( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) Y )  <->  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
) )
2524biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( p ( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) Y )  ->  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) ) )
2625exp3acom23 1362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) Y  ->  ( p
( le `  K
) X  ->  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y ) ) ) )
27 con3 126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p ( le `  K ) X  ->  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( -.  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  -.  p
( le `  K
) X ) )
2826, 27syl6 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) Y  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  ->  -.  p ( le `  K ) X ) ) )
2928com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( -.  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  ( p
( le `  K
) Y  ->  -.  p ( le `  K ) X ) ) )
3029a1d 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( X 
./\  Y ) C Y  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  -> 
( p ( le
`  K ) Y  ->  -.  p ( le `  K ) X ) ) ) )
3130imp4d 575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  ->  -.  p
( le `  K
) X ) )
32 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) )
33 cvrexch.j . . . . . . . . . . 11  |-  .\/  =  ( join `  K )
342, 11, 33, 7, 12cvr1 30221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( -.  p ( le `  K ) X  <->  X C ( X 
.\/  p ) ) )
3517, 21, 32, 34syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( -.  p
( le `  K
) X  <->  X C
( X  .\/  p
) ) )
3631, 35sylibd 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  ->  X C
( X  .\/  p
) ) )
3736imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  X C ( X  .\/  p ) )
38 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  K  e.  HL )
3938, 1syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  K  e.  Lat )
40 simpl2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  X  e.  B )
41 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  Y  e.  B )
4239, 40, 41, 4syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
43 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  p  e.  B )
442, 33latjass 14217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  p  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  .\/  p
)  =  ( X 
.\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ) )
4539, 40, 42, 43, 44syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  .\/  p
)  =  ( X 
.\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ) )
462, 33, 3latabs1 14209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X )
471, 46syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  .\/  ( X  ./\  Y
) )  =  X )
4948oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  .\/  p
)  =  ( X 
.\/  p ) )
5045, 49eqtr3d 2330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  .\/  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) )  =  ( X 
.\/  p ) )
5150adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) )  =  ( X  .\/  p
) )
522, 11, 6, 33latnle 14207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  <->  ( X  ./\ 
Y ) ( lt
`  K ) ( ( X  ./\  Y
)  .\/  p )
) )
5339, 42, 43, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  <->  ( X  ./\ 
Y ) ( lt
`  K ) ( ( X  ./\  Y
)  .\/  p )
) )
542, 11, 3latmle2 14199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
5539, 40, 41, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  ./\ 
Y ) ( le
`  K ) Y )
5655biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( p
( le `  K
) Y  <->  ( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
572, 11, 33latjle12 14184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  /\  p ( le `  K ) Y )  <-> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) ( le `  K
) Y ) )
5839, 42, 43, 41, 57syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  /\  p ( le `  K ) Y )  <-> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) ( le `  K
) Y ) )
5956, 58bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( p
( le `  K
) Y  <->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y ) )
6053, 59anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  <-> 
( ( X  ./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )
( le `  K
) Y ) ) )
61 hlpos 30177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
6238, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  K  e.  Poset
)
632, 33latjcl 14172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  e.  B )
6439, 42, 43, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B
)
6542, 41, 643jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B
) )
662, 11, 6, 7cvrnbtwn2 30087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y ) C Y )  -> 
( ( ( X 
./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y )  <->  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) )
6766biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y ) C Y )  -> 
( ( ( X 
./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y )  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) )
68673exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B )  -> 
( ( X  ./\  Y ) C Y  -> 
( ( ( X 
./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y )  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) ) )
6962, 65, 68sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )
( le `  K
) Y )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7069com23 72 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )
( le `  K
) Y )  -> 
( ( X  ./\  Y ) C Y  -> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7160, 70sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  ( ( X 
./\  Y ) C Y  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7271com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7372imp32 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  Y )
7473oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) )  =  ( X  .\/  Y
) )
7551, 74eqtr3d 2330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  p )  =  ( X  .\/  Y
) )
7619, 75sylanl2 632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  p )  =  ( X  .\/  Y
) )
7737, 76breqtrd 4063 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  X C ( X  .\/  Y ) )
7877expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X  ./\ 
Y ) C Y )  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )
7978an32s 779 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y ) C Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )
8079rexlimdva 2680 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K )
( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y
)  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  X C
( X  .\/  Y
) ) )
8116, 80mpd 14 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  X C ( X  .\/  Y ) )
8281ex 423 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090   ltcplt 14091   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167    <o ccvr 30074   Atomscatm 30075   HLchlt 30162
This theorem is referenced by:  cvrexch  30231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163
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