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Theorem cvrexchlem 30218
Description: Lemma for cvrexch 30219. (cvexchlem 23873 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrexch.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrexch.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cvrexch.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrexchlem  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )

Proof of Theorem cvrexchlem
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 30163 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 cvrexch.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 cvrexch.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
42, 3latmcl 14482 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
51, 4syl3an1 1218 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
6 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
7 cvrexch.c . . . . . . . 8  |-  C  =  (  <o  `  K )
82, 6, 7cvrlt 30070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  ( X  ./\  Y ) ( lt `  K ) Y )
98ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) C Y  -> 
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) Y ) )
105, 9syld3an2 1232 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  -> 
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) Y ) )
11 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
12 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
132, 11, 6, 12hlrelat1 30199 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) Y  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
145, 13syld3an2 1232 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) ( lt `  K ) Y  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
1510, 14syld 43 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
1615imp 420 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) ( -.  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) )
17 simpl1 961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  K  e.  HL )
1817, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  K  e.  Lat )
192, 12atbase 30089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
2019adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  p  e.  B
)
21 simpl2 962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  X  e.  B
)
22 simpl3 963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  Y  e.  B
)
232, 11, 3latlem12 14509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( p ( le
`  K ) X  /\  p ( le
`  K ) Y )  <->  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
2418, 20, 21, 22, 23syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( p ( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) Y )  <->  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
) )
2524biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( p ( le `  K
) X  /\  p
( le `  K
) Y )  ->  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) ) )
2625exp3acom23 1382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) Y  ->  ( p
( le `  K
) X  ->  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y ) ) ) )
27 con3 129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p ( le `  K ) X  ->  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( -.  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  -.  p
( le `  K
) X ) )
2826, 27syl6 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) Y  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  ->  -.  p ( le `  K ) X ) ) )
2928com23 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( -.  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  ( p
( le `  K
) Y  ->  -.  p ( le `  K ) X ) ) )
3029a1d 24 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( X 
./\  Y ) C Y  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  -> 
( p ( le
`  K ) Y  ->  -.  p ( le `  K ) X ) ) ) )
3130imp4d 577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  ->  -.  p
( le `  K
) X ) )
32 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) )
33 cvrexch.j . . . . . . . . . . 11  |-  .\/  =  ( join `  K )
342, 11, 33, 7, 12cvr1 30209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( -.  p ( le `  K ) X  <->  X C ( X 
.\/  p ) ) )
3517, 21, 32, 34syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( -.  p
( le `  K
) X  <->  X C
( X  .\/  p
) ) )
3631, 35sylibd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  ->  X C
( X  .\/  p
) ) )
3736imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  X C ( X  .\/  p ) )
38 simpl1 961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  K  e.  HL )
3938, 1syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  K  e.  Lat )
40 simpl2 962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  X  e.  B )
41 simpl3 963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  Y  e.  B )
4239, 40, 41, 4syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
43 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  p  e.  B )
442, 33latjass 14526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  p  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  .\/  p
)  =  ( X 
.\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ) )
4539, 40, 42, 43, 44syl13anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  .\/  p
)  =  ( X 
.\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ) )
462, 33, 3latabs1 14518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X )
471, 46syl3an1 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X )
4847adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  .\/  ( X  ./\  Y
) )  =  X )
4948oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  .\/  ( X  ./\  Y ) )  .\/  p
)  =  ( X 
.\/  p ) )
5045, 49eqtr3d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  .\/  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) )  =  ( X 
.\/  p ) )
5150adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) )  =  ( X  .\/  p
) )
522, 11, 6, 33latnle 14516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  <->  ( X  ./\ 
Y ) ( lt
`  K ) ( ( X  ./\  Y
)  .\/  p )
) )
5339, 42, 43, 52syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  <->  ( X  ./\ 
Y ) ( lt
`  K ) ( ( X  ./\  Y
)  .\/  p )
) )
542, 11, 3latmle2 14508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
5539, 40, 41, 54syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  ./\ 
Y ) ( le
`  K ) Y )
5655biantrurd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( p
( le `  K
) Y  <->  ( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
572, 11, 33latjle12 14493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  /\  p ( le `  K ) Y )  <-> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) ( le `  K
) Y ) )
5839, 42, 43, 41, 57syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  /\  p ( le `  K ) Y )  <-> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) ( le `  K
) Y ) )
5956, 58bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( p
( le `  K
) Y  <->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y ) )
6053, 59anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  <-> 
( ( X  ./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )
( le `  K
) Y ) ) )
61 hlpos 30165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
6238, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  K  e.  Poset
)
632, 33latjcl 14481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  e.  B )
6439, 42, 43, 63syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B
)
6542, 41, 643jca 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B
) )
662, 11, 6, 7cvrnbtwn2 30075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y ) C Y )  -> 
( ( ( X 
./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y )  <->  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) )
6766biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y ) C Y )  -> 
( ( ( X 
./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y )  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) )
68673exp 1153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  e.  B )  -> 
( ( X  ./\  Y ) C Y  -> 
( ( ( X 
./\  Y ) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) ( le
`  K ) Y )  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) ) )
6962, 65, 68sylc 59 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )
( le `  K
) Y )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7069com23 75 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
) ( lt `  K ) ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )
( le `  K
) Y )  -> 
( ( X  ./\  Y ) C Y  -> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7160, 70sylbid 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  ( ( X 
./\  Y ) C Y  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7271com23 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p )  =  Y ) ) )
7372imp32 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  Y )
7473oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  ( ( X 
./\  Y )  .\/  p ) )  =  ( X  .\/  Y
) )
7551, 74eqtr3d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B )  /\  (
( X  ./\  Y
) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  p )  =  ( X  .\/  Y
) )
7619, 75sylanl2 634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  ( X  .\/  p )  =  ( X  .\/  Y
) )
7737, 76breqtrd 4238 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( ( X  ./\  Y ) C Y  /\  ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )  ->  X C ( X  .\/  Y ) )
7877expr 600 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X  ./\ 
Y ) C Y )  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )
7978an32s 781 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y ) C Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )
8079rexlimdva 2832 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K )
( -.  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y
)  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  X C
( X  .\/  Y
) ) )
8116, 80mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
) C Y )  ->  X C ( X  .\/  Y ) )
8281ex 425 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C Y  ->  X C ( X  .\/  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   lecple 13538   Posetcpo 14399   ltcplt 14400   joincjn 14403   meetcmee 14404   Latclat 14476    <o ccvr 30062   Atomscatm 30063   HLchlt 30150
This theorem is referenced by:  cvrexch  30219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-lat 14477  df-clat 14539  df-oposet 29976  df-ol 29978  df-oml 29979  df-covers 30066  df-ats 30067  df-atl 30098  df-cvlat 30122  df-hlat 30151
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