Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrlt Structured version   Unicode version

Theorem cvrlt 30166
Description: The covers relation implies the less-than relation. (cvpss 23819 analog.) (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrfval.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
cvrfval.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrlt  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X C Y )  ->  X  .<  Y )

Proof of Theorem cvrlt
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvrfval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cvrfval.s . . 3  |-  .<  =  ( lt `  K )
3 cvrfval.c . . 3  |-  C  =  (  <o  `  K )
41, 2, 3cvrval 30165 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
54simprbda 608 1  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X C Y )  ->  X  .<  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   E.wrex 2712   class class class wbr 4237   ` cfv 5483   Basecbs 13500   ltcplt 14429    <o ccvr 30158
This theorem is referenced by:  ncvr1  30168  cvrletrN  30169  cvrnbtwn2  30171  cvrnbtwn3  30172  cvrle  30174  cvrnle  30176  cvrne  30177  0ltat  30187  atlen0  30206  atcvreq0  30210  cvlcvr1  30235  cvrval3  30308  cvrval4N  30309  cvrexchlem  30314  ltcvrntr  30319  cvrntr  30320  cvrat2  30324  atltcvr  30330  1cvratex  30368  ps-2  30373  llnnleat  30408  lplnnle2at  30436  lvolnle3at  30477  lhp0lt  30898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fv 5491  df-covers 30162
  Copyright terms: Public domain W3C validator