Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrnbtwn2 Unicode version

Theorem cvrnbtwn2 29465
Description: The covers relation implies no in-betweenness. (cvnbtwn2 22867 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrletr.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrletr.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrletr.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
cvrletr.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrnbtwn2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( ( X 
.<  Z  /\  Z  .<_  Y )  <->  Z  =  Y
) )

Proof of Theorem cvrnbtwn2
StepHypRef Expression
1 cvrletr.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cvrletr.s . . . . . 6  |-  .<  =  ( lt `  K )
3 cvrletr.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <o  `  K )
41, 2, 3cvrnbtwn 29461 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  -.  ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y ) )
543expia 1153 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X C Y  ->  -.  ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y ) ) )
6 iman 413 . . . . 5  |-  ( ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  =  Y )  <->  -.  ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  /\  -.  Z  =  Y ) )
7 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  K  e.  Poset
)
8 simpr3 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  Z  e.  B )
9 simpr2 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  Y  e.  B )
10 cvrletr.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
1110, 2pltval 14094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Z  .<  Y  <->  ( Z  .<_  Y  /\  Z  =/= 
Y ) ) )
127, 8, 9, 11syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( Z  .<  Y  <->  ( Z  .<_  Y  /\  Z  =/=  Y
) ) )
13 df-ne 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  =/=  Y  <->  -.  Z  =  Y )
1413anbi2i 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  .<_  Y  /\  Z  =/=  Y )  <->  ( Z  .<_  Y  /\  -.  Z  =  Y ) )
1512, 14syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( Z  .<  Y  <->  ( Z  .<_  Y  /\  -.  Z  =  Y ) ) )
1615anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y )  <->  ( X  .<  Z  /\  ( Z 
.<_  Y  /\  -.  Z  =  Y ) ) ) )
17 anass 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  /\  -.  Z  =  Y
)  <->  ( X  .<  Z  /\  ( Z  .<_  Y  /\  -.  Z  =  Y ) ) )
1816, 17syl6rbbr 255 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( (
( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  /\  -.  Z  =  Y
)  <->  ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y ) ) )
1918notbid 285 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( -.  ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  /\  -.  Z  =  Y )  <->  -.  ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y ) ) )
206, 19syl5rbb 249 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( -.  ( X  .<  Z  /\  Z  .<  Y )  <->  ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  =  Y ) ) )
215, 20sylibd 205 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X C Y  ->  ( ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  =  Y )
) )
22213impia 1148 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( ( X 
.<  Z  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  =  Y ) )
231, 2, 3cvrlt 29460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X  .<  Y )
2423ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  ->  X  .<  Y ) )
25243adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X C Y  ->  X  .<  Y ) )
26253impia 1148 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X  .<  Y )
27 breq2 4027 . . . 4  |-  ( Z  =  Y  ->  ( X  .<  Z  <->  X  .<  Y ) )
2826, 27syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Z  =  Y  ->  X  .<  Z ) )
291, 10posref 14085 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  Y )
30293ad2antr2 1121 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  Y  .<_  Y )
31 breq1 4026 . . . . 5  |-  ( Z  =  Y  ->  ( Z  .<_  Y  <->  Y  .<_  Y ) )
3230, 31syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( Z  =  Y  ->  Z  .<_  Y ) )
33323adant3 975 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Z  =  Y  ->  Z  .<_  Y ) )
3428, 33jcad 519 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Z  =  Y  ->  ( X  .<  Z  /\  Z  .<_  Y ) ) )
3522, 34impbid 183 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( ( X 
.<  Z  /\  Z  .<_  Y )  <->  Z  =  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   Posetcpo 14074   ltcplt 14075    <o ccvr 29452
This theorem is referenced by:  cvrval3  29602  cvrexchlem  29608
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-poset 14080  df-plt 14092  df-covers 29456
  Copyright terms: Public domain W3C validator