Theorem cvrne 17934

Description: The covers relation implies inequality.

Hypotheses

Ref	Expression
cvrne.b	|- B = (Base` K)
cvrne.c	|- C = ( <o ` K)

Assertion

Ref	Expression
cvrne	|- (((K e. A /\ X e. B /\ Y e. B) /\ XCY) -> X =/= Y)

Proof of Theorem cvrne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrne.b	. . 3 |- B = (Base` K)
2		eqid 2170	. . 3 |- (lt` K) = (lt` K)
3		cvrne.c	. . 3 |- C = ( <o ` K)
4	1, 2, 3	cvrlt 17924	. 2 |- (((K e. A /\ X e. B /\ Y e. B) /\ XCY) -> X(lt` K)Y)
5		eqid 2170	. . . 4 |- (le` K) = (le` K)
6	5, 2	pltval 9706	. . 3 |- ((K e. A /\ X e. B /\ Y e. B) -> (X(lt` K)Y <-> (X(le` K)Y /\ X =/= Y)))
7	6	simplbda 718	. 2 |- (((K e. A /\ X e. B /\ Y e. B) /\ X(lt` K)Y) -> X =/= Y)
8	4, 7	syldan 691	1 |- (((K e. A /\ X e. B /\ Y e. B) /\ XCY) -> X =/= Y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 433   /\ w3a 1130   = wceq 1615   e. wcel 1617   =/= wne 2295   class class class wbr 3539  ` cfv 4163  Basecbs 9579  lecple 9687  ltcplt 9689   <o ccvr 17915

This theorem is referenced by:  cvrnref 17935  cvrcmp 17936  atne0OLD 17950  atne0 17967  cdleme3b 18896  cdleme3c 18897  cdleme7e 18914

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-13 1628  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719  ax-un 3961

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-3an 1132  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-rex 2390  df-rab 2392  df-v 2571  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-nul 3115  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-op 3278  df-uni 3399  df-br 3540  df-opab 3598  df-id 3779  df-xp 4165  df-rel 4166  df-cnv 4167  df-co 4168  df-dm 4169  df-rn 4170  df-res 4171  df-ima 4172  df-fun 4173  df-fv 4179  df-mpt 5138  df-plt 9705  df-covers 17920

Copyright terms: Public domain